辽宁省鞍山市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题含解析

辽宁省鞍山市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ）
A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1
B ．图像的对称轴在y 轴的右侧
C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．y 的最小值为-3
2．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C 停止，设点P 的运动路程为x(cm)，在下列图象中，能表示△ADP 的面积y(cm 2)关于x(cm)的函数关系的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．80（1+x ）2=100
B ．100（1﹣x ）2=80
C ．80（1+2x ）=100
D ．80（1+x 2）=100
4．如图,在△ABC 中,AD 是BC 边的中线,∠ADC=30°
,将△ADC 沿AD 折叠,使C 点落在C′的位置,若BC=4,则BC′的长为 ( )
A ．23
B ．2
C ．4
D ．3
5．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC ＝30°，则∠BOC 的大小是( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．45° 6．方程
23x 1x =-的解是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
7．如图1，在等边△ABC 中，D 是BC 的中点，P 为AB 边上的一个动点，设AP=x ，图1中线段DP 的
长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为（）
A．4 B．23C．12 D．43 8．下列命题中，真命题是（）
A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离
B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切
C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离
9．﹣1
2
的绝对值是（）
A．﹣1
2
B．
1
2
C．﹣2 D．2
10．估计8-1的值在（）
A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3至4之间11．正比例函数y＝2kx的图象如图所示，则y＝(k－2)x＋1－k的图象大致是()
A．
B．
C．
D．
12．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．国家游泳中心“水立方”是奥运会标志性建筑之一，其工程占地面积约为62800m 2，将62800用科学记数法表示为_____．
14．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是_____________．
15．如图为二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线1x =.若其与x 轴一交点为A(3，0)则由图象可知，不等式20ax bx c ++<的解集是_______.
16．如图，sin ∠C 35
=，长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动，点B 在射线CA 上，且BC=5，则△BDE 周长的最小值为______．
17．函数y ＝的自变量x 的取值范围是_____．
18．分解因式：22 x y -=_______________.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于点Q 到两坐标轴的距离之和，则称P ，Q 两点为同族点．下图中的P ，Q 两点即为同族点．
(1)已知点A 的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A 的同族点的是 ；②若点B 在x 轴上，且A ，B 两点为同族点，则点B 的坐标
为 ；
(2)直线l ：y=x ﹣3，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，
①M 为线段CD 上一点，若在直线x=n 上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，求n 的取值范围； ②M 为直线l 上的一个动点，若以(m ，0)为圆心，2为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，直接写出m 的取值范围．
20．（6分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
求该班团员在这一个月内所
发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的
概率.
21．（6分）如图，O e 是ABC V 的外接圆，AC 是O e 的直径，过圆心O 的直线PF AB ⊥于D ，交O e 于,E F ，PB 是O e 的切线，B 为切点，连接AP ，AF ．
（1）求证：直线PA 为O e 的切线；
（2）求证：24EF OD OP =⋅；
（3）若6BC =，1tan 2
F ∠=，求AC 的长． 22．（8分）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多300元，商场用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售利润为Y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16200元，请分析合理的方案共有多少种？ （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调K （0＜K ＜150）元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
23．（8分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB 的平分线交AB 边于点O ，再以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果．
24．（10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角
为60°沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的倾斜角∠BAH ＝30°，
AB ＝20米，AB ＝30米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
25．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E和点F，连接CD、BD．
（1）求证：∠A＝2∠BDF；
（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．
26．（12分）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．
（1）求四边形OEBF的面积；
（2）求证：OG•BD=EF2；
（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．
27．（12分）如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选D．
点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．B
【解析】
【分析】
△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【详解】
解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝1
2
×2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y＝1
2
×2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是B；
故选B．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
3．A
【解析】
【分析】
利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】
由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）2=100，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
4．A
【解析】
连接CC′，
∵将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，∠ADC=30°，
∴∠ADC′=∠ADC=30°，CD=C′D，
∴∠CDC′=∠ADC+∠ADC′=60°，
∴△DCC′是等边三角形，
∴∠DC′C=60°，
∵在△ABC中，AD是BC边的中线，
即BD=CD，
∴C′D=BD，
∴∠DBC′=∠DC′B=1
2
∠CDC′=30°，
∴∠BC′C=∠DC′B+∠DC′C=90°，∵BC=4，
∴BC′=BC•cos∠DBC′=4×3
=23，
故选A.
