艺考参考答案专题二函数概念与其基本性质

1．(2016·课标Ⅱ，10，中)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝
1
x
1．D [考向1]由y ＝10lg x ＝x 且x ∈(0，＋∞)，知y ∈(0，＋∞)．又y ＝1
x
的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，故选D.
2．(2015·重庆，3，易)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1] B ．(－3，1)
C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞]
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
2．D [考向1]要使f (x )有意义，只需x 2＋2x －3＞0，即x ＜－3或x ＞1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
3．(2014·山东，3，易)函数f (x )＝
1
log 2x －1
的定义域为( )
A ．(0，2)
B ．(0，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞) 3．C [考向1]由题意得⎩⎨⎧log 2x －1>0，x >0，∴⎩⎨⎧x ＞2，
x ＞0，∴x ＞2.
∴f (x )的定义域为(2，＋∞)．
4．(2014·浙江，7，中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝ f (－3)≤3，则( )
A ．c ≤3
B ．3<c ≤6
C ．6<c ≤9
D ．c >9
4．C [考向2]由已知得f (－1)＝－1＋a －b ＋c ＝f (－2)＝－8＋4a －2b ＋c ，所以3a －b ＝7.① f (－1)＝－1＋a －b ＋c ＝f (－3)＝－27＋9a －3b ＋c ，所以4a －b ＝13.② 联立①②解得a ＝6，b ＝11， 所以f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c . 又0<f (－1)≤3，即0<c －6≤3，
所以6<c ≤9.
5．(2015·山东，10，中)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ， x ＜1，2x ， x ≥1.
若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )
A ．1 B.78 C.34 D.1
2
5．D [考向3]f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝52－b .若52－b ＜1，即b ＞32时，3⎝ ⎛⎭⎪⎫
52－b －b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，
故舍去；若52－b ≥1，即b ≤32时，得252－b ＝4，解得b ＝1
2.故选D.
思路点拨：先计算出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56的值，再根据f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
56的取值范围进行讨论，最后解方程求得b 的值．
6．(2016·浙江，12，中)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1.已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________． 6．[考向2]【解析】 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2＝(x 3－a 3)＋3(x 2－a 2) ＝(x －a )(x 2＋ax ＋a 2)＋3(x －a )(x ＋a ) ＝(x －a )[x 2＋(a ＋3)x ＋a 2＋3a ]．
又f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －a )[x 2－(a ＋b )x ＋ab ]．
∴x 2
＋(a ＋3)x ＋a 2
＋3a ＝x 2
－(a ＋b )x ＋ab ，∴⎩⎨⎧－a －b ＝a ＋3，a 2＋3a ＝ab ，∴⎩⎨⎧a ＝－2，
b ＝1.
【答案】 －2 1
7．(2013·安徽，11，易)函数y ＝ln ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．
7．[考向1]【解析】
∵⎩⎪⎨⎪
⎧1＋1
x ＞0，
x ≠0，1－x 2≥0，∴⎩⎨⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1，
即0＜x ≤1. ∴函数的定义域为(0，1]． 【答案】 (0，1]
思路点拨：定义域注意要写成集合或区间形式．
8．(2014·浙江，15，中)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2
＋2x ＋2，x ≤0，
－x 2，x >0.
若f (f (a ))＝2，则a ＝________.
8．[考向3]【解析】 若a >0，则f (a )＝－a 2<0， ∴f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2，
由f (f (a ))＝2，得a 4－2a 2＋2＝2， 解得a ＝2(舍负和零)．
若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1>0， ∴f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2<0≠2. 综上，a ＝ 2. 【答案】
2
9．(2013·北京，13，中)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1
的值域为________．
9．[考向3]【解析】 x ≥1时，f (x )＝x
2
1log 是单调递减的，此时，函数的值域为
(－∞，0]；
x ＜1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0，2)． 综上，f (x )的值域是(－∞，2)． 【答案】 (－∞，2)
函数的定义域是函数的基本要素之一，是函数不可缺少的组成部分，在高考中出现的频率较高，一般出现在选择题、填空题中，难度不大．
复习中要抓住函数定义域的本质特征和外部形式，掌握其求法．同时，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．
1(1)(2015·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6
x －3
的定义域为( )
A ．(2，3)
B ．(2，4]
C ．(2，3)∪(3，4]
D ．(－1，3)∪(3，6]
(2)(2016·辽宁大连一模，7)已知函数f (lg x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，100，则函数f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2的定义域是( )
A ．[－1，2]
B ．[－2，4] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，100 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，1
【解析】
(1)方法一：由⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3
＞0，得⎩⎨⎧－4≤x ≤4，
x ＞2且x ≠3，
故函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．
方法二：当x ＝3和x ＝5时，函数均没有意义，故可以排除选项B ，D ；当x ＝4时，函数有意义，可排除选项A ，故选C. (2)函数f (lg x )的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
110，100，
即1
10≤x ≤100，所以－1≤lg x ≤2. 即f (x )的定义域为[－1，2]． 故－1≤x
2≤2，所以－2≤x ≤4.
