人教中考数学二次函数综合题附详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM=
1
2
PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣1
2
，
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
（x﹣6）（x+2）=﹣
1
2
x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB 解析式为y=kx+b ，
将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
6
60b k b =⎧⎨
+=⎩
， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩
，
则直线AB 解析式为y=﹣x+6，
设P （t ，﹣
12
t 2
+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），
∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1
2
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+1
2PN•BM =1
2
PN•（AG+BM ） =
1
2PN•OB =12×（﹣1
2t 2+3t ）×6 =﹣3
2t 2+9t
=﹣32（t ﹣3）2+272
，
∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，
∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，
若△PDE 为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，
∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，
则当y=6时，﹣
12
x 2
+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P （4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；
（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,
0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）2
1
4
y x x =-++；（Ⅲ）3b = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值. 【详解】
解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2
y x bx c =-++，
有10930
b c b c --+=⎧⎨-++=⎩。

解得2,3b c ==
2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴
（Ⅱ）由2
22
424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∵点E 在直线y x =上，2
424
b c b
+∴=
221111
(1)4244c b b b ∴=-+=--+
2110,(1)44A b ⎛
⎫∴--+ ⎪⎝
⎭
当1b =时，点A 是最高点此时，2
1
4
y x x =-++
（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=
1c b ∴=+
24,,(0,)2
4b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
2(2),,(0,1)2
4b b E A b ⎛⎫
+∴+ ⎪⎝⎭
∴E 关于x 轴的对称点E '为2
(2)
,24b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得
(1)(1)y b x =-+-
把点2(2),2
4b b E '
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭代入(1)(1)y b x =-+-.
得
2(2)(1)142b b b +⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
，即2680b b --=
解得，3b =
0,3b b >∴=.
3b ∴=+【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
3．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；
（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝
25
2
m m
-
-，S的最大值是
25 8，此时动点M的坐标是（
5
2
，
7
4
）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是
82
3
秒．
【解析】
【分析】
（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;
（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB ＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.
（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.
【详解】
（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，
∴3＝a+4，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点C的坐标为（3，0），
∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，
∴0＜m＜3，点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，
∴点A的坐标（1，0），
∵△ABM 的面积为S ，
∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()
2123313222
m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得
S ＝252m m --＝2
1525228
m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，
∴当m ＝
52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74
）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252
m m
--，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是
（
52，7
4
）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，
1
3
），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，1
3
OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ，
∴3BA A H
'
'=， 即3
BA A H ''=，
∵A ′H +A ′C ≥HC ＝2
218233⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， ∴t ≥
82
， 即点M 在整个运动过程中用时最少是
82
3
秒．
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t 的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.
4．函数()2
110,>02
y x mx x m =-
++≥的图象记为1C ，函数()21
10,>02
y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象
记为C .
（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值； （Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值； （Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当03
92
y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912
m ≤≤. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；
（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可
（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】
解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1
m .2
=
（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 令2
m 112
-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=
（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点
∴2
03m y 1922
≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴
3
2
≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9．
∴3
2≤4m-99
≤，解得
9
4m
2
<≤.
综上所述，
9
1m
2
≤≤即为所求.
