贵阳市十八中选修二第一单元《数列》测试题(答案解析)

一、选择题
1．设数列{}n a 满足11a =，()
*
112
n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()
*
2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N B ．()
*
2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N C ．(
)
*1
112n n a n -=-
∈N
D ．()
*
122
n n a n =-
∈N 2．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（ ）． A ．29
B ．28
C ．27
D ．26
3．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11
3
a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．
23
B ．
13
C ．2-
D ．3-
4．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，
1021031
01
a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）
A ．102
B ．203
C ．204
D ．205
5．数列{}n a 的通项公式为1
2n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式
()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A ．3λ
B ．4λ
C ．2
3λ D ．34λ
6．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则8
1
i
i a
==
∑（ ） A ．376
B ．382
C ．749
D ．766
7．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
8．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤
C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a
9．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =++，()n N *∈，则当2020n T <时，n 的最大值为
（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．24
10．已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）
A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
11．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数
a ∈[﹣2，2]．不等式
()
2*1
211
+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D ．[﹣2，2]
12．已知等比数列{}141
,1,8
n a a a ==，且12231n n a a a a a a k ++++<，则k 的取值范围
是（ ）
A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题
13．数列1，()12+，()
2
2
3
2
3
4
122,1222,(1222()2),....+++++++++的前n 项之和
n S =____________.
14．已知数列{}n a 的前n 项和为1,3,23n n n S a S a λ==-，其中λ为常数，若
14n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________.
15．数列{}n a 的前n 项和n S 满足22n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______. 16．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n =，*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式为______.设
2(1)n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和n T =______.
17．定义：称
12n
n
p p p ++
+为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n
项的“均倒数”为
1
21
n -，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当n *∈N 时，13n
n n a a +=，则
2n S =______．
19．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，
201620171a a >，
2016201701
1
a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2016201810a a ->；
③2016T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.
20．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列说法： ①6S 为n S 的最大值；②110S >；③120S <；④850S S ->.其中正确的是______.
三、解答题
21．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，3522a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设+1
4
n n n b a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 22．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2n
n b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依
次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T . 23．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数1x ，2x 都有
()()()12121f x x f x f x +=++，且()11f =.
（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，求{}n a 的通项公式； （2）若31n b n =+，求数列{}n n a b 前n 项和n S . 24．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)*
12n n a S n N =-∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式， （2）设函数
13
()log f x x =，()()()12
n n b f a f a f a =++
+，
123111
1
n n
T b b b b =
+++求证：2n T <． 25．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，212
b =
，1
2n b +2
11n n b b +=
+，(n ∈N *). （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）数列{c n }满足n n n a c b =
，求证：1233
4
n c c c c ++++<….
26．设n S .是数列{}n a 的前n 项和，()2
n S k n n n N
=⋅+∈，其中k 是常数.
（1）求1a 及n a 的值； （2）当k =2时，求证：
12n 1112 (3)
S S S +++<； （3）设0k >
，记21
n n
b a =，求证：当2n ≥时，2341
1...14(1)
n n b b b b n k k -<++++<-+
+.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
利用累加法可求得结果. 【详解】
112
n n n a a +-=
， 所以当2n ≥时，111
2n n n a a ---=
，1221
2n n n a a ----=
，
，2111
2
a a -=
， 将上式累加得：1121111
222
n n a a --=++⋅⋅⋅+，
1
1112211
12
n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦-=
-1
112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，
1122n n a -∴=-
1212n
⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.
2．A
解析：A
【分析】
由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】 解：由题意知：
1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，
即：211a a -=，322a a -=，
，11n n n a a -=--，
把上述所有式子左右叠加一起得：(1)
12
n n n a -=
+， 88(81)
1292
a ⨯-∴=
+=. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11
b b k m m k =-=
-，， 可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭ 是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于1
12(),n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，
m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；
（7）1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等
式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即
可.
3．B
解析：B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+，且113
a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】
因为111n n n n a a a a ++-=+，且11
3
a =， 所以111n
n n
a a a ++=
-， 21
132113
a +
∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=⨯=.
故选：B 【点睛】
方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.