所以函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2的定义域是[－2，4]．
【答案】 (1)C (2)B
1.(2016·山东滨州模拟，6)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数
m 的取值范围是( ) A ．[0，4) B ．(0，4) C ．[4，＋∞) D ．[0，4]
1．D 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立； 当m ≠0时，则⎩⎨⎧m ＞0，
Δ＝m 2
－4m ≤0， 解得0＜m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4.
2．(2016·辽宁葫芦岛模拟，13)已知函数f (2－x )＝4－x 2，则函数f (x )的定义域为________． 2．【解析】 由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，
∴f (2－x )的定义域是[－2，2]，则2－x ∈[0，4]，故f (x )的定义域是[0，4]， ∴0≤x ≤4，解得0≤x ≤16.
∴函数f (x )的定义域为[0，16]． 【答案】 [0，16]
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数，二次函数的定义域均为R . (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．
(5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 定义域均为R . (6)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋
⎭
⎬⎫π
2，k ∈Z .
求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：
①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查．题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现，分值约为5分．
复习中要注意通过对分段函数、复合函数、抽象函数等的认识，进一步体会函数的本质．
2(1)(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连
接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A ．y ＝12x 3－12x 2－x
B ．y ＝12x 3＋1
2x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋1
2x 2－2x
(2)(2013·安徽，14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.
(3)(2016·安徽合肥模拟，15)已知f (x )的定义域为{}x |x ≠0，满足3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )
的解析式为________．
【解析】 (1)(待定系数法)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，
由题意知⎩⎨⎧f （0）＝d ＝0，
f （2）＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′（0）＝c ＝－1，
f ′（2）＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－1
2，c ＝－1，
d ＝0，
∴f (x )＝12x 3－1
2x 2－x .
(2)(代入法)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，
∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－1
2x (x ＋1)．
(3)(函数方程法)令1x 代替3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋
5f (x )＝3x ＋1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧3f （x ）＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3
x ＋1， ①3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋5f （x ）＝3x ＋1， ②
①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋1
8.
【答案】 (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18
解题(1)的关键是设出三次函数的解析式y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，然后根据题目条件，确定参数的值；
解题(2)的关键是将所求函数解析式的定义域向已知函数解析式的定义域转化；
解题(3)的关键是变换得到一个关于f (x )和f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x 为未知数的新的方程，通过解方程组求出f (x )的
解析式．
(2016·四川南充模拟，13)已知函数f (x )对任意实数x 恒有f (1－x )－2f (x －1)＝2x ＋1，
则f (x )＝________．
【解析】 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， 有f (－t )－2f (t )＝2t ＋3，用－t 代替 f (－t )－2f (t )＝2t ＋3中的t ，得 f (t )－2f (－t )＝－2t ＋3.
∴⎩⎨⎧f （－t ）－2f （t ）＝2t ＋3，
f （t ）－2f （－t ）＝－2t ＋3， 解得f (t )＝－2
3t －3， ∴f (x )＝－2
3x －3. 【答案】 －2
3x －3,
求函数解析式的常见方法
(1)代入法：将g (x )代入f (x )中的x ，即得到f (g (x ))的解析式．
(2)构造法：已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理构造成只含h (x )的式子，用x 将h (x )替换．
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．
(4)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．
(5)函数方程法：已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f (－x )，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ，则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
分段函数一直是高考的重点内容之一，高考命题主要以分段函数求值、解与分段函数有关的不等式、求分段函数中参数值(范围)等形式出现．主要以选择题的形式出现，题目一般不难，若直接求解出现困难，可考虑数形结合思想的运用．
3(1)(2015·课标Ⅰ，10)已知函数f (x )＝
⎩⎨⎧2x －1
－2， x ≤1，
－log 2（x ＋1）， x >1，
且f (a )＝－3，则f (6
－a )＝( )
A ．－74
B ．－54
C ．－34
D ．－14
(2)(2015·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x ＞0，
0，x ＝0，－1，x ＜0.
