【整合】人教A版高二数学必修五三角形中的几何计算(同步PPT课件1)

整理得
sinAcosC + cosAsinC
=
1, 2
即
sin(A
+
C)=
1 2
,
又 sin(A + C)= sin(π所-以B)= sinB,
sinB
=
1 2
,
因为a>b，所以∠B必为锐角，所以 ∠B = π.
6
2.（2013·陕西高考）设ΔABC的内角A,B,C所对的边
分别为a,b,c,若bcosC + ccosB = asinA,则ΔABC的形
分析：本题可转化为
已知三角形的三边，
求角的问题，再利用 A
三角形的面积公式求
解.
C B
【整合】人教A版高二数学必修五三角 形中的 几何计 算（同 步PPT 课件1）
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解：设a=68 m,b=88 m,c=127 m,根据余弦定理的推论
2
2 sinB
A = 180°-（B + C）= 180°-（62.7°+ 65.8°）= 51.5°，
S = 21×3.162×sin65s.i8n°62s.i7n°51.5° 4.0（cm2）.
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b=27.3cm，c=38.7cm. 分析：这是一道在不同的已知条件下求三角形的 面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我 们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么， 尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形 的面积.
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cosB = c2 + a2 - b2 = 1272 + 682 - 882
2ca
2×127×68
0.753
2，
sinB = 1- cos2B 1- 0.753 22 0..657 8.
应用S = 1 casinB，得 2
S
1×127×68×0.657 2
8
2
840.4（m2）.
答：这个区域的面积是2 840.4 m2.
所以此三角形为直角三角形.
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只 含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并 观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别 是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至 可以两者混用.
1.在ΔABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c ，若 a
sin
BcosC+csinBcosA=
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探究点2 三角形边角关系应用
例3 在△ABC中，求证：
（1）a
2+ c2
b2
=
sin
ห้องสมุดไป่ตู้
2A + sin
sin 2C
2B
.
（2）a2 + b2 + c2 = 2（bccosA + cacosB + abcosC）.
由正、余弦定理得，a + b = c（b2 + c2 - a2 + a2 + c2 - b2）
2bc
2ac
所以a + b = b2 + c2 - a2 + a2 + c2 - b2 ，
2b
2a
所以2a2b + 2ab2 = a（b2 + c2 - a2）+ b（a2 + c2 - b2），
所以a2b + ab2 = ac2 - a3 + bc2 - b3，
状为 ?（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
分析：在含有边角关系式三角函数恒等变形中， 利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或 利用余弦定理将余弦式化为边的关系式，这是 判断三角形形状的两个转化方向.
bcosC+ccosB = asinA
【解析】选A.因为 所si以nB由co正sC弦+ s定in理Cc得osB = sin2A,所以sin(B + C)= sin2A
2
2
2
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例1 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面 积S（精确到0.1 cm2）: （1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°； （2）已知B=62.7°，C=65.8°,b=3.16cm； （3）已知三边的长分别为a=41.4cm，
2
而a2 = b2 + c2 - 2bccosA,故b2 + c2 = 8. 解得b = c = 2.
1.三角形面积公式：
S= 1 absinC， S= 1 bcsinA，S= 1 acsinB.
sinA = sin2A
所以s三in角A形= 1ABC是直角三角形.
3.在ΔABC中，已知tanB = 3，cosC = 1，AC = 3 6， 3
求ΔABC的面积 ?（ ） 解：设AB，BC，CA的长分别为c，a，b
由tanB = 3得B = 60°，所以sinB = 3 ，cosB = 1，
2
根据边的关系易得是等腰三角形. 思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？ 哪个错误？为什么？
前一种解法正确. 后一种解法遗漏了一种情况；
因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个 角互补，即2A+2B=180°，则A+B=90°.
（2）由已知，sinA +sinB = sinC（cosA + cosB），
2.三角形各种类型的判定方法. (难点)
探究点1 三角形面积公式
1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？
在ABC中，边BC，CA，AB上的高
A
分别记为ha ,hb ,hc，则有
SABC =
1 2
aha =
1 2
bhb
1 ch 2c
c
hc
b
hb
ha
B
aD C
思考：如何用已知边和角表示三角形的面积？
第3课时 三角形中的几何计算
在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为 ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？
ha＝bsinC＝csinB hb=csinA＝asinC hc=asinB＝bsinA
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进 一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积 公式的简单推导和应用.(重点)
2bc
2ca
所以c（2 a2 - b2）= a4 - b4 =（a2 + b2）（a2 - b2），
所以a2 = b2或c2 = a2 + b2.