【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】欲求∠BOC，又已知一圆周角∠BAC，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【详解】∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC =60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．A
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解：去分母得：2x=3x﹣3，解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．故选A．
7．D
【解析】
分析：
由图1、图2结合题意可知，当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小3，这样如图3，过点P 作PD⊥AB于点P，连接AD，结合△ABC是等边三角形和点D是BC边的中点进行分析解答即可.
详解：
由题意可知：当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小33，过点P作PD⊥AB于点P，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，
∴∠ABC=60°，AD⊥BC，
∵DP⊥AB于点P，此时3，
∴BD=
3
32 sin602
PD
=÷=
o
，
∴BC=2BD=4，
∴AB=4，
∴AD=AB·sin∠B=4×sin60°=23，
∴S△ABC=1
2
AD·BC=
1
23443
2
⨯⨯=.
故选D.
点睛：“读懂题意，知道当DP⊥AB于点P时，DP最短3是解答本题的关键.
8．D
【解析】
【分析】
根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】
A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；
B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；
C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；
D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r （R＞r）时两圆内含．
9．B
【解析】
【分析】
根据求绝对值的法则，直接计算即可解答．
【详解】
111
-=--=，
()
222
故选：B．
【点睛】
本题主要考查求绝对值的法则，掌握负数的绝对值等于它的相反数，是解题的关键．10．B
【解析】
试题分析：∵23，
∴1＜2，
在1到2之间，
故选B．
考点：估算无理数的大小．
11．B
【解析】
试题解析：由图象可知，正比函数y=2kx的图象经过二、四象限，
∴2k<0，得k<0，
∴k−2<0，1−k>0，
∴函数y=(k−2)x+1−k图象经过一、二、四象限，
故选B.
12．A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】
解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间有一个小正方形，
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．6.28×1．
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
62800用科学记数法表示为6.28×1．
故答案为6.28×1．
【点睛】
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．5
k<
【解析】
分析：先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可．
详解：由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，1），
∴
2
4
4
ac b
a
-
=1，即b2-4ac=-20a，
∵ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
∴方程ax2+bx+c-k=0的判别式△＞0，即b2-4a（c-k）=b2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a（1-k）＞0
∵抛物线开口向下
∴a＜0
∴1-k＞0
∴k＜1．
故答案为k＜1．
点睛：本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．
15．﹣1＜x＜1
【解析】
试题分析：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（1，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴-1＜x＜1．
考点：二次函数与不等式（组）．
16．2+
【分析】
作BK ∥CF ，使得BK=DE=2，作K 关于直线CF 的对称点G 交CF 于点M ，连接BG 交CF 于D'，则''2D E DE ==，此时△BD'E'的周长最小，作BH CF ⊥交CF 于点F ，
可知四边形''BKD E 为平行四边形及四边形BKMH 为矩形，在Rt BCH V 中，解直角三角形可知BH 长，易得GK 长，在Rt △BGK 中，可得BG 长，表示出△BD'E'的周长等量代换可得其值.
【详解】
解：如图，作BK ∥CF ，使得BK=DE=2，作K 关于直线CF 的对称点G 交CF 于点M ，连接BG 交CF 于D'，则''2D E DE ==，此时△BD'E'的周长最小，作BH CF ⊥交CF 于点F.
由作图知''''
//D ,D BK E BK E =，∴四边形''BKD E 为平行四边形， ''BE KD ∴=
由对称可知'',2,KG CF GK KM KD GD ⊥==
BH CF ⊥Q
//BH KG ∴
//CF BK Q ，即//BK HM
∴四边形BKMH 为矩形
,90KM BH BKM ︒∴=∠=
在Rt BCH V 中， 3sin 55
BH BH C BC ∠=== 3BH ∴=
3KM ∴=
26GK KM ∴==
∴BG ==，
∴△BDE 周长的最小值为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了最短距离问题，涉及了轴对称、矩形及平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理，难度系数较大，利用两点之间线段最短及轴对称添加辅助线是解题的关键.
17．x≠﹣1
【解析】
【分析】
根据分母不等于2列式计算即可得解．
【详解】
解：根据题意得x+1≠2，
解得x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【点睛】
考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．
18． (x+y)(x-y)
【解析】
直接利用平方差公式因式分解即可，即原式=(x+y)(x-y)，故答案为(x+y)(x-y).