4．C
解析：C 【分析】
由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】
由10210310a a ->，即1021031a a >，则有2
1021a q ⨯>，即0q >。

所以等比数列{}n a 各项为正数， 由
1021031
01
a a -<-，即102103(1)(1)0a a --<， 可得：1021031,1a a ><， 所以10220412203204102103()1T a a a a a a =⋅⋅
⋅=⋅>，
103205122032042051031T a a a a a a =⋅⋅
⋅⋅=<，
故使得1n T >成立的最大自然数n 的值为204， 故选：C 【点睛】 关键10220412203204102103()1T a a a a a a =⋅⋅
⋅=⋅>点点睛：在分析出1021031a a >，
1021031,1a a ><的前提下，由等比数列的性质可得102204102103()1T a a ==⋅>，1032051031T a =<，即可求解，属于难题.
5．A
解析：A 【分析】
将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*
n N ∈恒成立，转化为27
1
n n n λ
-++对任意*
n N ∈恒成立，由2min
71n n n λ⎛⎫
-+ ⎪+⎝⎭求解.
【详解】 依题意得，()24122412
n n n
T +-==--，
∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为2
2log 2(1)73n n n n λ+-++，
即2
7
(1)n n n λ-++.又*n N ∈，
∴27
1
n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.
只需满足2min
71n n n λ⎛⎫
-+ ⎪+⎝⎭即可.
设1n t +=，则*t N ∈，2t ，
∴279
31n n t n t
λ-+=+-+.
∵99
3233t t t t
+
-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min
731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭. ∴
3λ，
故选：A. 【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；
()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 6．C
解析：C 【分析】
利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解8
1
i i a =∑即可
【详解】
由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q
，
∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+
-=2
3632
n -++
+⨯11332323
12
n n ---⨯==⨯--，
1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，
8
7
128
1
8123(122)2831612
i i
a
a a a =-=++=⨯++
+-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=
故选：C 【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
7．C
解析：C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则111
11122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭
，
所以121n n a =-，故10
1011
211023
a ==-. 故选：C 【点睛】
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 8．C
解析：C 【分析】
令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =，从而可得
12
+
n a n n =，作差得()()()
+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<
<，
由此可得选项. 【详解】
令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113+
+122
n
n n b n --==，所以2+1212+n n
b n a
n n n n
===， 所以()()()()+13+41212+1+
++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，
所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，
故选：C. 【点睛】
本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.
9．A
解析：A 【分析】
根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.
【详解】
∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-, ∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴
12n n b -=,
∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+
()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212
n
n n n +-=⨯-=---，
∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤，
则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：A. 【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
10．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
11．A
解析：A 【分析】
根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n
﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式
()
2*
1
211
+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立求解. 【详解】
由6S n ＝a n 2+3a n +2，
当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2， 当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，
两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1）， 整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0，
由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3， 所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2，
所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11
n +＜3，
因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立， 即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立， 设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，
即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩
，
解得t ≥2或t ≤﹣2，
则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．
12．D
解析：D 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，418
a =，可得3
18q =，解得q ．可得n a ．可得
11
24n n n
a a +=⨯
．利用等比数列的求和公式及其数列的单调性即可得出． 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，418
a =
， 31
8q ∴=
，解得12
q =． 1111
1()()22
n n n a --=⨯=．
12111111
()()()22224
n n n n n n a a --+∴===⨯．
12231211
(1)
111212442()2(1)144434314n n n n n
a a a a a a +-∴++⋯+=++⋯⋯+=⨯=-<-． 12231n n a a a a a a k +++⋯+<，
23
k
． k ∴的取值范围是：2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】先归纳出通项公式然后再分组求和【详解】由题意∴故答案为：【点睛】本题考查求等比数列的前项和分组（并项）求和法数列求和的常用方法：设数列是等差数列是等比数列（1）公式法：等差数列或等比数列的求
解析：122n n +--
【分析】
先归纳出通项公式，然后再分组求和． 【详解】
由题意2
1
121222
2112
n n n n a --=+++==--， ∴2
2
12(12)
(21)(21)(21)(222)2212
n n
n
n n S n n +-=-+-+
+-=++
+-==---．
故答案为：122n n +--。

【点睛】
本题考查求等比数列的前n 项和，分组（并项）求和法．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
14．【分析】先根据求得然后求得求得的表达式进而求得中的项的最小值【详解】当时而所以则当时所以所以数列是首项为公比为的等比数列所以由于所以当时当时且所以当时单调递增最小值为即数列中的项的最小值为故答案为： 解析：15
13-
【分析】
先根据1a 求得λ，然后求得n a ，求得n b 的表达式，进而求得{}n b 中的项的最小值. 【详解】
当1n =时，()11123,23a a a λλ=--=，而13a =，所以21,3λλ-==. 则233n n S a =-，
当2n ≥时，11233n n S a --=-， 所以112333n n n n n a a a a a --=-⇒=，
所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n
n a =.