则(
)
A ．|x |＝x |sgn x |
B ．|x |＝x sgn|x |
C ．|x |＝|x |sgn x
D ．|x |＝x sgn x
【解析】 (1)因为f (x )＝⎩⎨⎧2x －1
－2， x ≤1，
－log 2（x ＋1）， x >1，
f (a )＝－3，
所以⎩⎨⎧a >1，－log 2（a ＋1）＝－3或⎩⎨⎧a ≤1，2a －1－2＝－3，解得a ＝7，
所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－7
4.
(2)当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ； 当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x . 【答案】 (1)A (2)D
求分段函数的函数值应根据自变量的取值范围代入不同的解析式，当自变量范围不确定时，要注意分类讨论思想的应用．
另外，解题时，还可考虑直接代入特殊值，利用排除法解题．
1.(2015·浙江，12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2， x ≤1，x ＋6x
－6， x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )
的最小值是________．
1．【解析】 因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－1
2； 当x ≤1时，f (x )min ＝0；当x ＞1时，f (x )min ＝2 6－6， 又2 6－6＜0，所以f (x )min ＝2 6－6. 【答案】 －1
2 2 6－6
2．(2016·江苏徐州一模，11)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，
－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则
a 的值为________．
2．【解析】 ①当a >0时，1－a <1，1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ， 解得a ＝－3
2， 不符合题意，舍去．
②当a <0时，1－a >1，1＋a <1. 这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .
由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－3
4. 综合①②知a 的值为－3
4. 【答案】 －3
4,
分段函数两种题型的求解策略
(1)根据分段函数的解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．
1．(2016·山东省实验中学二诊，2)设函数f (x )＝1
log 12
（2x ＋1），则f (x )的定义域为（ )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，2 1．C ∵⎩⎪⎨⎪⎧log 12（2x ＋1）≠0，2x ＋1＞0，∴⎩⎨⎧2x ＋1≠1，2x ＋1＞0，
∴x ＞－1
2且x ≠0.
∴f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，0∪(0，＋∞)．
2．(2015·河北秦皇岛一模，3)设函数y ＝1
x 2－3x －10
的定义域为A ，B ＝{x ||x －m |<6}且A ∪B
＝R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．－1<m <4 B ．－1<m <3 C ．1<m <4 D ．1<m <3
2．A 由x 2－3x －10>0解得x <－2或x >5，所以A ＝{x |x <－2或x >5}．因为B ＝{x ||x －m |<6}＝{x |－6＋m <x <6＋m }，且A ∪B ＝R ，所以有 ⎩
⎨⎧－6＋m <－2，
6＋m >5，解得－1<m <4. 3．(2016·广东佛山一模，6)已知函数f (x 2－1)的定义域为[－1，3]，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )
A ．(－1，1]
B ．[－2，2]
C ．[－1，8] D.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，72
3．D ∵－1≤x ≤3，∴－1≤x 2－1≤8， 即－1≤2x ＋1≤8，∴－1≤x ≤7
2， ∴f (2x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，72.
4．(2015·安徽合肥三模，6)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x
，x <0，
f （x －1）＋1，x ≥0，
则f (2 015)等于( )
A ．2 015 B.4 0332 C ．2 016 D.4 031
2
4．B 由题意知，当x ≥0时，f (x ＋1)＝f (x )＋1，∴f (x ＋1)－f (x )＝1， ∴f (2 015)＝f (1)＋2 014×1. 又f (0)＝f (－1)＋1＝12＋1＝32， f (1)＝f (0)＋1＝5
2，
∴f (2 015)＝52＋2 014＝4 033
2.