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）①R ，S;②（4-，0）或（4，0）；（2）①33n -≤≤;②m≤1-或m≥1．
【解析】
【分析】
【详解】
（1）∵点A 的坐标为(−2,1)，
∴2+1=4，
点R(0,4),S(2,2),T(2,−2)中，
0+4=4，2+2=4，2+2=5，
∴点A 的同族点的是R ，S ；
故答案为R ，S ；
②∵点B 在x 轴上，
∴点B 的纵坐标为0，
则|x|=4，
∴x=±4，
∴B(−4,0)或(4,0)；
故答案为(−4,0)或(4,0)；
（2）①由题意，直线3y x =-与x 轴交于C （2，0），与y 轴交于D （0，3-）．
点M 在线段CD 上，设其坐标为（x ，y ），则有：
0x ≥，0y ≤，且3y x =-．
点M 到x 轴的距离为y ，点M 到y 轴的距离为x ， 则3x y x y +=-=．
∴点M 的同族点N 满足横纵坐标的绝对值之和为2．
即点N 在右图中所示的正方形CDEF 上．
∵点E 的坐标为（3-，0），点N 在直线x
n =上， ∴33n -≤≤．
②如图,设P(m,0)为圆心, 2为半径的圆与直线y=x−2相切，
2,45PN PCN CPN ︒=∠=∠=Q
∴PC=2，
∴OP=1，
观察图形可知,当m≥1时,若以(m,0)为圆心2为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，再根据对称性可知，m≤1-也满足条件，
∴满足条件的m 的范围：m≤1-或m≥1
20．（1）3，补图详见解析；（2）
7 12
【解析】
【分析】
(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数
(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可
【详解】
由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%，
故该班团员人数为：
325%12
÷=（人），
则发4条箴言的人数为：1222314
----=（人），
所以本月该班团员所发的箴言共212233441536
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（条），则平均所发箴言的条数是：36123
÷=（条）.
（2）画树形图如下：
由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为
7
12 P=.
【点睛】
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1．
【解析】
【分析】
（1）连接OA ，由OP 垂直于AB ，利用垂径定理得到D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，可得出AP=BP ，再由OA=OB ，OP=OP ，利用SSS 得出三角形AOP 与三角形BOP 全等，由PA 为圆的切线，得到OA 垂直于AP ，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB 垂直于BP ，即PB 为圆O 的切线；
（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD 与三角形OAP 相似，由相似得比例，列出关系式，由OA 为EF 的一半，等量代换即可得证．
【详解】
（1）连接OB ，
∵PB 是⊙O 的切线，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB ，BA ⊥PO 于D ，
∴AD=BD ，∠POA=∠POB ．
又∵PO=PO ，
∴△PAO ≌△PBO ．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直线PA 为⊙O 的切线．
（2）由（1）可知，90OAP ∠=︒，
FE AB ⊥Q ，
90ADO ∴∠=︒，
OAP ADO ∴∠=∠=90︒，
DOA AOP ∠=∠Q ，
AOD POA ∴△∽△，
OD OA OA OP
∴=，即2OA OD OP =⋅， EF Q 是O e 直径，
OE ∴是O e 半径
1OE OA EF ∴==，
2OA OD OP =⋅Q ，
2
12EF OD OP ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭
， 整理得24EF OD OP =⋅；
（3）O Q 是AC 中点，D 是AB 中点， OD ∴是ABC V 的中位线，
12
OD BC ∴=162=⨯3=， AB EF ⊥Q ，
90ADF ∴∠=︒，
ADF ∴V 是直角三角形，
Q 在Rt ADF V 中，1tan 2
F =， 1tan 2
AD F FD ∴==， 2FD AD ∴=，
FD OF OD =+Q ，
OF FD OD ∴=-，则23OF AD =-，
OF Q 、OA 是O e 半径，
23OA OF AD ∴==-，
Q 在Rt AOD △中，3OD =，23OA AD =-，
∴由勾股定理得：
222OA OD AD =+，即222(23)3AD AD -=+，
解得：4=AD 或0AD =（舍去），
23OA AD ∴=-243=⨯-5=，
2AC OA ∴=25=⨯10=．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
22．（1）每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；（2）共有5种方案；
（3）当100＜k ＜150时，购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大；当0＜k ＜100时，购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，当k=100时，无论采取哪种方案，y 1恒为20000元．
【解析】
【分析】
（1）用“用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等”建立方程即可；（2）建立不等式组求出x的范围，代入即可得出结论；（3）建立y1=（k﹣100）x+20000，分三种情况讨论即可．
【详解】
（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价（m+300）元，
由题意得，
90007200
300
m m
=
+
，
∴m=1200，
经检验，m=1200是原分式方程的解，也符合题意，
∴m+300=1500元，
答：每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；
（2）由题意，y=（1600﹣1500）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=﹣100x+20000，
∵
1002000016200
1002
x
x
-+≥
⎧
⎨
-≤
⎩
，
∴331
3
≤x≤38，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，
即：共有5种方案；
（3）设厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜150）元后，这100台家电的销售总利润为y1元，