由于14n n a b n =-，所以143n n
n
b -=， 当114n ≤≤时，0n b ≥，
当15n ≥时，0n b <， 且11111314134233333n n n n n n n n n n b b ++++-----=
-=-1
229
03n n +-=>， 所以当15n ≥时，n b 单调递增，最小值为151515
14151
33b -==-. 即数列{}n b 中的项的最小值为15
1
3-. 故答案为：1513
- 【点睛】
根据n S 与n a 的关系式求{}n a 的通项公式，主要通过11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解.判断数
列的单调性可采用差比较法.
15．【分析】本题首先可根据得出然后令求出的值最后根据等比数列的定义即可得出结果【详解】因为所以则即当时解得故数列是首项为公比为的等比数列故答案为：【点睛】思路点睛：已知求的一般步骤：（1）当时由求的值； 解析：2n
【分析】
本题首先可根据22n n S a =-得出()122n n a a n -=≥，然后令1n =，求出1a 的值，最后根据等比数列的定义即可得出结果. 【详解】
因为22n n S a =-，所以()11222n n S a n --=-≥，
则()112222n n n n n a S S a a --=-=---，即()122n n a a n -=≥， 当1n =时，11122S a a ==-，解得12a =，
故数列{}n a 是首项为2、公比为2的等比数列，2n
n a =，
故答案为：2n . 【点睛】
思路点睛：已知n S 求n a 的一般步骤： （1）当1n =时，由11a S =，求1a 的值；
（2）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；
（3）检验1a 的值是否满足（2）中n a 的表达式，若不满足则分段表示n a ， （4）写出n a 的完整的表达式.
16．【分析】根据写式子两式子相减整理得再验证时是否成立即可写出通项公式由已知可得运用分组求和即可得到答案【详解】∵①∴②由②﹣①可得：即又当时有满足∴；由已知可得：∴所以故答案为：；【点睛】本题考查已知
解析：42n a n =-2164n +n
【分析】 根据()2
*
2n S n
n N =∈写式子()2
1
21n S
n++=，两式子相减整理得42n a n =-，再验证
1n =时是否成立，即可写出通项公式.由已知可得()()422)24(1n
n b n n =-+-⨯-，运用
分组求和即可得到答案. 【详解】 ∵()2
*
2n S n
n N =∈①，∴()2
121n S
n+
+=②，由②﹣①可得：14+2n a n +=，即42n a n =-，
又当1n =时，有2
112111S a ==⨯⇒=满足42n a n =-，∴42n a n =-；
由已知可得：()()422)
24(1n
n b n n =-+-⨯-，
∴12322342112333n n n n b b b b +++
+a T a a a a +a -==+++⋅+⋅⋅+
()()32122143n n a a a a +++a +++a -=+
()()28484316242
n n n n+n +n -=+⨯=，
所以2
641n T n +n =，
故答案为：42n a n =-；2
641n T n +n =.
【点睛】
本题考查已知数列前n 项和为n S 与n a 的关系求通项，注意验证1n =是否满足，考查分组求和，属于中档题.
17．4n －3【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n 项和公式然后求解数列的通项公式即可详解：设数列的前n 项和为由题中的新定义可知：则：当时当时且时则数列的通项公式为：点睛：新定义主要是指即时定义新概
解析：4n －3. 【解析】
分析：由题意结合新定义得到数列的前n 项和公式， 然后求解数列的通项公式即可.