5．(2015·山东滨州二模，8)具有性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下
列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1
x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0＜x ＜1），0（x ＝1），－1x （x ＞1）中满足“倒负”变换的函数是(
)
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．只有①
5．C (逐项验证法)对于①，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1
x
－x ＝－f (x )满足条件；
对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1
x ＋x ≠－f (x )不满足条件；
对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x （0＜x ＜1），0 （x ＝1），
1
x （x ＞1），
满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝－f (x )．故③满足“倒负”变换，故选C.
6．(2016·广东江门一模，4)已知函数g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2
x 2(x ≠0)，则f (0)等于( )
A ．－3
B ．－32 C.3
2 D ．3
6．D 令g (x )＝1－2x ＝0，∴x ＝1
2，
则f (0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－14
14
＝3.
7．(2016·山东枣庄二模，6)设函数f (x )对不为零的一切实数x 均有f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2 016x ＝3x ，则f (2)
等于( )
A ．2 013
B ．2 014
C ．2 015
D ．2 016 7．B ∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2 016x ＝3x ，
把x ＝2代入得f (2)＋2f (1 008)＝6，①
把x ＝1 008代入得f (1 008)＋2f (2)＝3×1 008，② ∴f (2)＝2 014.
思路点拨：当含有f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k x (k ≠0)(或f (x )与f (－x ))时常考虑采用函数方程法．
8．(2015·广东中山一模，13)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________．
8．【解析】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，
∴3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝2x ＋17， 即kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17， ∴⎩⎨⎧k ＝2，5k ＋b ＝17，∴⎩⎨⎧k ＝2，b ＝7. ∴f (x )＝2x ＋7. 【答案】 2x ＋7
9．(2016·安徽六安模拟，14)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＝2f (x ＋1)，当x ∈[0，1)时，f (x )＝－x 2＋x ，则当x ∈[1，2)时，f (x )＝________． 9．【解析】 设1≤x ＜2，可得0≤x －1＜1， 又∵f (x )＝2f (x ＋1)， ∴f (x )＝1
2f (x －1)
＝1
2－（x －1）2＋（x －1） ＝1
2－x 2＋3x －2. 【答案】 1
2－x 2＋3x －2
1．(2016·北京，4，易)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝
1
1－x
B ．y ＝cos x
C ．y ＝ln(x ＋1)
D ．y ＝2－x
1．D [考向1]y ＝1
1－x 在(－1，1)上为增函数，故A 错；y ＝cos x 在(－1，1)上先递增后递减，
故B 错；y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数，故C 错；而D 中y ＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
在(－1，1)上为减函数，故选D. 2．(2014·北京，2，易)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |
2．B [考向1]选项A ，y ＝e －x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x
，在R 上为减函数；
选项B ，y ＝x 3在R 上为增函数；
选项C ，y ＝ln x ，定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上为增函数；
选项D ，y ＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，
－x ，x <0在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，故B 符合要求．
3．(2014·湖南，4，易)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1
x 2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝2－x
3．A [考向1]选项A ，由于y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，所以f (x )＝1
x 2在(－∞，0)上单调递增且为偶函数；选项B ，f (x )＝x 2＋1是偶函数但在(－∞，0)上单调递减；选项C ，f (x )＝x 3为奇函数；选项D ，f (x )＝2－x 为非奇非偶函数，综上选A.
4．(2015·湖南，8，中)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数
4．A [考向1]f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x
1－x ，
f (－x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1
＝－ln 1＋x 1－x ＝－f (x )，
所以f (x )是奇函数． 设u ＝1＋x
1－x
，则y ＝ln u ，
又因为u ＝1＋x
1－x 在(0，1)上为增函数，
且y ＝ln u 为增函数，
所以由复合函数性质得y ＝f (x )在(0，1)上是增函数． 思路点拨：形如y ＝f (g (x ))单调性的判断常用“同增异减”．
5．(2014·陕西，7，中)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝x 1
2 D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
5．B [考向1](根据函数满足的条件和函数性质逐一判断)f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，A 错误．f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，B 正确．f (x )＝2
1x ，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠21
x ·y 12，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，C 错误．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x · ⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
不是增函数，D 错误． 方法点拨：解抽象函数的有关试题的关键是对对应法则的理解和应用，常常依据法则特殊化处理，例如采用赋值法，以寻求解题的切入点．
6．(2013·北京，3，中)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1
x B ．y ＝e －x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|
6．C[考向1](逐项验证法)A中y＝1
x是奇函数，A不正确；B中y＝e
－x＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
e
x
是非奇非偶函数，
B不正确；C中y＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C正确；D中y＝lg |x|在(0，＋∞)上是增函数，D不正确．故选C.
