【免费下载】幂函数导学案2

2.3 幂函数导学案
2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
（预习教材P 77~ P 79，找出疑惑之处）
复习1：求证在R 上为奇函数且为增函数.
3y x =复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出：
（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．
任务二、新课导学
探究任务一：幂函数的概念
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为的正方形面积，是的函数；
a 2S a =S a （2）面积为的正方形边长，是的函数；S 12
a S =a S （3）边长为的立方体体积，是的函数；
a 3V a =V a （4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；ts km 1/v t km s -=v t （5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.
w p w =p w 新知
1、幂函数的概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
y x α=()a R ∈α试一试：判断下列函数哪些是幂函数.
①；②；③；④1
y x
=22y x =3y x x =-1
y =探究任务二：幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
y x =12
y x =2y x =1y x -=3y x =
说明：
②除函数外，其余四个幂函
12y x =数具有奇偶性
②在第一象限内，函数 的图1
y x -=像向上与轴无限接近，我们称y 轴轴为渐近线
x y 结合以上特殊幂函数的图像得出一般幂函数的性质
（1）所有幂函数在上都有定
(0,)+∞义，并且图像都通过点(1,1)
（2）若，则幂函数的图像都过
0α>原点，并且在区间上为增[0,)+∞函数
（3）若则幂函数的图像在区
0,α<间上是减函数，在第一象(0,)+∞限内，当从右边趋向于原点时，x 图像在轴右方无限地逼近轴，y y 当趋向于时，图像在轴x +∞x 上方无限地逼近轴
x （4）当为奇数时，幂函数为奇函
α数；当为偶数时，幂函数为偶α函数
从图象分析出幂函数所具有的性质.
观察图象，总结填写下表：
常见幂函数的性质
　例1、已知幂函数，求的值
2
1
2
1
(22)23m
y m m x n -=+-+-,m n
例2、已知函数为何值时，是：22
1
()(2),m m f x m m x
m +-=+⋅()f x （1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数
例3． 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
32
y x =13
y x =23
y x =2
y x -=3
y x -=12
y x
-=
2、幂函数的定义域和值域
所有幂函数的定义域和值域的求法分为五种情况
y x α
=（1）时，的定义域为，值域为0α=0
y x ={
}
0x x ≠{}
1（2）为正整数时，的定义域为，为偶数时，值域为,为奇数时，值域为αy x α
=R α[0,)+∞αR
（3）为负整数时，的定义域为，为偶数时，值域为，为奇数时，值域为
αy x α
={}
0x x ≠α(0,)+∞α{}
0y y ≠
（4）当为正分数
时，化为，根据的奇偶性求解αn m y =,m n
（5）当为负分数时，化为，根据的的奇偶性求解
αn m -y =,m n 例4、（1）函数的定义域是
，值域是
；
2
3y x =（2）函数的定义域是
，值域是
；
23
y x
-
=练1（1）函数的定义域是
，值域是
；32
y x =（2）函数的定义域是
，值域是
；
32
y x
-
=练2、幂函数①，②，③，④，⑤，其中定义域为 的是（ ）
2
y x -=45
y x =54
y x =2
3
y x =45
y x
-
=R A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．④⑤
例5．设α∈{－1,1，，
3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )1
2
A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－1,1,3
3、幂函数的单调性和奇偶性
（1）幂函数的单调性：在区间上，当时，是增函数；当时，是减函
(0,)+∞0α>y x α
=0α<y x α
=数
（2）幂函数的奇偶性：令（其中、互质，、）q
p
α=
p q p q N +∈当为奇数，则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时，则是奇函数；
q p q
y x =p p p q
y x =当是偶数时，则是偶函数
p p q
y x =当为偶数，则必是奇数，此时既不是奇函数，也不是偶函数
q p p q
y x =例6、若当时，幂函数为减函数，则实数的值为（ ）
(0,)x ∈+∞2
53
(1)m y m m x
--=--⋅m
A ．
B ．
C ．或
D ．2m =1m =-1m =-2m =m ≠
例7、已知函数为偶函数，且2
23()
()m m m Z f x x -++∈=(3)(5)f f <（1）求的值，并确定的解析式
m ()f x （2）若在上为增函数，求实数的取值范围
()log (())(0,1)a g x f x ax a a =->≠[2,3]a 例8、已知幂函数为偶函数，且在区间上市减函数
223
()()m m f x x
m Z --=∈(0,)+∞（1）求函数的解析式
()f x
（2）讨论的奇偶性()()
b
F x xf x =-
练3、下列说法正确的是（ ）
A ．是奇函数
B ．是奇函数
12
y x =3
y x = C ．是非奇非偶函数 D ．是非奇非偶函数
2
y x -=13
y x =
4、构造幂函数比较两个幂值得大小
比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较例9、比较下列各组数大小：（1）
（2） （3）
1.5
(1)a + 1.5
(0)a
a >22
3
(2)
a -
+2
3
2-
12
1.1-
12
0.9
-
练4、比较下列各组数大小：（1）
（2）
3
(2)--3
( 2.5)--78
(8)-
-78
1()9
-（3），，25(4.1)23
(3.8)-35
( 1.9)
-练5、若，则下列不等式成立的是（
）
01a b <<<A ． B ． 1(1)(1)b
b
a a ->-(1)(1)a
b
a b +>+C ．
D ．2
(1)(1)b b
a a ->-(1)(1)
a
b
a b ->-任务三、课后作业第一题、选择题
1．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个2 ．若幂函数在上是增函数，则（ ）.
