高考试卷库——陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期理科数学试题(含答案解析)
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法一：如图，
分别过 ， 作平面 的垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， 在 上，且 ， 分别为 的三等分点，且 ， , ，
所以四边形 为矩形，
所以 ．
且 ，
所以 ．
所以 ，由（1）得 两两垂直．
又 ，
所以 ．
如图，以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设 ， 分别为平面 与平面 的法向量，
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．5
3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（）
只有在 时才成立，故B错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：D.
8．C
【分析】
根据给定条件利用奇偶函数的定义，列出方程组计算作答.
【详解】
函数 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 ，即 ，
而 ，联立解得 ， ，
所以 .
故选：C
9．A
【分析】
判断出 ，利用 求得离心率.
【详解】
（2）如图乙，设 ， 的延长线交于点M，求二面角 的余弦值.
19．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征 遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜､刘伯明､汤洪波 名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的 型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将 型材料更好地投入商用，拟对 型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入 （亿元）与产品的直接收益 （亿元）的数据统计如下：
所以 为假命题； 为假命题； 为真命题；④ 为假命题.
故选:C.
11．A
【分析】
根据给定条件将直三棱柱 补形成正方体 ，借助正方体求其外接球半径计算作答.
【详解】
在直三棱柱 中，因 ，即 ，则 ，
于是得 ，将其补形成棱长为2的正方体 ，如图，
则直三棱柱 的外接球即为棱长为2的正方体 的外接球，
球半径 ，因此， ，
评卷人
得分
四、解答题
17．已知等差数列 的公差 ，其前 项和为 ，若 ，且 、 、 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．如图甲，三棱锥 ， 均为底面边长为 ､侧棱长为 的正棱锥，且A､B､C､D四点共面（点P，Q在平面 的同侧）， ， 交于点O.
（1）证明：平面 平面 ；
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）由设 ，可得 ，由 可得出关于 的等式，解出正数 的值，即可得出抛物线 的方程；
设 ，则 ，
所以 ，
又Q在双曲线上，可得 ，
所以 .
可得 ，
即 ，
故双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
15．
【分析】
由已知及正弦定理可得 ， ，进而由余弦定理可得 的值．
【详解】
因为 ，所以由正弦定理得 ，又 ，所以可得 ，所以 .
故答案为： .
16．24
【分析】
由每个正方形4条边，每个三角形3条边，再考虑到每条边对应两个面，由此可得多面体的棱.分别由三角形和四边形的的面积公式求得多面体的表面积.
序号
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
6
8
10
13
15
22
27
40
48
54
60
当 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： ，模型②： ；当 时，确定y与x满足的线性回归方程为 .
回归模型
模型①
模型②
79.13
20.2
（1）根据表格中的数据，比较当 时模型①，②的相关指数 的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
A． B． C． D．
7．下列不等式中一定成立的是（）
A． B．
C． D．
8．已知函数 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 （）
A． B． C． D．
9．设椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与C交于A，B两点，若 为等边三角形，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
10．已知命题p：在 中，若 ，则 ；命题q：函数 有两个零点，则下列为真命题的是（）
陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期
理科数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
【详解】
解：每个正方形4条边，每个三角形3条边， ，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有 条棱.
三角形和四边形的边长都是 ，所以正方形总面积为 ，三角形总面积为 ，所以多面体的表面积为 .
故答案为：24； .
17．
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得结果；
则 ，
．
所以 ，
由图可得所以二面角 的平面角的余弦值为 .
法二：
分别过 作平面 的垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， 在 上，且 ， 分别为 的三等分点，
且 ， ， ，
所以四边形 为矩形，
所以 ．
且 ，
所以 ，
所以 ．
取 的中点 ，则 ， ，
所以 为二面角 的平面角．
又 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ．
又 ，
.
所以二面角 的平面角的余弦值为 .
19．
（1） ，模型②拟合精度更高､更可靠，收益为 ；
（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小.
【分析】
（1）根据题意求得 ，再根据 的计算公式，即可分别求得 ，则可判断不同模型的拟合度；
（2）根据题意，求得回归直线方程，即可代值计算，求得预测值.
（1）
对于模型①，对应的 ，
所以三棱柱 外接球体积等于 .
故选：A
12．D
【分析】
首先根据题中的条件得到 ，从而得到 ；再根据 时 得到 ，结合函数 的单调性得到 ，从而得到 .
【详解】
由 得 ，————①
由 得 ，————②
两式相加得 ，因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ；
因为 ， ，所以 ，即 ，所以 ；
令 ，则 ，当 时， ，
故对应的 ，
故对应的相关指数 ，
对于模型②，同理对应的相关指数 ，
故模型②拟合精度更高､更可靠.