7．(2012·辽宁，8，中)函数y＝1
2x
2－ln x的单调递减区间为()
A．(－1，1] B．(0，1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
7．B[考向1](根据函数的导数小于或等于0的解集就是函数的单调递减区间求解)由题意知，
函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－1
x≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0，1]．
8．(2016·北京，10，中)函数f(x)＝
x
x－1
(x≥2)的最大值为________．
8．[考向2]【解析】因为函数f(x)＝
x
x－1
＝
（x－1）＋1
x－1
＝1＋
1
x－1
，
在[2，＋∞)上为减函数，
所以f(x)max＝f(2)＝
2
2－1
＝2.
【答案】 2
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的某一问中，属中、低档题目．
复习中，要熟练掌握确定函数单调性的常用方法．
1(1)(2015·陕西，9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)()
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
(2)(2014·天津，12)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．
(3)(2015·广东佛山联考，17，12分)讨论函数f(x)＝
ax
x2－1
(a>0)在(－1，1)上的单调性．
【解析】(1)f(x)的定义域为R，
∵f(－x)＝－x－sin(－x)
＝－x＋sin x＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
∵f′(x)＝1－cos x≥0，
∴f(x)在R上为增函数．
∵f(0)＝0，∴函数f(x)有零点．
(2)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lg u在(0，＋∞)上为增函数，u＝x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减．
(3)方法一(定义法)：设任意－1<x1<x2<1，
则f(x1)－f(x2)＝
ax1
x21－1
－
ax2
x22－1
＝
ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2
（x21－1）（x22－1）
＝
a（x2－x1）（x1x2＋1）
（x21－1）（x22－1）
.
∵－1<x1<x2<1，
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0. 又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
故函数f(x)在(－1，1)上为减函数．
方法二(导数法)：
f′(x)＝（ax）′（x2－1）－ax（x2－1）′
（x2－1）2
＝a（x2－1）－2ax2
（x2－1）2
＝
a（－x2－1）
（x2－1）2
＝－
a（x2＋1）
（x2－1）2
.
∵a>0，x∈(－1，1)，
∴f′(x)<0.
∴f(x)在(－1，1)上是减函数．
判断题(1)单调性的关键是利用导数来判断；
解题(2)的关键是利用复合函数“同增异减”的法则来求解；题(3)利用单调性的定义或导数来判断．
1.(2016·河北邯郸模拟，4)若函数f (x )＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A
最大为( )
A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞
1．B f (x )＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ）（x ≥0），
－x （1－x ）（x ＜0）
＝⎩⎨⎧－x 2
＋x （x ≥0），x 2－x （x ＜0）＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14（x ≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14（x ＜0）.
画出草图如图，
由图易知f (x )＝|x |(1－x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12上是增函数． 2．(2016·山东济南一模，11)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．
2．【解析】 要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－1
2，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，＋∞.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，＋∞,
判断函数单调性的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，如已知f (x )，g (x )为增函数，则－f (x )为减函数，f (x )＋g (x )为增函数． (2)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质作出判断．
(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定它的单调性．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．
(5)复合函数单调性的判断法则：“同增异减”，即对于y ＝f (g (x ))型的复合函数，可以把它看成
由y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的，若它们的单调性相同，则复合函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合函数为减函数．
确定函数的单调区间的注意点
(1)函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，所以求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域．
(2)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一单调性的区间用“和”连接(或用“，”隔开)，不能用“∪”连接．
函数的最值(值域)是高考重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都是函数的最值(值域)问题．高考中选择题、填空题、解答题中多有考查．
在平时复习中，要灵活应用求函数最值(值域)的各种方法．
2(1)(2016·浙江金华调研，8)已知a>0，设函数f(x)＝2 016x＋1＋2 014
2 016x＋1
(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝()
A．2 014 B．2 016 C．4 028 D．4 030
(2)(2016·湖北黄冈模拟，18，12分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a
x，x∈[1，＋∞)．
①当a＝1
2时，求函数f(x)的最小值；
②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题意得f(x)＝2 016x＋1＋2 014
2 016x＋1
＝2 016－
2
2 016x＋1
.