()f x x α=(0,)+∞A ．>0 B ．<0 C ．=0 D ．不能确定
ααα3．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．使(3－2x －x 2)－有意义的x 的取值范围是( )
34A ．R B ．x ≠1且x ≠3 C ．－3＜x ＜1 D ．x ＜－3或x ＞1
5. 若，那么下列不等式成立的是（ ）.
112
2
1.1,0.9a b -
==A ．<l<
B ．1<<
C ．<l<
D ．1<<a b a b b a
b a
6．函数的图象是（
）.
4
3
y x =
A. B. C. D.7．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( )
A ．(－∞，－4)
B ．(－4，＋∞)
C ．(4，＋∞)
D ．(－∞，4)
8．给出四个说法：
①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；
④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n ＜0.
其中正确的说法个数是( )A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
第二题、填空题
9. 已知幂函数的图象过点，则它的解析式为
.
()y f x =10．比较下列两组数的大小：
（1）； （2）.112
2
1.3_____1.5225.1______5.09--11．已知
2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
第三题、解答题
12．求函数y ＝(x －1)－的单调区间．
2
313．已知(m ＋4)－＜(3－2m )－，求m 的取值范围．
1
21
214．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇
偶性．
任务四、巩固训练第一题、选择题
1．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，)，则f (4)的值为( )
2
2A ．16 B. C. D ．21161
22．下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝x
C ．y ＝x －
D ．y ＝x －23321
33
4
3．函数3x y =和3
1x y =图象满足 （ ）
A ．关于原点对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x y =对称
4．函数2-=x
y 在区间]2,2
1[上的最大值是
（
）
A ．
4
1B ．1
-C ．4
D ．4-5．设T 1＝，T 2
＝，T 3
＝，则下列关系式正确的是 ( )
()23
1
2()23
15()
13
12A ．T 1<T 2<T 3
B ．T 3<T 1<T 2
C ．T 2<T 3<T 1
D ．T 2<T 1<T 3
6.幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ）
2
131
1
2x
y
,x y ,x y ,x y --==
== A. B. 2134
,,,C C C C 2
314C ,C ,C ,C C. D. 4
123C ,C ,C ,C 3
241C ,C ,C ,C 7. 下列函数在上为减函数的是（ ）
(),0-∞A. B. C. D. 13y x =2y x =3
y x =2
y x
-=8．幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( )
A ．α＞1
B ．0＜α＜1
C ．α＞0
D ．α＞0且α≠1
9.x∈（1，＋∞）时，函数y ＝的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是( )
a x A 、a ＜1
B 、0＜a ＜1
C 、a ＞0
D 、a ＜0
10．若点在幂函数的图象上，则下列结论中不能成立的是
( )
(),A a b ()n
y x
n Q =∈A ． B ． Ｃ． D ．00a b >⎧⎨>⎩00a b >
⎧⎨<⎩00a b <⎧⎨<⎩00
a b <⎧⎨
>⎩第二题、填空题
11．函数的定义域为________．
10
2
()(1)(1)f x x x =-+-12．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若
n >n ，则n ＝_______. (－12)(－
13)
13．9
42--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .
14．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x α (0＜α＜1),对于下列命题：
① 若x ＞1,则f(x)＞1； ② 若0＜x ＜1,则0＜f(x)＜1;
③ 若f(x 1)＞f(x 2),则x 1＞x 2； ④ 若0＜x 1＜x 2,则
.2
211)
()(x x f x x f <
其中正确的命题序号是 _______.
第三题、解答题
16．已知幂函数f （x ）＝（p ∈Z ）在上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，
13
22
2p p x
-++(0,)+∞并写出相应的函数f （x ）
17．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．
18．已知幂函数22
23
(1)m m y m m x
--=--，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇
偶性如何？单调性如何？
19．已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，当为何值时：
()f x 1(2,)2
--()g x x ； ； ．
(1)()()f x g x >(2)()()f x g x =(3)()()f x g x <
20．已知幂函数的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足
3p y x -=()p N *∈ 的 的取值范围．
3
3
(1)(32)p p a a -<+a 21．幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, ),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8,－2)
427(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性；
（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集.。