最新-2021届高考数学人教A版一轮复习课件：必修1 第3章 精品

提示:可以确定,因为 f(0)=-1<0,f(1)>0,根据零点存在性定理,
函数 y=f(x)在区间(0,1)内必有零点.
(
【针对训练 3】函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位于区间
).
A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)
【解析】当 x=3 时,f(3)=log33-8+2×3=-1<0,当 x=4
1
2
令-4x -x-1=0,解得 x=-2,不符合题意;
> 0,
当 ≠ 0,
时,解得 a>1,符合题意.
(0)·(1) < 0
故实数 a 的取值范围是(1,+∞).
【答案】(1)B (2)(1,+∞)
【变式设问】在例 3 第(2)问中,若 f(1)>0,能否确定函数 y=f(x)
在区间(0,1)内必有零点?
函数零点与方程的关
与函数的关系以及零点的概
念解决一些简单的问题
系,能求函数零点
念
理解零点存在性定理,会
小组探究零点存在性定理,自
利用零点存在性定理判断
2
主探究零点存在性定理的应 能判断零点所在区间
零点的存在性或者零点所
用
在的范围
能够运用函数思想、数形
合作探究数形结合、函数方 能根据图象判断零点
3 结合思想和化归思想解决
(法二)解方程 +x -2x=0,即
=0,即(x-1)·(x2-x-1)=0,所
1- 5
1+ 5
1
以方程有三个解,分别为 x1=1,x2=
,x3=
,即函数 f(x)= +x2-2x
2
2

有 3 个零点.
1
【变式设问】将例 2 中的函数改为:f(x)=x2-lg ,该如何判断函
数零点的个数?
(3)结合单调性,利用 f(a)·f(b)<0,判断 y=f(x)在区间(a,b)内
零点的个数.
3.确定函数 f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法:当对应方程 f(x)=0 易解时,可先解方程,再看求得
的根是否落在给定的区间内.
(2)利用函数零点存在性定理:首先看函数 y=f(x)在区间[a,b]
【答案】2
4.求下列函数的零点.
(1)f(x)=3x+2;
(2)f(x)=x2-3x-4;
(3)f(x)=log2x.
【解析】(1)令 f(x)=3x+2=0,得
2
2
x=-3.
∴函数 f(x)=3x+2 的零点是-3.
(2)令 f(x)=x2-3x-4=0,得 x1=4,x2=-1.
∴函数 f(x)=x2-3x-4 的零点是 4,-1.
零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数 y=f(x)的图象联系起来,图象与 x 轴的交点的
横坐标即为函数的零点.
2.判断函数零点个数的主要方法
(1)利用方程的根与函数零点的关系,转化为解方程,有几个根就
有几个零点.
(2)画出函数 y=f(x)的图象,判断它与 x 轴的交点个数,从而判断
函数零点的个数.
上的图象是否连续,其次看是否有 f(a)·f(b)<0.若都有,则函数
y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画出函数的图象,观察图象与 x 轴在给定的
区间上是否有交点来判断.
1.下列图象表示的函数中没有零点的是(
).
【解析】观察图象可知,A 中图象对应的函数没有零点.
进行计算,通过实例来理解其计算原理.
4.注重数学思想方法的综合应用,比如函数与方程的思想、化归
思想、数形结合的思想等.
第 1 课时 方程的根与函数的零点
序
号
知识目标
学法建议
能力素养
研究一元二次方程的根与二
了解方程的根与函数零点
知道零点不是点,理解
次函数的关系,得出方程的根
1 的概念,会利用零点的概
2
1
2
1
2
提示:由 f(x)=x -lg =0,得 x =lg ,即 x =-lg x.


2
令 h(x)=x ,g(x)=-lg x(x>0),在同一平面直角坐标系中画出 h(x)
和 g(x)的图象,如图所示.
由图象可知两个函数图象只有 1 个交点,
故函数 f(x)只有 1 个零点.
-x
2
【针对训练 2】函数 f(x)=2 +x -3 的零点个数为
(3)令 f(x)=log2x=0,得 x=1,
∴函数 f(x)=log2x 的零点是 1.
探究 1:求函数零点
【例 1】判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
+3
(1)f(x)= ;
(2)f(x)=x2+2x+4;
(3)f(x)=2x-3;
(4)f(x)=1-log3x.
【方法指导】分别求解各个函数所对应的方程即可,根据方程解
轴的所有交点的坐标.
预学 1:函数的零点
定义:对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫作函数
y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数,不是点.
想一想:所有的函数都有零点吗?
【解析】不是.如果函数的图象与 x 轴没有交点,那么该函数就没
1
有零点,如函数 f(x)= 就没有零点.
时,有一个零点;当Δ<0 时,没有零点.
判断函数 y=f(x)的零点个数,可转化为求方程 f(x)=0 的根的个
数问题.当方程 f(x)=0 不好计算时,可以考虑用两个简单的函数
g(x),h(x)表示 f(x),即 f(x)=g(x)-h(x),即方程 f(x)=0 转化为
g(x)-h(x)=0,进一步转化为求函数 y=g(x)的图象与 y=h(x)的图象的
交点个数.
x
2
议一议:求函数 y=e -x 的零点个数.
x
2
x
2
【解析】将 y=e -x 的零点个数问题转化为方程 e -x =0 的根的个
数问题,进一步转化为函数 y=ex 的图象与 y=x2 的图象交点个数问题,
由画图(图略)可知,这两个函数图象有 2 个交点,故函数 y=ex-x2 有 2
个零点.
为
,即函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标为
.
预学 3:零点存在性定理
零点存在性定理:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)
【答案】x=3 c∈(
3 a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0
本章教学的重点主要是方程的根与函数零点的关系、函数的零点
存在性定理、用二分法求方程的近似解、三种常见的函数模型及其应
用等.难点是函数零点存在与个数的判断、利用函数模型解决实际问
题等.在教学时要注意以下几点:
1.通过方程的根与函数的零点的关系将函数与方程联系起来,为
我们用函数的观点来研究方程问题提供了依据,这是本章的主线,应
象,根据它们交点的个数判断零点的个数.
1
2
1
2
【解析】(法一)由 +x -2x=0,得 =-x +2x,在同一平面直角坐标系
内画出函数
1
y= 和
y=-x2+2x 的图象,如图所示.
1
由图可知,两个函数图象有 3 个交点,所以函数 f(x)= +x2-2x 有 3
个零点.
1 2
3 -2 2 +1
所以函数 f(x)=2x-3 的零点是 log23.
(4)令 1-log3x=0,解得 x=3,
所以函数 f(x)=1-log3x 的零点是 3.