详解：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题中的新定义可知：121
n n S n =-， 则：()2
212n S n n n n =-=-，
当1n =时，111a S ==，
当2n ≥时，()
()()2
2
1221143n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
，
且1n =时，1431n a -==，则数列{}n a 的通项公式为：43n a n =-.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定
义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
18．【分析】由递推关系可以得出数列的奇数项和偶数项分别是一个等比数列所以求数列的前项和可转化为奇数项的和加上偶数项的和即可通过等比数列的求和公式求解【详解】是首项为公比为3的等比数列是首项为公比为3的等 解析：232n ⨯-
【分析】
由递推关系13n
n n a a +=可以得出数列{}n a 的奇数项和偶数项分别是一个等比数列，所以求
数列的前2n 项和可转化为奇数项的和加上偶数项的和，即可通过等比数列的求和公式求解. 【详解】
13n n n a a +=，11a =，23a ∴=，
21
22212222221333
n n n n n n n n a a a a a a +++++===， 2n a 是首项为23a =，公比为3的等比数列，
2122121212n n n n n n a a a a a a ++--=221
333n n -==， {}21n a -∴是首项为11a =，公比为3的等比数列， ()()21321242n n n S a a a a a a -∴++
++++
+=
()313131313
n
n --=+--()231232n n =-=⨯-． 故答案为：232n ⨯-. 【点睛】
本题考查等比数列的判断，以及等比数列求和公式的运用，是一道中档题.
19．①③【分析】分别讨论和找到矛盾可判断①通过以及可得到则通过可判断②通过时时可判断③算出可判断④【详解】解：∵若则此时与矛盾故不成立若此时与矛盾故不成立∴故①正确；因为由得故②不正确；因为所以当时当时
解析：①③ 【分析】
分别讨论1q ≥和0q <，找到矛盾，可判断①，通过01q <<以及
2016201701
1
a a -<-可得到20171a <，则通过2201620182017a a a =可判断②，通过2016,n n N *
≤∈时，1n a >，
2016,n n N *>∈时，01n a <<，可判断③，算出4032T ，4033T 可判断④.
【详解】
解：∵11a >，
若1q ≥，则2015
201620161201711,1a a q
a a q =>=>， 此时
20162017011
a a ->-，与2016201701
1a a -<-矛盾，故1q ≥不成立，
若0q <，2015
201620161201710,0a a q
a a q =<=>， 此时201620170a a <，与201620171a a >矛盾，故0q <不成立， ∴01q <<，故①正确；
因为11a >，01q <<，20162017a a >， 由
2016201701
1
a a -<-得201620171,01a a ><<
2
2016201820171a a a ∴=<，故②不正确；
因为11a >，01q <<，201620171,01a a ><<，
所以当2016,n n N *≤∈时，1n a >，当2016,n n N *
>∈时，01n a <<，
所以2016T 是数列{}n T 中的最大项，故③正确；
()
()
2016
2016
40321240304031403214032201620171a a a a a a a a T a =⋅⋯⋅⋅==>，
()
2016
2
4033124030403140324033201720171T a a a a a a a a =⋅⋯⋅⋅⋅=⨯<，
∴使1n T >成立的最大自然数等于4032，故④不正确. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
20．①②【分析】利用前项和公式得可得最大即可判断出正确命题【详解】化为：最大①为的最大值正确;②正确;③所以③不正确;④所以不正确综上可得：①②正确故答案为:①②【点睛】本题考查命题的真假判断与应用等差
解析：①② 【分析】
675S S S >>,利用前n 项和公式得7670,0a a a <+>,可得67670,,0a a a a d >>><，6S 最大, ()
11111611110.2
a a S a +=
=>即可判断出正确命题．
【详解】
675S S S >>
11657654
6175222
a d a d a d ⨯⨯⨯∴+
>+>+, 化为：7670,0a a a <+>
67670,,0a a a a d ∴>>>∴<
6S 最大, ①6S 为n S 的最大值,正确; ()
11111611110.2
a a S a +=
=>②110S >正确;
③()126760S a a =+>,所以③120S <不正确;
④85678730S S a a a a -=++=<,所以850S S ->不正确. 综上可得：①②正确. 故答案为: ①②. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用,等差数列的前n 项和公式,难度一般.