故对 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为
.
（2）
当 时，
后五组的 ，
由最小二乘法可得 ，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
20．
故选：C.
5．B
【分析】
根据图象求出函数 的解析式，代值计算即可得出 的值.
【详解】
由图象可知，函数 的最小正周期为 ，故 ，
又 ，所以 ， ，
又 ，故 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
6．A
【分析】
甲､乙､丙､丁4人分到三个不同的村，每个村至少分1人的方法数是 ，其中甲被单独分到A村的方法数是 ，根据古典概率公式计算可得答案.
（1）以过原点的直线的倾斜角 为参数，求曲线C的参数方程；
（2）设曲线C上任一点为 ，求 的取值范围.
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若正数a，b，c满足 ，求 的最小值.
参考答案
1．C
【分析】
求得根式不等式以及对数不等式解得集合 ，再求交集即可.
【详解】
由题可得： ，
，所以 .
故选：C.
2．B
【分析】
根据复数运算法则和共轭复数相关知识求解即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
3．A
【分析】
根据乌龟每次爬行的距离构成等比数列 ，写出 和 ，再结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列 ，
其中 ，且 ，
所以乌龟爬行的总距离为 .
故选：A.
所以 在 内单调递增，即 ，
所以 ，即 ，
又令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 内单调递增，所以由 ，得到 .
所以 .
故选：D.
13．
【分析】
利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】
.
故答案为： .
14．
【分析】
设点 的坐标为 ，利用点在双曲线上则点的坐标满足双曲线方程，结合题意，即可求得
【详解】
由于 为等边三角形，根据椭圆的对称性可知 ，
在 中， ， ，
所以 .
故选：A
10．C
【分析】
分别判断命题p、命题q的真假，进而依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
对于命题p：在 中， （大边对大角），由正弦定理得 ，故p是真命题；
对于命题q：∵ ，∴函数 在 上有一个零点，
又∵ ，∴函数 有三个零点，故q为假，∴q为假命题.
（2）求出 ，利用裂项相消法可求得 .
（1）
解：对于等差数列 ，因为 ，且 、 、 成等比数列，
即 ，即 ，解得 ，
因此， .
（2）
解：因为 为等差数列， ，
所以 ，则 ，
因此，
.
18．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）连接 根据题意可得 ， 结合线面垂直判定定理可证 平面 ，根据面面垂直判定定理得证；
A． 米B． 米
C． 米D． 米
4．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
5．己知函数 的部分图象如图所示，则 （）
A． B． C． D．
6．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了甲､乙､丙､丁四名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，若每个村至少去1人，则甲单独被分到A村的概率为（）
A． B． C． D．
11．在直三棱柱 中， ，则三棱柱 外接球体积等于（）
A． B． C． D．
12．已知实数 ， ， 满足 且 ，若 ，则（）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知向量 、 满足 ， ， ，则 ___________.
14．设 ， 是双曲线 实轴的两个端点， 是双曲线上的一点（异于 ， 两点），且 ，则双曲线的渐近线方程为___________.
20．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴交于 ，与 交于 ，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 、 是 上两点，其横坐标之和为 ，且 在以 为直径的圆上，求直线 的方程.
21．己知函数 .
（1）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当 时，证明： .
22．在直角坐标系 中，曲线 的方程为： .
4．C
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用代数式 的几何意义以及数形结合可求得 的最大值.
【详解】
作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
目标函数 的几何意义为可行域内的点 与定点 连线的斜率，
由图可知，当点 在可行域内运动时，直线 的倾斜角均为锐角，
联立 可得 ，即点 ，
当点 与点 重合时，直线 的倾斜角最大，此时 取最大值，即 .
15．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足 ，则 ___________.
评卷人
得分
三、双空题
16．取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示.则此多面体有___________条棱，表面积为___________.
【详解】
解：甲､乙､丙､丁4人分到三个不同的村，每个村至少分1人的方法数是 ，其中甲被单独分到A村的方法数是 ，因此所求概率 .
故选：A.
7．D
【分析】
由 得 的范围可判断A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B；作差比较 与 的大小可判断C；作差比较 与 的大小可判断D.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
（2）法一：建立空间直角坐标系，根据条件求出其法向量，利用向量法求二面角问题步骤求解即可；
法二：通过题意和图形证明 为二面角 的平面角，在三角形中利用解三角形求出 即为所求.
（1）
证明：如图，连接
因为 ， 为 的中点，所以 ．
同理， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）
（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小.
附：刻画回归效果的相关指数 ，且当 越大时，回归方程的拟合效果越好. .用最小二乘法求线性回归方程 的截距： .
