2021高三统考北师大版数学一轮：第9章第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课时作业
1．(2019·广东广州模拟)已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( )
A ．60°
B ．30°
C ．120°
D ．150°
答案 C
解析 设直线AB 的倾斜角为α.∵A (1，3)，B (－1，33)，∴k AB ＝
33－3－1－1＝－3，∴tan α＝－3，∵α∈[0°，180°)，∴α＝120°.故选C ．
2．已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为( )
A ．12
B ．9
C ．－12
D ．9或12
答案 A
解析 由k AB ＝k AC ，得3－(－3)4－2＝k
2－(－3)
5－2，解得k ＝12.故选A ．
3．下列命题中，正确的是( )
A ．直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是α
B ．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
C ．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
D ．直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单
调递增
答案 D
解析 因为只有当直线的斜率为tan α，且α∈[0，π)时，α才是直线的倾斜角，所以A 错误；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π
2时，直线的斜率不存在，所以B 错误；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，直线的斜率大于0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π时，直线的
斜率小于0，所以C 错误．选D ．
4．(2019·银川模拟)在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )
A ．3x －y －8＝0
B ．3x ＋y －10＝0
C ．3x －y ＝0
D ．3x ＋y －6＝0
答案 D
解析 因为AO ＝AB ，所以∠AOB ＝∠ABO ，即k AB ＝－k OA ＝－3.所以直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0.故选D ．
5．(2019·荆州模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －y m ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )
答案 B
解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m n x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B ．
6．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线都通过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，3
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－3
答案 D
解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎨⎧
2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－12，
y ＝－3，
∴直线恒过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，－3.故选D ．
7．(2019·沈阳模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )
A ．ab >0，bc <0
B ．ab >0，bc >0
C ．ab <0，bc >0
D ．ab <0，bc <0
答案 A
解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c
b >0，故ab >0，b
c <0.
8．(2020·海淀区模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A ．－1＜k ＜15
B ．k ＞1或k ＜12
C ．k ＞1
5或k ＜1 D ．k ＞1
2或k ＜－1
答案 D
解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解不等式可得k >1
2或k <－1.也可以利用数形结合．
9．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 倾斜角的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2
答案 B
解析 由直线l 恒过定点(0，－3)，作出两直线的图象，如图所示，从图中看出，直线l 的倾斜角的取值范围应为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，π2.
10．(2019·海南模拟)直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π2
B ．⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，3π4
C ．⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
D ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，3π4
答案 C
解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1，∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)，该直线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
11．已知A (2,5)，B (4,1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．8
答案 C
解析 依题意得k AB ＝5－1
2－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2,4]，
即y ＝－2x ＋9，x ∈[2,4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2,4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2,4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.
12．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
43，＋∞
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，43
D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B
解析 易知直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，k P A ＝－52，k PB ＝4
3，因为直线
ax ＋y ＋2＝0的斜率为－a ，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，根据图象(图略)可知－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜5
2，故选B ．
13．(2019·宁夏调研)若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．
答案 16
解析 根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y
b ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2
b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又因为ab >0，故a <0，b <0.
根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.
14．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0
解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－5
3x ，即5x ＋3y ＝0；
②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y
－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，
得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.
综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.
15．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在的直线方程为3x ＋2y －3＝0.则BC 边所在的直线方程为________．
答案 2x ＋5y ＋9＝0
解析 由题意，得k AC ＝－2，k AB ＝2
3. ∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0， l AB ：y －1＝2
3(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧
2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，
得C (3，－3)．
由⎩⎨⎧
2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)． ∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.
16．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1
x －2的取值范围为
________.
答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞
解析 y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在
x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，32，
由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2
的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，＋∞.
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