对偶理论DualityTheory

y2 y2

y3 y3
2 3 5

y1 4 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无 约 束
练习： 1.min Z 2 x1 2 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2

3
x1 x1

x2 7 x3 4x2 6x3
对偶理论
(Duality Theory)
对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶问题的经济解释----影子价格
对偶单纯形法 灵敏度分析
一、问 题 的 提 出
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每 一个线性规划（ LP ）必然有与之相伴而生的另一个 线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为 “P”，另一个称为“对偶问题”，记为“D”。
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2 2 ≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
（一）、对偶问题的形式 1、对称型对偶问题：已知 P，写出 D。
矩 阵 形 式 ：P maxZ CX
A11 X1 A12 X 2 b1

A21
X
1

A22 X 2

b2

A31
X
1

A32 X 2

b3
X1

0,
X
无
2
约
束
minW b1Y1 b2Y2 b3Y3
Y1 A11 Y2 A21 Y3 A31 C1 Y1 A12 Y2 A22 Y3 A32 C2 Y1 0,Y3 0,Y2无 约 束

2 x1 x1
3x2 5x2
100 150
x1 , x2 0
(原 问 题 ）
下面从另一个角度来讨论这个问题：
假定：该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种 产品，而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务， 只收取加工费。试问该决策者应制定怎样的收费标准 （合理的）？
例三、 原问题
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5

3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
无可 行解
推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可 行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的 问题无界。
例一、 max Z x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20 （P） 2x1 x2 3x3 2x4 20
minW 170 y1 100 y2 150 y3
25yy11

2 y2 3 y2
y3 10 5 y3 18
y1 , y2 , y3 0
（对偶问题）
例二、合理配料问题，其数学模型为：
n
min Z c j x j j 1
m
i1
2x1 x2 x3 1

x1
,
x2 ,
x3

0
y1 2 y2 1

y1 y1
y2 2 y2 0
y1, y2 0
试用对偶理论证明原问题无界。
__
解：X =（0.0.0）T是 P 的一个可行解，而 D 的第一
个约束条件不能成立（因为y1 , y2 ≥0)。因此，对偶问题 不可行，由推论⑶可知，原问题无界。
例一、资源的合理利用 单件 产 甲
问题
消耗 品
已知资料如表所示，问 资源
应如何安排生产计划使得
A
5
既能充分利用现有资源有
B
2
使总利润最大？
C
1
单件利润 10
乙 资源限制
2 170（钢材） 3 100（煤炭） 5 150（设备） 18
数学模型：
max Z 10 x1 18 x2
5 x1 2 x2 170
y3 10 5 y3 18
y1 , y2 , y3 0
（对偶问题）
模型对比：
max Z 10 x1 18 x2
5 x1 2 x2 170

2 x1 x1
3 x2 5 x2
100 150
x1 , x2 0
(原 问 题 ）
分析问题： 1、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利 润； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。
设y1 , y2 , y3分 别 为 三 种 资 源 的 收 费单 价 ， 所 以 有下式：
5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就 目 标 而 言 ， 用 下 式 可以 表 达 ：
AX b

X0
D minW Yb
YA C

Y0
例一、写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2

3 x1 x1
x2 7 x3 4x2 6x3

3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题
minW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2

y1 3 y1

2
y2
3 y3 4 y3
3 5

2 y1 7 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无 约 束
综上所述，其变换形式归纳如下：
（原）
x1 x1

x2 0,
x2
2
0
行；反之不成立。这也是
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
原问题 问题无界 无可行解
对偶问题 无可行解 问题无界
minW 4 y1 2 y2
y1 y2 2
（对）
y1

y1

y2 0, y2
1 0
x14 0
试估计它们目标函数的界，并验证弱对偶性原理。
解：
minW 20 y1 20 y2
（D）
y1 2 y2 1
22
y1 y1

y2 3 y2

2 3
3 y1 2 y2 4
y1 0, y2 0
由观察可知：
__
X
=（1.1.1.1）T，Y__
例3、已知
P : max Z x1 x2
x1 x2 1
x1 x2 1

x1
,
x2

0
D : minW y1 y2
y1 y2 1 y1 y2 1 y1 , y2 0
D minW Yb YA C Y 无 符 号 限 制 （ 无 约 束 ）
例二、原问题 max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2

