安徽省2019中考数学决胜一轮复习第5章四边形第2节矩形菱形与正方形习题

第2课时矩形、菱形与正方形
1．(2018·杭州)如图，已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界)，设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则( A)
A．(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30°B．(θ2＋θ4)－(θ1＋θ3)＝40°
C．(θ1＋θ2)－(θ3＋θ4)＝70°D．(θ1＋θ2)＋(θ3＋θ4)＝180°
2．(原创题)四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是( C)
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90°
B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180°
D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC＝90°
3．(2017·安徽二模)如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O.E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是( D)
A．AB＝AD B．AC＝BD
C．AD＝BC D．AB＝CD
4．(2018·宿迁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( A)
A． 3 B．2
C．2 3 D．4
5．(改编题)如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB＝a，AN平分∠DAB，则C，D两点到直线AN的距离之和是( B)
A ．a
B ．
22a C ．45
a D ．
32
a 6．(2018·合肥模拟)如图，在正方形ABCD 对角线BD 上截取BE ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于点
F ，连接AE ，过B 作B
G ⊥AE 于点G ，交AD 于点
H ，则下列结论错误的是( B )
A ．AH ＝DF
B ．S 四边形EFHG ＝S △DEF ＋S △AGH
C ．∠AEF ＝45°
D ．△ABH ≌△DCF
7．(2018·株洲)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O ，AC ＝10，P ，Q 分别为AO ，AD 的中点，则PQ 的长度为__2.5__.
8．(2018·上海)对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是宽的23，那么它的宽的值是__18
13
__.
9．(2018·江西)在正方形ABCD 中，AB ＝6，连接AC ，BD ，P 是正方形边上或对角线上一点，若
PD ＝2AP ，则AP 的长为
10．(原创题)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，E 为CD 上一点，且AE ＝AB ，M 为AE 的中点．下
列结论：①DM ＝DA ；②EB 平分∠AEC ；③S △ABE ＝S △ADE ；④BE 2
AD
2＝8－4 3.
其中正确的有__①②④__(只填序号)．
11．(2018·郴州)如图，在平行四边形ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF .求证：四边形BFDE 是菱形．
证明：∵BD 垂直平分EF ，∴EO ＝FO ，∠EOD ＝∠FOB ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO ＝∠FBO ，∴△EOD ≌△FOB ，∴OB ＝OD ，∵EO ＝FO ，EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形．
12．(改编题)如图，将▱ABCD 的边AB 延长到点E ，使BE ＝AB ，连接DE ，交边BC 于点F . (1)求证：△BEF ≌△CDF ；
(2)连接BD ，CE ，若∠BFD ＝2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ＝CD ，AB ∥CD ，BE ＝AB ，∴BE ＝CD ，∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＝∠CDF ，∠EBF ＝∠DCF ，在△BEF 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧
∠BEF ＝∠CDF ，BE ＝CD ，
∠EBF ＝∠DCF ，
∴△BEF ≌△CDF ；
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠DCB ，∵AB ＝BE ，∴CD ＝EB ，∴四边形BECD 是平行四边形，∴BF ＝CF ，EF ＝DF ，∵∠BFD ＝2∠A ，∴∠BFD ＝2∠DCF ，∴∠DCF ＝∠FDC ，∴DF ＝CF ，∴DE ＝BC ，∴四边形BECD 是矩形．
13．(2018·聊城)如图，正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，过点B 作BH ⊥AE ，垂足为点H ，延长BH 交CD 于点F ，连接AF .
(1)求证：AE ＝BF ；
(2)若正方形边长是5，BE ＝2，求AF 的长．
(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝90°，∵作BH ⊥AE ，垂足为点H ，∴∠BAE ＝∠CBF.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧
∠ABC ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ，
∠BAE ＝∠CBF ，
∴△ABE ≌△BCF ，∴AE ＝BF ；
(2)解：∵△ABE ≌△BCF ，∴CF ＝BE ＝2，∵正方形的边长为5，∴AD ＝CD ＝5，∴DF ＝CD －CF ＝5－2＝3，在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2
＋DF 2
＝52
＋32
＝34.
14．如图，矩形纸片ABCD (AD ＞AB )中，将它折叠，使点A 与C 重合，折痕EF 交AD 于E ，交BC 于F ，交AC 于O ，连结AF ，CE .
(1)求证：四边形AFCE 是菱形；
(2)过E 作EP ⊥AD 交AC 于P ，求证：AE 2
＝AO ·AP ； (3)若AE ＝8，△ABF 的面积为9，求AB ＋BF 的值．
(1)证明：当顶点A 与C 重合时，折痕EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ＝90°，∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ，∴四边形AFCE 是菱形；
(2)证明：∵EP ⊥AD ，∴∠AEP ＝90°，∵∠AOE ＝90°，∴∠AEP ＝∠AOE ，∵∠EAO ＝∠EAP ，∴△AOE ∽△AEP ，∴AE AP ＝
AO AE
，∴AE 2
＝AO ·AP ； (3)解：∵四边形AFCE 是菱形，∴AF ＝AE ＝8，在Rt △ABF 中，AB 2
＋BF 2
＝AF 2
，∴AB 2
＋BF 2
＝82
，∴(AB ＋BF )2
－2AB ·BF ＝64①，∵△ABF 的面积为9，∴12AB ·BF ＝9，∴AB ·BF ＝18②，由①、②得：
(AB ＋BF )2
＝100，∵AB ＋BF ＞0，∴AB ＋BF ＝10.。