高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》知识点总复习

新数学高考《平面向量》专题解析
一、选择题
1．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r
，则AE BF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．24
B ．7-
C ．10-
D ．12-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r
用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求
解即可. 【详解】
由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12
BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r
,所以
1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13
BF AF AB AD AB =-=-u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r .
因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所
以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫
⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以
1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111
||||16(8)16126666
AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.
2．若向量a b r r ，的夹角为3
π
，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）
A ．1
2
-
B ．
12
C 3
D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r
，
可得20t a a b ⋅+⋅=r r r
，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r
两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .
即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3
b a b π
=r r r ，所以b a =r r .
又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r
，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以222
1122b
a b t a b
⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
3．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．垂心 C ．重心 D ．内心
【答案】B 【解析】 【分析】
可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λ+u u u r u u u r
u u u
r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线上，从而得到结论．
【详解】
Q ()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC
AP AB B AC C
λ=+u u u r u u u r
u u u r u u u
r u u u r ， Q cos BA BC B BA BC ⋅=u u u r u u u r u u
u r u u u r ，cos CA CB C CA CB
⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴(
)0||cos ||cos AB AC
BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB
AC AB B AC C
λ+u u u r
u u u r
u u u
r u u u r 垂直，
即AP BC ⊥uu u r uu u r
，
∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.
故选：B ． 【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
4．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ，||b =r ||||a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r
与向量b r
的夹角为( )
A ．
4π或
34
π B ．6π或56π
C ．3π或23π
D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】
设向量a r ，b r
的夹角为θ，则2||12a b θ+=+r r ，2||12a b θ-=-r r ，即可
求出2cos θ，从而得到向量的夹角； 【详解】
解：设向量a r ，b r
的夹角为θ，222||||||2||||cos 48a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r
12θ=+，
222||||||2||||cos 4812a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r
，所以
2222||||144128cos 80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，2
1cos 2
θ∴=，因为[0,)θπ∈，故
4
π
θ=
或
34
π
，故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.
5．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v
，则（ ）
A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
B ．5263BD OA O
C =-u u u v u u u v u u u v
C ．5163
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
D ．1163
BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v
【答案】A 【解析】 【分析】
利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案； 【详解】
Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()
22123333
OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
12OD OA =u u u v u u u v ，
∴1263
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，
故选：A. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
6．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r
方向上的投影为( )
A ．165
-
B ．
165
C ．1613
-
D ．
1613
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算出16a b r r
⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r
r 可得
【详解】
()4,3a =r Q ，()5,12b =-r
，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r
，
则向量a r 在b r
方向上的投影为1613a b b
⋅-=r r
r ，
故选：C. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r
的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r
r
7．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3
π，(),c a b R μλμ+
=λ+∈r u u r u u r ，若
2λμ+=，那么c r 的最小值为（ ）
A
B
C ．
2
D
【答案】D 【解析】 【分析】
利用向量的数量积的运算公式，求得1
2
a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到
2
4c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．
【详解】
由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π
，所以11cos 11322
a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，
又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r
，
所以()
2222222
2()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，
因为,R λμ+
∈时，所以2
22()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪
⎝⎭
，当且仅当λμ=时取等号，
所以2
3c ≥u r ，即c ≥u r
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
8．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）
A ．1162DF A
B A
C =--u u u r u u u r u u u r B ．1134
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r
C ．3142DF AB AC =-+u u u r u u u r u u u r
D ．1126
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
设AB AF λ=u u u r u u u r
，由平行四边形法则得出144
AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理
得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r
，即可得出答案.
【详解】
设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444
AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u u
r u u u r r u u u r u u u r
因为C E F 、、三点共线，则
1
=14
4
λ
+
，=3λ
所以1111132262
DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
故选：A
【点睛】
本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.
9．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r r
v v ，且||3a =v ，||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为
（ ） A ．
3
π
B ．
23
π C ．
6
π D ．
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与
a b
-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .
如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v
，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3
BDA π
∠=
，23
BDE π
∠=
.故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
10．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v
，则λ=
（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解.
【详解】
因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，
所以1122,+3333
AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ，
因为AD DC λ=u u u v u u u v ，
所以λ= 12
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
11．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行
于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且22
2a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r 的取
值范围（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞
C ．(0,4)
D ．(2,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AD 中点(,),
E a b BC 中点(,)
F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r
，从而有
2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r
，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r
求解.
【详解】
因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，
又因为2EF =
==u u u r
，
所以24AB DC EF +==u u u r u u u r u u u r
，
因为AB 不平行于CD ，
所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以||||4AB DC +>u u u r u u u r
.
故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
12．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线
于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225
+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
3
B ．
5
C ．
2
D ．
98
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入2
2
5
+=
8
λμ求出双曲线的离心率. 【详解】
由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2
(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a
-
因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a a
λλ=+-.
所以,,b
u c u c
λλ+=-= 解之得,.22b c c b
u c c
λ+-=
=
因为2
2
5+=8λμ，所以225(
)(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能
力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
求出,u λ.
13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共
线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r
，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过
O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006
C ．2010
D ．2012
【答案】A 【解析】 【分析】
根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，及三点A ，
B ，
C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()
12010201020101
10052
2
a a +⨯=
=
=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
14．已知椭圆C ：2
212
x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C
于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v
，则AF u u u v ＝( )
A B ．2
C D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v ，得043x =，01
3
y n =，根据点
B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得AF =u u u v
【详解】 根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212
x y += ，知22a =，21b =，21c =，
即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v
，得()()001,31,n x y =-．
所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =
，013
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=，
得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2
212112AF n u u u v =-+=+=
故选A 【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
15．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3
AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．23
-
B ．43
-
C ．83
-
D ．2-
【答案】D 【解析】 【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】
在边长为2的等边三角形ABC 中，若13
AE AC =u u u r u u u r
，
则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） ＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） 1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
16．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB BC
=u u u v u u u v （ ） A ．1
B
．2 C
．2 D
．2【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v 可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．
【详解】
由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v
（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠， 又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v 即
2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C
BC A BC A BC ⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuv uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）
所以AB BC =uu u v uu u v 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算．
17．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为 A ．12 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以
||1a b -===r r ，故选B. 点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
18．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.
【详解】
设||n x →=， 因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →→-=-+=，
即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
19．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r 恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.
A ．,33⎛
⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．,33⎛
⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】
【分析】 根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果.
【详解】
因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ， 由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r ，
即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-，
由题意，()22410t t ∆--<=，
解得3t <-或3
t >. 故选：B.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题. 20．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）
A ．10
B ．16
C ．
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．
【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，
则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．。