∵y＝2 016x＋1在[－a，a]上是单调递增的，
∴f(x)＝2 016－
2
2 016x＋1
在[－a，a]上是单调递增的，
∴M＝f(a)，N＝f(－a)，
∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 032－
2
2 016a＋1
－
2
2 016－a＋1
＝4 030.
故选D.
(2)①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在[1，＋∞)上为增函数，故f (x )min ＝f (1)＝7
2. ②f (x )＝x ＋a
x ＋2，x ∈[1，＋∞)．
a ．当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.
要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0，即a ＞－3， 所以－3＜a ≤0.
b ．当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. 所以a ＋3＞0，a ＞－3.所以0＜a ≤1.
c ．当a ＞1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2 a ＋2，2 a ＋2＞0，显然成立．
综上所述，f (x )>0在[1，＋∞)上恒成立时，a 的取值范围是(－3，＋∞)．
解题(1)，(2)的关键是判断函数f (x )的单调性；解题(2)②的关键是将不等式恒成立的问题转化为函数的最值问题．
1.(2016·辽宁沈阳质检，13)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值
为________．
1．【解析】 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )
在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 【答案】 3
2．(2016·湖南益阳一模，11)已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f （x ）的
值域为______．
2．【解析】 ∵38≤f (x )≤4
9， ∴13≤1－2f （x ）≤12.
令t ＝1－2f （x ），则f (x )＝1
2(1－t 2)，
令y ＝g (x )，则y ＝－1
2(t －1)2＋1.
∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值7
8. ∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
79，78.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
79，78,
求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 注意：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
恒成立有解问题的解法
(1)m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max . (2)m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min . (3)m ＞f (x )有解⇔m ＞f (x )min . (4)m ＜f (x )有解⇔m ＜f (x )max .
(5)m ＝f (x )有解⇔m 属于f (x )的值域．
函数单调性的应用广泛，是解决函数有关问题的重要方法，高考中常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；
(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；
(4)利用单调性求参数的取值范围或值．
3(1)(2013·天津，7)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调
递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12
a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )
A ．[1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2 D ．(0，2]
(2)(2014·课标Ⅱ，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)
【解析】 (1)∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，
∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．
又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1， 即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．
又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴1
2≤a ≤1. 综上可知1
2≤a ≤2.
(2)依题意得f ′(x )＝k －1
x ≥0，在x ∈(1，＋∞)上恒成立， 即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立．∵x >1，∴0<1
x <1，∴k ≥1. 【答案】 (1)C (2)D
1.(2016·广东广州模拟，4)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)
上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．a <b <c 1．B ∵函数图象关于x ＝1对称， a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，
又∵y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
52<f (3)，
∴b <a <c .
2．(2016·山东济宁模拟，12)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧a x ，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫
4－a 2x ＋2，x ≤1满足对任意的实数x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
>0成立，则实数a 的取值范围为________．
2．【解析】 函数f (x )在(－∞，1)和[1，＋∞)上都是增函数，且f (x )在(－∞，1)上的最高点不
高于其在[1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，
4－a
2＞0，a ≥4－a
2＋2，
解得a ∈[4，8)． 【答案】 [4，8),
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
1．(2015·安徽阜阳二模，5)给定函数①y ＝x 1
2，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中
在区间(0，1)上单调递减的函数序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
1．B [考向1]①y ＝x 12在(0，1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0，1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 1
2(x ＋1)在(0，1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0，1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0，1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③.
2．(2016·贵州贵阳检测，6)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12
2．C [考向2]由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，
当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，
∵f (x )＝x －2在[－2，1]上是增函数， ∴f (x )≤f (1)＝－1，
∵f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数， ∴f (x )≤f (2)＝6， ∴f (x )max ＝f (2)＝6.
3．(2016·广东中山模拟，5)若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12内恒有f (x )>0，
则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14，＋∞ C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－12
3．D [考向1]f (x )的定义域为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．
令g (x )＝2x 2
＋x ，则g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，∴0＜g (x )＜1. 又∵f (x )＞0恒成立，∴0＜a ＜1. ∴y ＝log a x 在其定义域上为减函数， 而g (x )＝2x 2＋x 在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－12上是减函数，
∴f (x )的单调增区间为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－12. 思路点拨：因为log a x ＞0⇔(a －1)(x －1)＞0，所以，若f (x )＝log a (2x 2＋x )＞0，则先考虑g (x )＝2x 2＋x 在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12上的范围．
4．(2016·江西九江模拟，5)已知函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x
，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
4．B [考向3]∵函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x
在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1，2)时，f (x 1)＜f (2)＝0；
当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0，
即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0.