∴y1=（1600﹣1500+k）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=（k﹣100）x+20000，
当100＜k＜150时，y1随x的最大而增大，
∴x=38时，y1取得最大值，
即：购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大，
当0＜k＜100时，y1随x的最大而减小，
∴x=34时，y1取得最大值，
即：购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，
当k=100时，无论采取哪种方案，y1恒为20000元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．23．（1）见解析（2）相切
【解析】
【分析】
可；
（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．
【详解】
（1）如图所示：
；
（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O与直线AC相切，
【点睛】
此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，
正确利用角平分线的性质求出d=r是解题关键．
24．(1) BH为10米；(2) 宣传牌CD高约（40﹣203）米
【解析】
【分析】
（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
【详解】
（1）过B作BH⊥AE于H，
Rt△ABH中，∠BAH＝30°，
∴BH＝1
2
AB＝
1
2
×20＝10（米），
即点B距水平面AE的高度BH为10米；（2）过B作BG⊥DE于G，
∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由（1）得：BH＝10，AH＝3
∴BG＝AH+AE＝（3+30）米，
∴CG＝BG＝（103+30）米，
∴CE＝CG+GE＝CG+BH＝103+30+10＝103+40（米），
在Rt△AED中，
DE
＝tan∠DAE＝tan60°＝3，
AE
DE＝3AE＝303
∴CD＝CE﹣DE＝103+40﹣303＝40﹣203．
答：宣传牌CD高约（40﹣203）米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题的基本方法.
25．（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）连接AD，如图，利用圆周角定理得∠ADB=90°，利用切线的性质得OD⊥DF，则根据等角的余角相等得到∠BDF=∠ODA，所以∠OAD=∠BDF，然后证明∠COD=∠OAD得到∠CAB=2∠BDF；（2）连接BC交OD于H，如图，利用垂径定理得到OD⊥BC，则CH=BH，于是可判断OH为△ABC 的中位线，所以OH=1.5，则HD=1，然后证明四边形DHCE为矩形得到CE=DH=1．
【详解】
（1）证明：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵EF为切线，
∴OD⊥DF，
∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，∴∠BDF＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠BDF，
∵D是弧BC的中点，
∴∠COD＝∠OAD，
∴∠CAB＝2∠BDF；
（2）解：连接BC交OD于H，如图，
∵D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BH，
∴OH为△ABC的中位线，
∴
11
3 1.5
22
OH AC
==⨯=，
∴HD＝2.5－1.5＝1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形DHCE为矩形，
∴CE＝DH＝1．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理．
26．（1）1
4
；（2）详见解析；（3）AE=
1
4
．
【解析】
【分析】
（1）由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得S四边形
OEBF =S△BOC=
1
4
S正方形ABCD；
（2）易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG•OB=OE2，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论；
（3）首先设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二
次函数的最值问题，求得AE 的长．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴OB=OC ，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF ，
在△BOE 和△COF 中，
,BOE COF OB OC
OBE OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BOE ≌△COF （ASA ），
∴S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOE =S △BOE +S △COF =S △BOC =14
S 正方形ABCD 111144=⨯⨯=； （2）证明：∵∠EOG=∠BOE ，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG ∽△OBE ，
∴OE ：OB=OG ：OE ，
∴OG•OB=OE 2，
∵122
OB BD OE EF ==，， ∴OG•BD=EF 2；
（3）如图，过点O 作OH ⊥BC ，
∵BC=1， ∴1122
OH BC ==， 设AE=x ，则BE=CF=1﹣x ，BF=x ，
∴S △BEF +S △COF =12BE•BF+12CF•OH ()()21111911222432x x x x ⎛⎫=-+-⨯=--+ ⎪⎝⎭
， ∵102a =-
<， ∴当14
x =时，S △BEF +S △COF 最大； 即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，14AE =
．
【点睛】
本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．27．潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．
试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD=
tan AD ACD
=
tan30
x
= 3x
在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，
∴325+x= 3x•tan68°
解得：x≈100米，
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
视频。