2011年广州市高二数学竞赛试题

2011年广州市高二数学竞赛试题
2011．5．15 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；
⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数()3sin 1f x x x =++()x ∈R ，若()2f a =，则()f a -的值为( )． A ．2- B ．1- C ．0 D ．1
2．已知数列{}n a 的通项公式2
log 1
n n
a n =+()*n ∈N ,设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的自然数n 有（ ）． A ．最大值15 B ．最小值15 C ．最大值16 D ．最小值16
3．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为（ ）．
A ．3
B ．1
C ．1-
D ．3-
4．设o o o sin(sin 2011),sin(cos2011),cos(sin 2011)a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ( )． A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b <<
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．
5．若过定点()1,0M -且斜率为k 的直线与圆0542
2
=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是
* ．
6．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点
P ，则点P 到点A 的距离不大于1的概率为 * ．
7．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足PM AP 2=，则()
PC PB PA +⋅等于 * ．
8．在△ABC 中，若tan tan 1A B =，则sin 12C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
* ．
9．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成
立，则a 的取值范围是 * ．
10．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为
(1,2,3,4)i h i =，若31241234a a a a k ====，则4
1
2()i i S
ih k ==
∑． 类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为
(1,2,3,4)i H i =，若3124
1234S S S S K =
===，则41
()i i iH ==∑ * ．
三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分15分）
已知向量()sin ,cos x x =a ，()6sin cos ,7sin 2cos x x x x =+-b ，设函数()2f x =⋅-a b ． （1）求函数()f x 的最大值，并求取得最大值时x 的值；
（2）在A 为锐角的ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()4f A =且ABC ∆的面积为3
，2b c +=+求a 的值．
12．（本小题满分15分）
如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD
AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2a ，AB ＝a ，F 为CE 的中点． （1）求证BF ⊥平面CDE ； （2）求多面体ABCDE 的体积；
（3）求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小．
13．（本小题满分20分）
已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．
（1）若2
e =
（2）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点． 若坐标原点O 在以MN 为直径的
圆上，且
2
3
22≤
<e ，求k 的取值范围．
14．（本小题满分20分）
设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有()33
k k S S =成立．
15．（本小题满分20分）
定义在R 上的函数2()1
x b
f x ax +=+(,a b ∈R 且0a ≠） 是奇函数，当1x =时，)(x f 取得最大值．
（1）求a b 、的值；
（2）设曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线l 与y 轴的交点为(0,)t ，求实数t 的取值范围．
2011年广州市高二数学竞赛试题
参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法
与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视
影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：每小题6分，满分24分．
1．C 2．D 3．C 4．B
二、填空题：每小题6分，满分36分．
5．()
50， 6．6π 7．49- 8 9．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2321， 10．3V K
简答与提示：
4．因为o o o o 2011536018031=⨯++，
所以o o sin(sin31)sin(sin31)0a =-=-<，o o sin(cos31)sin(cos31)0b =-=-<，
o o cos(sin31)cos(sin31)0c =-=>，
又因为o o 0sin31cos311<<<，所以b a c <<，选（B ）．
三、解答题：满分90分．
11．解：（1）()()()2sin 6sin cos cos 7sin 2cos 2f x x x x x x x =⋅-=++--a b 2
2
6sin 8sin cos 2cos 2x x x x =+--…
()1cos 264sin 21cos 22
x
x x -=+-+ 4sin 24cos 2x x =-
24x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭．
∴当2242x k πππ-=+，即38
x k π
π=+
（k ∈Z ）时，
()f x 有最大值为
（2）()4f A = ，244A π⎛⎫
∴-
= ⎪⎝
⎭．可得：sin 24A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