5．(2016·山东日照模拟，6)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a
x ＋1
在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(－1，0)∪(0，1)
B ．(－1，0)∪(0，1]
C ．(0，1)
D ．(0，1]
5．D [考向3]∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝a
x ＋1
在[1，2]上是减函数，∴a ＞0，∴0＜a ≤1.
6．(2015·湖北武汉模拟，9)若不等式x 2
＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12恒成立，则实数a 的取值范
围是( )
A ．[－2，＋∞)
B ．[－2，2]
C ．(－∞，－2] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－52，＋∞
6．D [考向3]不等式x 2
＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12恒成立等价于|x |2
＋a |x |＋1≥0对|x |∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12恒成立，当|x |＝0时，显然成立；当|x |≠0时，a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |.令t ＝|x |，t ∈⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，12，g (t )＝t ＋1t .
∵g (t )在⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12上单调递减，
∴g (t )≥12＋2＝52，
故－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－52，
所以所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－52，＋∞.
7．(2016·山东青岛模拟，13)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，
b ，a >b .函数f (x )＝－x
＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min {}f （x ），g （x ）的最大值是________． 7．[考向2]【解析】 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2 x ，0＜x ≤2，
－x ＋3，x ＞2.
当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2 x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 则h (x )max ＝h (2)＝1. 【答案】 1
8．(2015·四川成都一模，12)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，
0，x ＝0，－1，x <0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 8．[考向1]【解析】 由条件知
g (x )＝⎩⎨⎧
x 2，x >1，
0，x ＝1，－x 2，x <1.
其函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．
【答案】 [0，1)
9．(2016·湖南邵阳联考，13)已知函数f (x )＝x 2＋a
x (a ＞0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．
9．[考向3]【解析】 方法一(定义法)：在区间(2，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 2
2＋a
x 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋a x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
a x 1－a x 2
＝(x 1－x 2)＋a （x 2－x 1）
x 1x 2
＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－a x 1x 2. ∵f (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴(x 1－x 2)⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－a x 1x 2<0.
又x 1＜x 2，即x 1－x 2＜0， ∴a
x 1x 2
＜1，即a ＜x 1x 2. ∵x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2， ∴x 1x 2＞4.
∴a ≤4.又a ＞0，
∴a 的取值范围为(0，4]．
方法二(导数法)：f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－a
x 2≥0， 由题意知f ′(x )≥0在(2，＋∞)上恒成立， ∴a ≤x 2，∴0＜a ≤4. 【答案】 (0，4]
1．(2016·山东，9，中)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，则f (6)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2
1．D [考向2，3]∵当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，
∴当x ＞1
2时，f (x )的周期为1， ∴f (6)＝f (1)．
又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴当x ∈[－1，1]时，f (x )为奇函数． 故f (－1)＋f (1)＝0.又f (－1)＝－2， ∴f (1)＝2.即f (6)＝2.
2．(2016·天津，6，中)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞ 2．C [考向4]∵f (x )为R 上的偶函数且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 又∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)，
且2|a －
1|＞0，2＞0，∴2|a －
1|＜2，
∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜3
2.
3．(2016·课标Ⅱ，12，难)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m
i ＝1x i ＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m
3．B [考向4]由题意可知y ＝f (x )与y ＝|x 2－2x －3|的图象对称轴均为x ＝1，∴当m 为偶数时，m
2×
2＝m ，当m 为奇数时，m －12×2＋1＝m .故选B. 4．(2015·安徽，4，易)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D ．y ＝cos x
4．D [考向1]函数y ＝ln x 不具备奇偶性；y ＝sin x 是奇函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但x 2＋1＝0无实数根，故无零点，而y ＝cos x 是偶函数，且cos x ＝0有实数根x ＝k π＋π
2，k ∈Z ，故有零点．
5．(2014·广东，5，易)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x －1
2x B ．y ＝x 3sin x C ．y ＝2cos x ＋1 D ．y ＝x 2＋2x
5．A [考向1]选项B 中的函数是偶函数；选项C 中的函数也是偶函数；选项D 中的函数是非奇非偶函数．根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数．
易错点拨：对于奇、偶函数的判断除了要注意f (－x )与f (x )外，还要注意函数的定义域必须是关于原点对称的，否则，一定不具有奇偶性．
6．(2013·湖北，8，中)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数
6．D [考向3](图象法)函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图象如下图：
故f (x )＝x －[x ]在R 上为周期函数．
7．(2012·山东，8，中)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( ) A ．335 B ．338 C ．1 678 D ．2 012
7．B [考向3]由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.
