2020秋高中数学人教A版选修2-3达标练习：第一章计数原理章末复习课

章末复习课
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1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．
2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来．
3．正确区分分堆问题和分配问题．
4．二项式定理的通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k是第(k＋1)项，而不是第k项，注意其指数规律．
5．求二项式展开式中的特定项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……)时，要注意n与k的取值范围．
6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．
专题一两个计数原理的应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础，应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：(1)要做什么事；
(2)如何去做这件事；(3)怎样才算把这件事完成了．并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法．
[例1]现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()
高中
数学
A.144种
C．64种D．84种
解析：法一根据所用颜色的种数分类
第一类：用4种颜色涂，方法有A44＝4×3×2×1＝24(种)．
第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色，方法有C12C14 A23＝48(种)．
第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色，方法有A24＝12(种)．根据加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(种)．
法二根据“高”“学”是否为同色分类
第一类：区域“高”与“学”同色，从4色中选1色，有C14种方法，其余区域“中”“数”各有3种方法，共有4×3×3＝36(种)．第二类：区域“高”与“学”不同色，区域“高”有4种方法，区域“学”有3种方法，区域“中”“数”各有2种方法，共有4×3×2×2＝48(种)．
根据加法原理，方法共有36＋48＝84(种)．
答案：D
归纳升华
1.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
2．当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．[变式训练]甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()
A．5B．24
C．32 D．64
解析：5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)，
第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)．
第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8(种)．
根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有8×8＝64(种)．答案：D
专题二排列组合应用题
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组合的相关公式
与方法解题．
1．合理分类，准确分步．
[例2](1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有________种．()
A．480 B．360
C．240 D．120
(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有________种不同的坐法．
解析：(1)将5个不同的球分成4组，其中有一组有2个球，其余各有1球，有C25种分法．
把分组的球放入4个不同的盒子中有A44种放法．
所以由分步乘法原理不同的放法共有C25A44＝240(种)．
(2)先让4人坐在4个位置上，有A44种排法，再让2个元素(一个是两个空位作为一个整体，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间，有A25种插法，所以所求的坐法数为A44A25＝480(种)．答案：(1)C(2)480
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解排列组合应用题应遵循三大原则，掌握基本类型，突出转化思想．
(1)三大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则．
(2)基本类型主要包括：排列中的“在”与“不在”问题、组合中的“含”与“不含”问题、“相邻”与“不相邻”问题、分组问题等．
(3)转化思想：把一些排列组合问题与基本类型相联系，从而把这些问题转化为基本类型，然后加以解决．
[变式训练] (1)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )
A ．360
B ．520
C ．600
D ．720
(2)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为________．
解析：(1)当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C 35
A 44＝480；当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A 25A 23＝120.
所以不同的发言顺序的种数为480＋120＝600.
(2)把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有C 24A 22
＝3(种)，把这两组人安排到6个班中的某2个班中去，有A 26种方法，故不同的
安排种数为3A 26＝90.
答案：(1)C (2)90
专题三 二项式定理的应用
二项式定理是历年高考中的必考内容，解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”．
[例8] (1)(2016·山东卷)若⎝
⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．
(2)设(3x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________．
解析：(1)T r ＋1＝a 5－r C r 5x 10－52r ，令10－52
r ＝5，解之得r ＝2，所以
a 3C 25＝－80，a ＝－2.
(2)令x ＝1，得a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝26＝64；
令x ＝－1，得a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝4 096.
两式相加，得2(a 6＋a 4＋a 2＋a 0)＝4 160，
所以a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝2 080.
答案：(1)－2 (2)2 080
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(1)区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a ，b 有关，可正可负；二项式系数只与n 有关，恒为正数．
(2)切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．
(3)求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项．
(4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1等．
[变式训练] 已知bx n ＋1＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －
1)n ，对任意x ∈R 恒成立，且a 1＝9，a 2＝36，则b ＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：因为bx n ＋1＝b [(x －1)＋1]n ＋1，
所以b [(x －1)＋1]n ＋1＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n . 因此⎩⎨⎧
a 1＝C n －1n ·
b ＝n ·b ＝9，a 2＝C n －2n ·b ＝n （n －1）b 2
＝36. 所以n －1＝8，则n ＝9，从而b ＝1.
答案：D
专题四分类讨论思想
分类讨论思想在解决排列组合问题时经常应用，此类问题一般情况繁多，因此要对各种不同的情况进行合理的分类与准确的分步，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏的现象发生．
[例9]形如45 132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()
A．20 B．18
C．16 D．11
解析：由题意可知，十位和千位数字只能是4，5或3，5，若十位和千位排4，5，则其他位置任意排1，2，3，这样的数有A22A33＝12(个)；若十位和千位排5，3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1，2在其余位置上任意排列，这样的数有A22A22＝4(个)，综上，共有16个．
答案：C
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排列组合的综合问题一般比较复杂，分类方法也灵活多变．一般有以下一些分类方式：(1)根据元素分类，又包括根据特殊元素分类，根据元素特征分类，根据特殊元素的个数分类；(2)根据特殊位置分类；
(3)根据图形分类，又包括根据图形的特征分类，根据图形的种类分类；
(4)根据题设条件分类．
[变式训练](2018·浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答)．
解析：第一类：不含0的，按照分步乘法计数原理：C25C23A44＝10
×3×24＝720；第二类：包含0的，按照分步乘法计数原理：C25C13C13A33＝10×3×3×6＝540.
所以可以组成没有重复数字的四位数的个数为720＋540＝1 260(个)．
答案：1 260
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。