三、解答题
21．(1) 31n a n =-；（2） ()
24333+2n T n =-. 【分析】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知求得411a =，再由等差数列的通项公式可求得答案；
（2）运用裂项求和法，可求得答案. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得354222a a a +==，所以411a =， 所以14112
3413
a a d --=
==-，所以()()1+12+1331n n d n a a n -⨯=-⨯=-=， 所以31n a n =-； （2）由（1）得()()+144411313+23313+2n n n b a a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪--⎝⎭
，所以 41111111
1+++
+32558811313+2n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()
41124323+2333+2n n ⎛⎫=⨯-=- ⎪
⎝⎭. 所以()
24333+2n T n =-. 【点睛】
数列求和的常用方法：
（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.
（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有
()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
，()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
等.
（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.
22．（Ⅰ）1n a n =+；（Ⅱ）20202061449T =. 【分析】
（Ⅰ）根据条件求等差数列的首项和公差，再求通项公式；（Ⅱ）首先求两个数列中的相同项，设数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，根据公式
2020203010T A B =-，求解.
【详解】
（Ⅰ）依题意，()1553
55202
a a S a
+⨯=
==，解得：34a =，
又23a =，故1d =，12a =， 所以1(1)1n a a n d n =+-⋅=+.
（Ⅱ）令数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，
由（Ⅰ）可知11a b =，32a b =，73a b =，154a b =，…，102310a b =，204711a b =， 所以2020203010T A B =-，
2030(22031)2030
20634952
A +⨯=
=，
()1010212204612
B -=
=-，
故20202061449T =. 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，本题的第二问的关键是找到有多少项相同，以及相同项是什么，然后根据公式2020203010T A B =-求解. 23．（1）()*
112n n a n -=∈N ；（2）1
37142n
n n S -+=-. 【分析】 （1）令121
2
x x ==
，求出102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，从而可得11a =，再有112
n n a f ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，求得12n n a a +=，利用等比数列的通项公式即可求解.
（2）由1
31
2n n n n a b -+=
，利用错位相减法即可求解.
【详解】
解：（1）令121
2x x ==，则()111122f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，11112a f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
. ∵1111111
111112*********n n n n n n n a f f f f a +++++⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+=++=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， ∴
112n n a a +=，∴{}n a 为以1为首项，12为公比的等比数列，∴()
*112
n n a n -=∈N . （2）∵1
31
2
n n n n a b -+=， ∴21471031
S 1222
n n n -+=++++①，
由①1
2⨯
，得231471031
2222
2n n
n S +=++++
②， 由①-②，得
21133
3314222
22n n n n S -+=++++- 1131374317222n n n
n n -++⎛
⎫=+--=- ⎪⎝⎭
， ∴1
37
142n n n S -+=-. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数与数列的综合，解题的关键是根据关系式求出
()*
1
12
n n a n -=
∈N ，考查了计算能力. 24．（1）13n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由12n n a S =-，结合n a 和n S 的关系，化简得到数列{}n a 为首项为13，公比为13
的等比数列，即可求得数列的通项公式；
（2）由函数
13()log f x x =，结合对数的运算性质，求得(1)2
n
n n b +=，再利用“裂项法”
求得数列的前n 项和，即可证得结论. 【详解】
（1）因为12n n a S =-，所以1112(2)n n a S n --=-≥， 所以11222(2)n n n n n a a S S a n ---=-=-≥，
可得11(2)3
n n a a n -=≥，即
11(2)3n n a n a -=≥，
又由1112a S =-，所以113
a =， 所以数列{}n a 为首项为
13，公比为1
3