思路点拨：本题的解题关键是根据函数的周期性，把f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)转化到一个周期内计算．
8．(2014·山东，9，难)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝tan x D ．f (x )＝cos(x ＋1)
8．D [考向1]由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A ，C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中函数的图象存在不是y 轴的对称轴．
方法点拨：若f (x )＝f (2a －x )对定义域内任意x 恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，反之亦然．
9．(2016·四川，14，中)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52＋f (2)＝________.
9．[考向2]【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. ∵f (x )的周期为2，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＋f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12. 又0<x <1时，f (x )＝4x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝412＝2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝－2.
【答案】 －2
10．(2013·大纲全国，13，易)设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝________．
10．[考向3]【解析】 ∵f (x )是以2为周期的函数，且x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2， ∴f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1. 【答案】 －1
11．(2012·重庆，12，易)若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________． 11．[考向2]【解析】 方法一(特值法)：由函数f (x )为偶函数得f (1)＝f (－1)， 即(1＋a )·(1－4)＝(－1＋a )·(－1－4)，所以a ＝4.
方法二(定义法)：f (－x )＝(－x ＋a )(－x －4)＝(x －a )(x ＋4)＝f (x )＝(x ＋a )(x －4)，∴a ＝4. 【答案】 4
12．(2012·江苏，10，中)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝
⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，则a ＋3b 的值为________． 12．[考向3]【解析】 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，
从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，
即3a ＋2b ＝－2.①
又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋2
2，即b ＝－2a .② 将②代入①得，a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10. 【答案】 －10
13．(2011·广东，12，中)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝________． 13．[考向2]【解析】 方法一：∵a 3cos a ＋1＝11，∴a 3cos a ＝10. ∴f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1
＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.
方法二(换元法)：令φ(x)＝x3cos x，很明显φ(x)是奇函数，
∴f(x)＝φ(x)＋1，
∴f(a)＝φ(a)＋1，
∴f(－a)＝φ(－a)＋1，
∴f(a)＋f(－a)＝φ(a)＋φ(－a)＋2，
∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＋11＝2，f(－a)＝－9.
【答案】－9
函数奇偶性的判断是函数奇偶性问题的基础．在高考中以选择题、填空题形式出现，属于容易题．
复习中，要牢固掌握判断函数奇偶性的方法和步骤．
1(1)(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是()
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
(2)(2014·课标Ⅰ，5)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()
A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】(1)对于A，令f(x)＝x2sin x，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sin x＝－f(x)，不是偶函数；
对于B，令f(x)＝x2cos x，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2·cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，是偶函数；
对于C，函数y＝|ln x|的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；
对于D，令f(x)＝2－x，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2x，既不是奇函数也不是偶函数．(2)(利用函数奇偶性的定义判断)对于A：令h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错；对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，
则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错；对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，
则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，
∴h(x)是奇函数，C正确；
对于D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，
则h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，
∴h(x)为偶函数，D错．
【答案】(1)B(2)C
1.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋1
2x D．y＝x
2＋sin x
1．D y＝x＋sin 2x为奇函数．
y＝x2－cos x与y＝2x＋1
2x为偶函数．
y＝x2＋sin x既不是奇函数，也不是偶函数，选D.
2．(2015·福建，3)下列函数为奇函数的是()
A．y＝x B．y＝e x
C．y＝cos x D．y＝e x－e－x
2．D对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；
对于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；
对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；
对于D，∵f(－x)＝e－x－e x＝－(e x－e－x)＝－f(x)，∴y＝e x－e－x为奇函数．
∴选D.
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．。