山东省聊城市 中考数学一模试卷

中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.计算（-1）2-（-1）3=（）
A. B. C. 0 D. 2
2.在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，数字194亿用科学记数法表
示正确的是（）
A. B. C. D.
3.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）
A.
B.
C.
D.
4.如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠3=65°，则∠2大小为（）
A.
B.
C.
D.
5.下列式子运算正确的是（）
A. B.
6.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是
（）
A.
B.
C.
D.
7.下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温
是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°，其中是随机事件的是（）
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
8.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，
则∠B等于（）
A.
B.
C.
D.
9.为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10
户居民2014年4月份用电量的调查结果：
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）
A. 中位数是55
B. 众数是60
C. 方差是29
D. 平均数是54
10.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC
绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A、B的对应点A′、B′的坐标分别是（）
A. 、
B. 、
C. 、
D. 、
11.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意
图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经
平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知
AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12
米．那么该古城墙CD的高度是（）
A. 6米
B. 8米
C. 10米
D. 12米
12.如图，已知点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=（k≠0）的图象
上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC=OD，则k的值为（）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13.因式分解：2mx2-4mxy+2my2= ______ ．
14.写出不等式组＜
的解集为______．
15.如图，将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△OA′B′，
使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=1cm，
则A′B长是______ cm．
16.一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相
同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概
率是______ ．
17.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，
A3，…和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为B1（1，1）、B2（3，2），则B6的坐标是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
18.某市体育中考共设跳绳、立定跳远、仰卧起坐三个项目，要求毎位学生必须且只需
选考其中一项，该市东风中学初三（2）班学生选考三个项目的人数分布的条形统计图和扇形统计图如图所示．
（1）求该班的学生人数；
（2）若该校初三年级有1000人，估计该年级选考立定跳远的人数．
四、解答题（本大题共7小题，共61.0分）
19.先化简，再求值：（+）÷，其中x=2．
20.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落
在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．
21.小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600
元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
22.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰
角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
23.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原
点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点
A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
24.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是
BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
25.如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每
秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB 的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：原式=1-（-1）=1+1=2．
故选D
原式先计算乘方运算，再计算减法运算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】
解：194亿=19400000000，用科学记数法表示为：1.94×1010．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】
解：由于俯视图为三角形．主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几
何体为三棱柱．
故选：A．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4.【答案】C
【解析】
【解答】
解：如图所示，∵l1∥l2，
∴∠2=∠6，
∵∠1=55°，
∴∠1=∠4=55°，
在△ABC中，∠3=65°，∠4=55°，
∴∠6=180°-65°-55°=60°，
∴∠2=60°．
故选：C．
【分析】
先根据平行线的性质，得出∠2=∠6，再根据三角形内角和，得出∠6的度数，进而得出∠2．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线
平行，内错角相等．
5.【答案】D
【解析】
解：A、和不是同类二次根式，不能计算，故A错误；
B、=2，故B错误；
C、=，故C错误；
D、=2-+2+=4，故D正确．
故选：D．
根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；
根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．
此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．
6.【答案】B
【解析】
解：如图，延长CD交AB于E，
∵∠C=38°，∠A=37°，
∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°，
∵∠BDC=98°，
∴∠B=∠BDC-∠1=98°-75°=23°．
故选：B．
延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠1，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件；
②测得某天的最高气温是100℃是不可能事件；
③掷一次骰子，向上一面的数字是2是随机事件；
④度量四边形的内角和，结果是360°，是必然事件，
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8.【答案】C
【解析】
解：∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C=∠APD-∠A=40°；
∴∠B=∠C=40°；
故选：C．
欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】
解：用电量从大到小排列顺序为：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40．
A、月用电量的中位数是55度，故A正确；
B、用电量的众数是60度，故B正确；
C、用电量的方差是39度，故C错误；
D、用电量的平均数是54度，故D正确．
故选：C．
根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平均数和方差，即可判断四个选项的正确与否．
考查了中位数、众数、平均数和方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做
这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，
60°，90°，180°．利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A′、B′，从而得到点A′、B′的坐标．
【解答】
解：如图，点A、B的对应点A′、B′的坐标分别（-3，3），（1，4）．
故选D．
11.【答案】B