分别过 ， 作平面 的垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， 在 上，且 ， 分别为 的三等分点，且 ， , ，
所以四边形 为矩形，
所以 ．
且 ，
所以 ．
所以 ，由（1）得 两两垂直．
又 ，
所以 ．
如图，以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设 ， 分别为平面 与平面 的法向量，
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．5
3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（）
只有在 时才成立，故B错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：D.
8．C
【分析】
根据给定条件利用奇偶函数的定义，列出方程组计算作答.
【详解】
函数 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 ，即 ，
而 ，联立解得 ， ，
所以 .
故选：C
9．A
【分析】
判断出 ，利用 求得离心率.
【详解】
（2）如图乙，设 ， 的延长线交于点M，求二面角 的余弦值.
19．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征 遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜､刘伯明､汤洪波 名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的 型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将 型材料更好地投入商用，拟对 型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入 （亿元）与产品的直接收益 （亿元）的数据统计如下：
所以 为假命题； 为假命题； 为真命题；④ 为假命题.
故选:C.
11．A
【分析】
根据给定条件将直三棱柱 补形成正方体 ，借助正方体求其外接球半径计算作答.
【详解】
在直三棱柱 中，因 ，即 ，则 ，
于是得 ，将其补形成棱长为2的正方体 ，如图，
则直三棱柱 的外接球即为棱长为2的正方体 的外接球，
球半径 ，因此， ，
评卷人
得分
四、解答题
17．已知等差数列 的公差 ，其前 项和为 ，若 ，且 、 、 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．如图甲，三棱锥 ， 均为底面边长为 ､侧棱长为 的正棱锥，且A､B､C､D四点共面（点P，Q在平面 的同侧）， ， 交于点O.
（1）证明：平面 平面 ；
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）由设 ，可得 ，由 可得出关于 的等式，解出正数 的值，即可得出抛物线 的方程；
设 ，则 ，
所以 ，
又Q在双曲线上，可得 ，
所以 .
可得 ，
即 ，
故双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
15．
【分析】
由已知及正弦定理可得 ， ，进而由余弦定理可得 的值．
【详解】
因为 ，所以由正弦定理得 ，又 ，所以可得 ，所以 .
故答案为： .
16．24
【分析】
由每个正方形4条边，每个三角形3条边，再考虑到每条边对应两个面，由此可得多面体的棱.分别由三角形和四边形的的面积公式求得多面体的表面积.
序号
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
6
8
10
13
15
22
27
40
48
54
60
当 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： ，模型②： ；当 时，确定y与x满足的线性回归方程为 .
回归模型
模型①
模型②
79.13
20.2
（1）根据表格中的数据，比较当 时模型①，②的相关指数 的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
A． B． C． D．
7．下列不等式中一定成立的是（）
A． B．
C． D．
8．已知函数 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 （）
A． B． C． D．
9．设椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与C交于A，B两点，若 为等边三角形，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
10．已知命题p：在 中，若 ，则 ；命题q：函数 有两个零点，则下列为真命题的是（）
陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期
理科数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
【详解】
解：每个正方形4条边，每个三角形3条边， ，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有 条棱.
三角形和四边形的边长都是 ，所以正方形总面积为 ，三角形总面积为 ，所以多面体的表面积为 .
故答案为：24； .
17．
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得结果；
则 ，
．
所以 ，
由图可得所以二面角 的平面角的余弦值为 .
法二：
分别过 作平面 的垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， 在 上，且 ， 分别为 的三等分点，
且 ， ， ，
所以四边形 为矩形，
所以 ．
且 ，
所以 ，
所以 ．
取 的中点 ，则 ， ，
所以 为二面角 的平面角．
又 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ．
又 ，
.
所以二面角 的平面角的余弦值为 .
19．
（1） ，模型②拟合精度更高､更可靠，收益为 ；
（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小.
【分析】
（1）根据题意求得 ，再根据 的计算公式，即可分别求得 ，则可判断不同模型的拟合度；
（2）根据题意，求得回归直线方程，即可代值计算，求得预测值.
（1）
对于模型①，对应的 ，
所以三棱柱 外接球体积等于 .
故选：A
12．D
【分析】
首先根据题中的条件得到 ，从而得到 ；再根据 时 得到 ，结合函数 的单调性得到 ，从而得到 .
【详解】
由 得 ，————①
由 得 ，————②
两式相加得 ，因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ；
因为 ， ，所以 ，即 ，所以 ；
令 ，则 ，当 时， ，
故对应的 ，
故对应的相关指数 ，
对于模型②，同理对应的相关指数 ，
故模型②拟合精度更高､更可靠.