的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为1
113n n
n a q a -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
=． （2）由题意，函数
13
()log f x x =，所以11121n 3
3
3
log log log n b a a a =++
+
()12112
13
31log ,log 3n
n a a a +++⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
(1)
122
n n n +=+++=
则
12112(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 所以12
11
1n n
T b b b =
+++
1111
1212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
221n =-+， 因为n *∈N ，所以201
n >+，所以2
221n -
<+，即2n T <. 【点睛】
关于数列的裂项法求和的基本策略： 基本步骤：
裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式； 累加：将数列裂项后的各项相加；
消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和. 消项的规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 25．（1）1
()3
n
n a =；1
n b n
=；（2）证明见解析. 【分析】
（1）当1n =时，代入条件，可求得1a 的值，当n ≥2时，根据1n n n a S S -=-，结合等比数列的定义，即可求得数列{a n }的通项公式，根据等差中项的性质，可得1
{}n
b 为等差数列，代入数据，求得首项
1
1
b 和公差d ，即可求得数列{b n }的通项公式； （2）根据（1），可得1
()3
n n n n a c n b =
=⋅，利用错位相减求和法，即可求得数列{c n }的前n 项和，根据表达式，即可得证. 【详解】
（1）由2S n +a n ＝1，得1
(1)2
n n S a =-，
当1n =时，111(1)2S a =-，∴113
a =， 当n ≥2时，11(12)n n n n a S S a -=-=--1(12
)1n a --， ∵10n a -≠，∴
113n n a a -=， ∴{a n }是首项为
13，公比为13的等比数列， ∴1
()3n
n a =. ∵*12211()n n n n N b b b ++=+∈，∴1{}n
b 为等差数列， 由b 1＝1，212b =，得111b =，212b =，21111d b b =-=， ∴1{
}n b 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴11(1)1n n n b =+-⨯=，∴1n b n
=. （2）1()3n n n n a c n b =
=⋅， 设T n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，则21112()()333
1n n T n =⋅+⋅++⋅…①， 13
n T =2311111()2()()333n n +⋅+⋅++⋅…②， ①-②得2312
11111()()()()333333
n n n T n +=+++⋅⋅⋅+-⋅ 111[1()]2111133()()()133223313
n n n n n T n +-=-⋅=-+-， ∴323134434
n n n T +=-⨯<. 【点睛】
当题中出现n S 与n a 关系时，解题的方法是利用1n n n a S S -=-求解，并检验n=1时是否满足题意，证明数列为等差、等比数列时，①可以用等差、等比数列的定义证明，②可以利用等差中项、等比中项证明，考查学生对基础知识的掌握程度，属中档题. 26．（1）1121n a k a kn k =+=-+；；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解；
（2）转化条件得12(21)(21)
n S n n <-+，由裂项相消法即可得证； （3）通过放缩可得1n b >、111114n n n b k a a -⎛⎫<+
- ⎪⎝⎭
，结合裂项相消法即可得证. 【详解】 （1）1n =时， 111a S k ==+， 2n ≥时，221[(1)(1)]21n n n a S S k n n k n n kn k -=-=⋅+-⋅-+-=-+， 又11a k =+也满足21n a kn k =-+，
11,21n a k a kn k ∴=+=-+；
（2）证明：当 2k =时， 22n S n n =+
112211(21)2(21)(21)(21)2121n S n n n n n n n n ∴==<=-++-+-+ 2n ∴≥时，
12311111111111335572121n S S S S n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 2123213
n =-<+； 显然1n =时，
111233S =<成立； 123111123
n S S S
S ∴++++
<； （3）证明：当0k >时，1n a >，2411n n
a a ∴>， 2222111111n n n n n
b a a a a ⎛⎫∴=
>=+-= ⎪⎝
⎭ 231n b b b n ∴+++>-；
又当2n ≥时，22221131111111111112224n n n n n n n n n a b a a a a a k a a --++
⎛⎫=<-=+<+=+- ⎪⎝⎭
， 2312231111111114n n n b b b n k a a a a a a -⎛⎫∴++
+<-+-+-++- ⎪⎝⎭111111111144(1)44(1)n n n n n k a a k k k a k k ⎛⎫=-+-=-+-<-+ ⎪+⋅+⎝⎭， 综上所述，当2n ≥时，()2311141n n b b b n k k -<++
+<-++. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对数列进行合理放缩，细心计算即可得解.。