【解析】
解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴=
即=
解得：CD=8米．
故选B．
由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由
∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到=代入数值求的CD=8．本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．
12.【答案】B
【解析】
解：∵AB∥x轴，AC⊥x轴，BD⊥x轴，OC=OD，
∴设A（x，y）、B（3x，y）；
又∵点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴，
解得，k=12；
故选B．
根据已知条件易证OD=3OC，故设A（x，y）、B（3x，y）；然后将点A、B的坐标分别代入所在的反比例函数解析式，利用待定系数法即可求得k的值．
此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．根据已知条件推知点A、B两点的横、纵坐标间的关系是解题的难点．
13.【答案】2m（x-y）2
【解析】
解：2mx2-4mxy+2my2，
=2m（x2-2xy+y2），
=2m（x-y）2．
故答案为：2m（x-y）2．
先提取公因式2m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.【答案】-1≤x＜3
【解析】
解：不等式①的解集为x＜3，
不等式②的解集为x≥-1，
所以不等式组的解集为-1≤x＜3．
故答案为：-1≤x＜3．
先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集
主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不
等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
15.【答案】3
【解析】
解：根据旋转的性质，得：A′B′=AB=4cm．∴A′B=A′B′-BB′=4-1=3（cm）．
根据旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状没有改变，进行分析．AB的对应边是A′B′，AB=4cm．
考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出对应边．
16.【答案】
【解析】
解：画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中1个男婴、2个女婴的结果数为3，
所以1个男婴、2个女婴的概率=．
故答案为．
画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出1个男婴、2个女婴的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结
果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A 或B的概率．
17.【答案】（63，32）
【解析】
解：由题意可知：A1（0，1），A2（1，2）
∴将（0，1）与（1，2）代入y=kx+b，
∴
解得：
∴直线的解析式为：y=x+1，
∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），
∴A n的纵坐标为：2n-1，
∴A n的横坐标为：2n-1-1，
∴A n-1的坐标为：（2n-2-1，2n-2）
∴B n-1的坐标为：（2n-1-1，2n-2），
∴当n=7时，
∴B6=（26-1，25），
即（63，32）
故答案为：（63，32）
根据题意可求出点A1与A2的坐标，然后求出直线的解析式，然后求出A1、A2、A3的坐标，找出其中的规律即可求出B6的坐标．
本题考查规律型问题，解题的关键是根据题意找出规律，本题属于中等题型．
18.【答案】解：（1）根据题意得：30÷60%=50（人），
则该校学生人数为50人；
（2）根据题意得：1000×=100（人），
则估计该年级选考立定跳远的人数为100人．
【解析】
（1）根据跳绳的人数除以占的百分比，得出学生总数即可；
（2）求出立定跳远的人数占总人数的百分比，乘以1000即可得到结果．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
19.【答案】解：当x=2时，
原式=[+]•
=+
=+
=
=
=
【解析】
先将分式化简，然后代入x的值即可求出答案．
本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵AC是折痕，
∴BC=CE=AD，
AB=AE=CD，
在△ADE与△CED中，
，
∴△ADE≌△CED（SSS）；
（2）∵△ADE≌△CED，
∴∠EDC=∠DEA，
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，
∴∠OAC=∠CAB，
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴2∠OAC=2∠DEA，
∴∠OAC=∠DEA，
∴DE∥AC．
【解析】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．
（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据SSS 可证△ADE≌△CED（SSS）；
（2）根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE与△ACB关于AC 所在直线对称，可得∠OAC=∠CAB，根据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解．
21.【答案】解：（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，由题意，得
，
解得： ,
答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块；
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60-a）块，由题意，得
80a+40（60-a）≤3200，
解得：a≤20．
故彩色地砖最多能采购20块．
【解析】
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时认真分析单价×数量=总价的关系建立方程及不等式是关键.
（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60-a）块，根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式，求出其解即可.
22.【答案】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
【解析】
首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23.【答案】解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，
解得k=10，b=3；
（2）作AC⊥x轴于点C，
由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，
∴点B的坐标为（-3，0），
∴OB=3，
∵点A的坐标是（2，5），
∴AC=5，
∴△ =5=．
【解析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式．
24.【答案】（1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
而∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴CD=OD=2，
∴阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE
=×2×2-
=2-．
【解析】
（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得
∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关
系得CD=OD=2，然后利用阴影部分的面积=S△COD-S
扇形DOE
和扇形的面积公式求解．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．
25.【答案】解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵∠yOC=45°，
∴∠AOC=（90°-45°）+45°=90°，
∴AO⊥CO，
∵C′O′是CO平移得到，
∴AO⊥C′O′，
∴△OO′G是等腰直角三角形，
∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，
∴OO′=2x，
∴其以OO′为底边的高为x，
∴y=×（2x）•x=x2；
（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，
∵×6=3，
∴点G的坐标为（3，3），
设抛物线解析式为y=ax2+bx，
则，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x；
（3）设点P到x轴的距离为h，
则S△POB=×8h=8，
解得h=2，
当点P在x轴上方时，-x2+x=2，
整理得，x2-8x+10=0，
解得x1=4-，x2=4+，
此时，点P的坐标为（4-，2）或（4+，2）；
当点P在x轴下方时，-x2+x=-2，
整理得，x2-8x-10=0，
解得x1=4-，x2=4+，
此时，点P的坐标为（4-，-2）或（4+，-2），
综上所述，点P的坐标为（4-，2）或（4+，2）或（4-，-2）或（4+，-2）时，△POB的面积S=8．
【解析】
（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得
∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；
（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax2+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．
本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论．。