0,
2A π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，32,444A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭
，244A ππ∴-=，解得4A π=．
1sin 324
ABC S bc A ∆=
==
，可得bc =
2b c +=+
2222cos a b c bc A =+-
()2
22cos b c bc bc A =+--
(
2
222cos
104
π
=+-⨯⨯=，
a ∴=
12．（1）证明：取CD 的中点G ，连AG ，FG ，
则有12
FG AB DE ∥∥＝
＝
．∴AG ∥＝
BF ． 又△ACD 为正三形，∴AG ⊥CD ． 又DE ⊥平面ACD ， ∴FG ⊥平面ACD ， ∴FG ⊥AG ．
∴AG ⊥平面CDE ． ∴BF ⊥平面CED ． （2）解：ABCDE B ACD B CDE V V V --=+
21
11
332CD AB DE CD BF =⋅+⋅⋅⋅⋅
()()(
)2
1112223
32
a a a a =⋅+⋅⋅⋅
333=． （3）解：由（1）知1
2
AB DE ∥＝
， 延长DA ，EB 交于点P ，连PC ，
则可证得A ，B 分别为PD ，PE 的中点， ∴PC ∥BF ∥AG ， ∴PC ⊥平面CDE ．
∴∠DCE 为平面BCE 和平面ACD 所成二面角的平面角． 又∠DCE ＝45°，
所以平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角为45°．
13．解：（1
）由题意得3c c a
=⎧⎪
⎨=
⎪⎩
a =
结合2
2
2
a b c =+，解得2
12a =，2
3b =．
所以，椭圆的方程为
13
1222=+y x ． （2）由22
221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得222222
()0b a k x a b +-=．
设1122(,),(,)A x y B x y ，
所以22
12122220,a b x x x x b a k +==-+，
进而222
2
1212222
k a b y y k x x b a k
==-+． 因为点M 、N 的坐标分别为113,22x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭、223,2
2x y N +⎛⎫
⎪⎝⎭， 依题意OM ON ⊥， 所以1OM ON k k ⋅=-，即
1212
133y y
x x ⋅=-++． 即121290y y x x ++=，即22222
2
(1)
90a b k a k b +-+=+， 因为2
2
2
2
9b a c a =-=-，所以 222222
(9)(1)
90(9)
a a k a k a -+-+=+-． 将其整理为()422
24242218818181
111818981
a a k a a a a a -+==--=---+---． 因为
2
322≤
<e
，所以a ≤<2
1218a ≤<． 所以2
18k ≥
，即,44k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
．
14．解：设无穷等差数列{}n a 的公差为d ，
则11(1)222k k k d d S ka d k k a -⎡⎤⎛
⎫=+
=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以33
312
2k d d S k k a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣⎦，
且()
33
3
122k d d S k k a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 233233211133842222d d d d d d k k a k a k a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦．
因为()33
k k S S =对于一切正整数k 都成立，
所以32
121311,823()0,42
3()0,22().22
d d
d d a d d a d d a a ⎧=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎪
⎪-=-⎪⎩①②
③④
由①，可得0d =或2d =±．
当0d =时，由④得10a =，或11a =±，且同时满足②③．
当2d =时，由②得112d
a =
=，且同时满足③④． 当2d =-时，由②得112
d
a ==-，且同时满足③④．
综上所述，共有5个满足条件的无穷等差数列： ①{}n a ：0,0,0,⋅⋅⋅； ②{}n a ：1,1,1,⋅⋅⋅； ③{}n a ：1,1,1,---⋅⋅⋅； ④{}n a ：1,3,5,⋅⋅⋅； ⑤{}n a ：1,3,5,---⋅⋅⋅．
15．解：（1）∵函数)(x f y =是奇函数，
∴()()f x f x =--， 即
221()1
x b x b
ax a x +-+=-
+-+， 化简得
2211
x b x b
ax ax +-=++对于任意x ∈R 都成立．
∴0b =．∴2()1
x
f x ax =+．
若0a <， 则函数2()1
x
f x ax =+的定义域不可能是R ， 故0a >．
当0x ≤时，()0f x ≤； 当0x >时，()
2
111
x f x ax ax x
=
=
≤=
++
，
当且仅当1
ax x =
即x =时，()
f x
1=， 即1a =． （2）依题意得2
()1
x
f x x =
+……①， 2
22
1'()(1)
x f x x -=+……② 又∵曲线2()1
x
f x x =
+在00(,())x f x 处切线方程为 000()'()()y f x f x x x -=-，
切线与y 轴交于点(0,)t ，
∴000()'()(0)t f x f x x -=-，化简得000'()()t x f x f x =-+，
①②代入化简得30
022
02,(1)
x t x x =∈+R ．
又∵2223200000222006(1)22(1)2'[(1)]x x x x x t x +-+==+ 令'0t =
，解得0x =，列表如下
当00x ≥时，30
2
2
02(1)
x t
x =+0≥．
∴0x 时，函数3
022
02,(1)
x t x x =∈+R 取得唯一的极大值，也是最大值．
3max
2
2
28
1t ⨯
=
=
⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
．、 当00x ≤时，30
22
02(1)
x t x =+0≤ ∴0x =时，函数30
022
02,(1)
x t x x =∈+R 取得唯一的极小值，也是最小值． ((3min
2
2
28
1t ⨯=
=-
⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
． ∴t 的取值范围是88⎡-⎢⎣⎦
．。