故对 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为
.
（2）
当 时，
后五组的 ，
由最小二乘法可得 ，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
20．
故选：C.
5．B
【分析】
根据图象求出函数 的解析式，代值计算即可得出 的值.
【详解】
由图象可知，函数 的最小正周期为 ，故 ，
又 ，所以 ， ，
又 ，故 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
6．A
【分析】
甲､乙､丙､丁4人分到三个不同的村，每个村至少分1人的方法数是 ，其中甲被单独分到A村的方法数是 ，根据古典概率公式计算可得答案.
（1）以过原点的直线的倾斜角 为参数，求曲线C的参数方程；
（2）设曲线C上任一点为 ，求 的取值范围.
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若正数a，b，c满足 ，求 的最小值.
参考答案
1．C
【分析】
求得根式不等式以及对数不等式解得集合 ，再求交集即可.
【详解】
由题可得： ，
，所以 .
故选：C.
2．B
【分析】
根据复数运算法则和共轭复数相关知识求解即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
3．A
【分析】
根据乌龟每次爬行的距离构成等比数列 ，写出 和 ，再结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列 ，
其中 ，且 ，
所以乌龟爬行的总距离为 .
故选：A.
所以 在 内单调递增，即 ，
所以 ，即 ，
又令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 内单调递增，所以由 ，得到 .
所以 .
故选：D.
13．
【分析】
利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】
.
故答案为： .
14．
【分析】
设点 的坐标为 ，利用点在双曲线上则点的坐标满足双曲线方程，结合题意，即可求得
【详解】
由于 为等边三角形，根据椭圆的对称性可知 ，
在 中， ， ，
所以 .
故选：A
10．C
【分析】
分别判断命题p、命题q的真假，进而依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
对于命题p：在 中， （大边对大角），由正弦定理得 ，故p是真命题；
对于命题q：∵ ，∴函数 在 上有一个零点，
又∵ ，∴函数 有三个零点，故q为假，∴q为假命题.
（2）求出 ，利用裂项相消法可求得 .
（1）
解：对于等差数列 ，因为 ，且 、 、 成等比数列，
即 ，即 ，解得 ，
因此， .
（2）
解：因为 为等差数列， ，
所以 ，则 ，
因此，
.
18．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）连接 根据题意可得 ， 结合线面垂直判定定理可证 平面 ，根据面面垂直判定定理得证；
A． 米B． 米
C． 米D． 米
4．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
5．己知函数 的部分图象如图所示，则 （）
A． B． C． D．
6．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了甲､乙､丙､丁四名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，若每个村至少去1人，则甲单独被分到A村的概率为（）
A． B． C． D．
11．在直三棱柱 中， ，则三棱柱 外接球体积等于（）
A． B． C． D．
12．已知实数 ， ， 满足 且 ，若 ，则（）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知向量 、 满足 ， ， ，则 ___________.
14．设 ， 是双曲线 实轴的两个端点， 是双曲线上的一点（异于 ， 两点），且 ，则双曲线的渐近线方程为___________.
20．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴交于 ，与 交于 ，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 、 是 上两点，其横坐标之和为 ，且 在以 为直径的圆上，求直线 的方程.
21．己知函数 .
（1）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当 时，证明： .
22．在直角坐标系 中，曲线 的方程为： .
4．C
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用代数式 的几何意义以及数形结合可求得 的最大值.
【详解】
作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
目标函数 的几何意义为可行域内的点 与定点 连线的斜率，
由图可知，当点 在可行域内运动时，直线 的倾斜角均为锐角，
联立 可得 ，即点 ，
当点 与点 重合时，直线 的倾斜角最大，此时 取最大值，即 .
15．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足 ，则 ___________.
评卷人
得分
三、双空题
16．取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示.则此多面体有___________条棱，表面积为___________.
【详解】
解：甲､乙､丙､丁4人分到三个不同的村，每个村至少分1人的方法数是 ，其中甲被单独分到A村的方法数是 ，因此所求概率 .
故选：A.
7．D
【分析】
由 得 的范围可判断A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B；作差比较 与 的大小可判断C；作差比较 与 的大小可判断D.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
（2）法一：建立空间直角坐标系，根据条件求出其法向量，利用向量法求二面角问题步骤求解即可；
法二：通过题意和图形证明 为二面角 的平面角，在三角形中利用解三角形求出 即为所求.
（1）
证明：如图，连接
因为 ， 为 的中点，所以 ．
同理， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）
（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小.
附：刻画回归效果的相关指数 ，且当 越大时，回归方程的拟合效果越好. .用最小二乘法求线性回归方程 的截距： .