3
x1 x1
x2 4 x2
7 x3 6 x3

3 5
x1 , x2 , x3 0
解：对偶问题为
minW 2 y1 3 y2 5 y3
2 y1 3 y2 y3 2

3 y1
y2
4 y3 3
5 y1 7 y2 6 y3 4
y1 , y2 , y3பைடு நூலகம்无 约 束
2、混合型对偶问题
矩 阵 形 式 ：P D
max Z C1 X1 C2 X 2
i 1
则推C论X_是_⑴（.若D）和X__的目分Y__标别函是数问最题小（值P）的和一（个D下）界的；可Y_行是_ b解（，P）
的目标函数最大值的一个上界。
推论⑵.在一对对偶问题 （P）和（D）中，若其中 一个问题可行但目标函数 无界，则另一个问题不可
如： max Z 2 x1 x2
x1 x2 4
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题）
目标函数 min
m个
≥0
变
≤0
量
无约束
n个
约
≥
束
≤
条
=
件
目标函数变量的系数
约束条件右端项
例四、线性规划问题如下：
min Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
x1 x2 3 x3 x4 5

2
x1
2x3 4x4 4

x2 x3 x4 6
x1 0, x2、x3 0,x4无 约 束
对 偶 问 题 ： maxW 5 y1 4 y2 6 y3

3
y1 y1 y1

2 2
Y≤0
min Z’= - CX
s.t. - AX≤- b
X ≥0
对偶的定义
max W’ = -Yb s.t. YA≥ C Y≤0
__ __
2、弱对偶原理（弱对偶性）：设 X和 分Y 别是问题（P）
和（D）的可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
j 1

2y1 3y 1

y2 3y 2
3y3 7y3

2 3

4y1 4y2 4y3 4
y 1

0, y 2

0,
y
无
3
约
束
（二）、对偶问题的性质 1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
max Z=C X s.t. AX≥b
X ≥0
对偶的定义
min W= Y b s.t. YA ≥ C
3 5
x1 , x2 , x3 0
2.min Z 3 x1 2 x2 3 x3 4 x4
x1 2 x2 3 x3 4 x4 0

x2 3 x3 4 x4 5
2 x1 3 x2 7 x3 4 x4 2
x1 0，x2 0, x3、x4无 约 束
答 案 ： 1. maxW 2 y1 3 y2 5 y3
2y1 3y2 y 3 2
53yy11

y 2 4y3 7y2 6y3
2 4
y1 0, y 2 .y3 0
2. maxW 3 y1 5 y2 2 y3
y1
2y3 3
170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越大越好，但因需双方满意，故 min W 170 y1 100 y2 150 y3 为最好。
该问题的数学模型为：
minW 170 y1 100 y2 150 y3
25yy11
2 y2 3 y2
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 7 x3 3

x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单
纯型表中只保证 而j 不0 保证
aij x j

bi
x j 0
假设工厂想把这m 种营养成分分别制成一种营养丸 销售，问如何定价（以保证总收入为最多）？
有下列式子：
n
maxW bi yi j 1
n

j 1
aij
yi
cj
（对偶问题）
yi 0
目标函数 约束条件
原问题
对偶问题
max
min
，B故1bb可0以是负数。
对 偶 问 题 ： minW 2 y1 3 y2 5 y3
2 y1 3 y2 y3 2
5
3 y1
y1
7
y2 4 y3 y2 6 y3
3 4
y1 , y2 , y3 0
2、非对称型对偶问题
矩 阵 形 式 ：P max Z CX AX b X 0
=（1.1），分别
是（__ P）__和（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有
C X ＜ Y b ，弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最
小值不能小于10，Z 的最大值不能超过40。
例二、已知
p : max Z x1 2x2
D : minW 2 y1 y2
x1 x2 x3 2