根据边的关系得该三角形是等腰三角形或直角三角形.
另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B, 即2A=2B, 所以A=B，
所以a2b + ab2 - ac2 + a3 - bc2 + b3 = 0
所以ab（a + b）- c（2 a + b）+（a + b）（a2 - ab + b2）= 0 即（a + b）（a2 + b2 - c2）= 0， 又a + b≠0， 所以a2 + b2 - c2 = 0， 所以c2 = a2 + b2，
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解：（1）应用S = 1 casinB 2
S = 21×23.5×14.8×sin148.5° 90.9（cm2）.
（2）根据正弦定理， b = c ，c = bsinC，
sinB sinC
sinB
S = 1 bcsinA = 1 b2 sinCsinA，
a = b = c =k sinA sinB sinC 显然k≠0，所以
左边 = a2 + b2 c2
= k2sin2A + k2sin2B = sin2A + sin2B = 右边.
k2sin2C
sin2C
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例4 判断满足下列条件的三角形的形状.
（1）acosA = bcosB.
（2）sinC
=
sinA cos A
+
sinB cos B
.
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”
或“化角为边”.
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解：（1）由余弦定理得
a×b2 + c2 - a2 = b×c2 + a2 - b2
=
6
2 +8
3.
4. 在ABC中，已知a=2，b= 6，A=45，求三角形的面积S 解：由正弦定理可得sinB = bsinA a
= 6×sin45°= 3 .
2
2
因为在ΔABC中，a < b,所以A < B,
所以B = 60°或B = 120°.
（1）若B = 60°，则C = 180°- 45°- 60°= 75°,
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的 证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到 用正弦定理和余弦定理来证明.
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证明：（1）根据正弦定理，可设
故S = 1 absinC = 1×2× 6×sin75°= 3 + 3 .
2
2
2
（2）若B = 120°，则C = 180°- 45°- 120°= 15°
故S = 1 absinC = 1×2× 6×sin15°= 3 - 3 .
2
2
2
答：三角形的面积为 3 + 3 或 3 - 3 .
2
2
5.已知a，b，c分别为△ABC 三个内角A，B，C的对边，a cos C 3a sin C b c 0. （1）求A. （2）若a=2，△ABC的面积为 3 ，求b,c. 解： （1）由acosC + 3asinC及-正b -弦c 定= 0理得
2
又sinC = 1- cos2C = 2 2 ， 3
由正弦定理得，c = bsinC = 3
6×2 2 3
= 8.
sinB
3
2
所以sinA = sin（B + C）= sinBcosC + cosBsinC
= 3×1 + 1×2 2 = 3 + 2 ， 2 32 3 6 3
故SΔABC
=
1 2
bcsinA
（2）根据余弦定理， 右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边.
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探究点3 判断三角形的形状
1
b,
且a>b， 则 B=（ ）
2
A. π 6
B. π C. 2π
3
3
D. 5π 6
【解析】选A. 据正弦定理，设
a = b = c =k sinA sinB sinC
则 a = ksinA,b = ksinB,c = ksinC.
将它们代入
asinBcosC + csinBcosA
=
1 b, 2
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB = c2 + a2 - b2 2ca
= 38.72 + 41.42 - 27.32 2×38.7×41.4
0.769 7，
sinB = 1- cos2B 1- 0.769 72 0.638 4，
应用S = 1 casinB，得 2
S
1×38.7×41.4×0.6384 2
2.已知边角求三角形的面积: ha＝bsinC＝csinB hb=csinA＝asinC
A
c
ha
b
hc=asinB＝bsinA
B
aD C
根据以前学过的三角形面积公式SABC
=
1 2
aha
=
1 2
bhb
1 ch ，可以推导出下面的三角形面积公式： 2c
S= 1 absinC， S= 1 bcsinA，S= 1 acsinB.
sinAcosC + 3sinAsinC - sinB - sinC = 0
因为B =π- A - C,
所以 3sinAsinC - cosAsinC - sinC = 0
由于sinC≠0，所以
sin( A
)
1.
62
又0<A< ,故A= .3
（2）△ABC的面积 S = 1 bcsinA = 3,故bc = 4.
511.4（cm2）.
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例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三 角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角 形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区 域的面积是多少？（精确到0.1 ㎡）