高考总复习数学文科第二篇函数第9讲函数模型及其应用

高考总复习数学文科第二篇函数、导数及其应用
第9讲函数模型及其应用
[最新考纲]
1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知识梳理
1．函数模型及其性质比较
(1)几种常见的函数模型
函数模型函数解析式
一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型f(x)＝blog a x＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
(2)三种函数模型性质比较
函数
性质
y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0) 在(0，＋∞)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳
2.“f(x)＝x＋a
x
”型函数模型
形如f(x)＝x＋a
x
(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有
着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值．
辨析感悟
1．关于函数模型增长特点的理解
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)
(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)
(3)幂函数增长比直线增长更快．(×)
2．常见函数模型的应用问题
(4)(2013·
长春模拟改编)一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数
关系的图象可以表示为.(√)
(5)(2014·
济宁模拟改编)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1 x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是150台．(√) [感悟·提升]
一个区别三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时，有a x ＞x n＞log a x(a＞1，n＞0)．如(1)中当2＜x＜4时，2x＜x2；如(2)中没强调b＞1；
如(3)，举例y＝x 1
2
与y＝x，当x＞1时，y＝x
1
2
比y＝x增长慢.
考点一利用图象刻画实际问题
【例1】(2013·湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()．。