【点睛】
本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣
2,23）
5
5 4
m
-≤≤
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣3
2
）2﹣
5
4
，然后根
据n的取值得到最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），
∴
10
3
b c
c
--+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得b＝2，c＝3．
故该抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3． （2）令﹣x 2+2x +3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 即B （3，0），
设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′，
则330b k b ''=⎧⎨+=⎩
，
解得：k=-1,b’=3
故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），
∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，
∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，
当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，
∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，
∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，
解2
323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或1
4x y =⎧⎨=⎩ ∴D （1，4）， 此时P （1，2）；
当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴，
∴D 点的纵坐标为3，
代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；
当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴
＝﹣t 2+3t ，
解得t ＝0或t ＝3，
此时P （3）；
综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，
∴E （1，4），
设N （1，n ），则0≤n ≤4， 取CM 的中点Q （2m ，3
2
）， ∵∠MNC ＝90°，
∴NQ ＝1
2
CM ， ∴4NQ 2＝CM 2，
∵NQ 2＝（1﹣2m ）2+（n ﹣3
2
）2， ∴4[（1﹣
2m ）2+（n ﹣3
2
）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣32）2﹣5
4
， ∵0≤n ≤4， 当n ＝
32时，m 最小值＝﹣5
4
，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣
5
4
≤m ≤5．
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝16
5
或
4
5
；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）
3+17
，4）．
【解析】
【详解】
（1）点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO＝AO
CO
＝
1
4
，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FEB＝1
4
或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，
则
1
44
a
a
=
-
或4
4
a
a
=
-
，
解得：a＝16
5
或
4
5
；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN ＝90°，∠FPN+∠PFN ＝90°， ∴∠FPN ＝∠NFB ，
∵GN ∥x 轴，∴∠FPN ＝∠NFB ＝∠FBE ， ∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ， ∴△PNF ≌△BEF （AAS ）， ∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，
∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a+4）， ∵PH ＝2，
即：﹣4a 2+6a+4﹣4＝|2|， 解得：a ＝1或
12或3174+或3174
-（舍去）， 故：点P 的坐标为（2，4）或（1，4）或（3+17
，4）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
7．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数
2
15
y x =
+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．
（1）点D 的坐标是 ______；
（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．
①当27
5
n =
时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取
值范围 ______．
【答案】（1）()2,9；（2）①DP =②92155
n <<. 【解析】 【分析】
（1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点C （2，
9
5），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132
，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，27
5
），可求
DA=
2
，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不
平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，21
5
），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜
21
5
. 【详解】
（1）顶点为()2,9D ； 故答案为()2,9； （2）对称轴2x =，
9
(2,)5
C ∴，
由已知可求5(,0)2
A -，
点A 关于2x =对称点为13
(
,0)2
， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，
(5,3)B ∴，
①当275n =
时，27(2,)5
N ，
2
DA ∴=
，182DN =，365CD =
当PQ AB ∥时，PDQ
DAB ∆∆，
DAC DPN ∆∆，
DP DN DA DC
∴=，
DP ∴=
当PQ 与AB 不平行时，DPQ
DBA ∆∆，
DNQ
DCA ∴∆∆，
DP DN
DB DC
∴
=， 95DP ∴=；
综上所述95DP =； ②当PQ AB ∥，DB DP =时，
35DB =，
DP DN
DA DC
∴
=， 245
DN ∴=， 21(2,
)5
N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，
92155
n <<； 故答案为
921
55
n <<； 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．
8．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为：2
28y x x =-++，直线AB 的表达式为：
21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)-．
【解析】 【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则
()()
()()()2111
2821139112222
DAC
C A S
DH x x x x x x =
-=-++-++=--⨯，，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：2
28y x x =-++…①， 则点()3,5B ，
将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：
二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点()
2
,28D x x x -++，点(),21H x x -，
∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()
()()()2111
2821139112222
DAC
C A S
DH x x x x x x =
-=-++-++=--⨯， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；
（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，
同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±，
故点(
)17,2P +或()
17,2-；
综上，点()6,16P -或()4,16--或(
)17,2+或()
17,2-． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
9．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连结AM 、BM ． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断△ABM 的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x 的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m ，2m ），当m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
【答案】（1）抛物线解析式为y=x 2﹣1；（2）△ABM 为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点． 【解析】
试题分析：（1）分别写出A 、B 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据OA ＝OM ＝1，AC ＝BC ＝3，分别得到∠MAC ＝45°，∠BAC ＝45°，得到∠BAM ＝90°，
进而得到△ABM是直角三角形；
（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，
方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可
试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点
∴．
考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）
10．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．
（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使
∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；
（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，
△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．
试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），
把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；
（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），
由题意得：AD=1+1=2，OC=3，
S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，
，解得：，
∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），
∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，
﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，
（m+4）（m﹣5）=0，
m1=﹣4，m2=5（舍），
∴E（﹣4，5）；
（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，
∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，
连接EP，则EP⊥OG，
∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，
∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，
∴，∴m=﹣4，
∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；
如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，
则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，
∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，
∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，
综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．
考点：二次函数的综合题.。