2
【变式设问】将例 1 中的(2)改为:若函数 f(x)=x +ax+b 的两个
零点分别是 2 和 3,求 a 和 Байду номын сангаас 的值.
提示:由函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点分别是 2 和 3.
1.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点(
A.至少有一个
B.至多有一个
C.有且只有一个
D.可能有无数个
).
【解析】单调函数至多有一个零点.
【答案】B
x
2
2.函数 f(x)=3 -x 的零点所在区间是(
A.(1,2)
B.(-2,-1)
C.(0,1)
D.(-1,0)
).
-1

预学 2:方程的根与函数的零点
函数 y=f(x)的零点是方程 f(x)=0 的实数根,也是函数 y=f(x)的
图象与 x 轴交点的横坐标.
事实上,方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点
的横坐标⇔函数 y=f(x)有零点.
想一想:已知函数 f(x)的零点为 3,则方程 f(x)=0 的实数根
).
【解析】A 中零点为 1;B 中零点为± 3;C 中零点为 1;D 中零点
为 1+ln 2,故选 B.
【答案】B
探究 2:函数零点的个数判断
1
【例 2】函数 f(x)= +x2-2x 有几个零点?

【方法指导】可以解函数对应的方程,方程的解的个数就是函数
零点的个数;也可以转化为两个基本函数,画出这两个基本函数的图
内有零点,即存在
的根.
议一议:“若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有
f(a)·f(b)<0”的说法正确吗?
【解析】不正确.f(a)·f(b)可以大于 0,可以小于 0,也可以等于
0.
预学 4:函数零点个数的判断
2
在二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)中,当Δ>0 时,有两个零点;当Δ=0
1
1
【解析】(1)∵f(1)=e-1>0,f( )= e-2< 3-2<0,∴f(1)·f( )<0,
2
由零点的存在性定理可知函数
故选 B.
2
1
1
f(x)=ex- 的零点所在的区间是(2,1),
(2)当 a=0 时,f(x)=-x-1 有一个零点-1∉(0,1),不符合题意;
1
当 a≠0 且Δ=0 时,解得 a=-8,
多加强化.
2.对零点存在性定理要挖掘到位,比如准确理解定理中的“闭区
间”“连续”“f(a)·f(b)<0”等条件.另外定理指出在(a,b)内有零
点,即存在零点,但零点个数未明确.事实上,这里是指在(a,b)内至少
存在一个零点,当然个数可能为 2,3,4,……
3.让学生掌握用二分法求方程的近似解的步骤,并会借助计算器
时,f(4)=log34-8+2×4=log34>0,即 f(3)·f(4)<0.∵函数
f(x)=log3x-8+2x 为连续函数,∴函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位
于区间(3,4).
【答案】B
1.函数零点的求法
(1)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根,若存在实数根,则函数存在
3
2
C.(1, )
3
2
D.( ,2)
).
(2)若函数 f(x)=2ax2-x-1 在区间(0,1)内恰有一个零点,则实数
a 的取值范围是
.
【方法指导】(1)根据零点存在定理,对照选项,只需验证区间端
点函数值的符号,也可借助图象分析;(2)此方程不一定是一元二次方
程.可以分 a=0,a≠0 且Δ=0,a≠0 且Δ>0 三种情况讨论.
的情况来确定函数的零点情况.
+3
+3
【解析】(1)令 =0,解得 x=-3,所以函数 f(x)= 的零点是-3.
2

2
(2)令 x +2x+4=0,因为Δ=2 -4×1×4=-12<0,
2
所以方程 x +2x+4=0 无实数根,
所以函数 f(x)=x2+2x+4 不存在零点.
(3)令 2x-3=0,解得 x=log23,
0
【解析】
因为 f(-1)=3 -1<0,f(0)=3 -0=1>0,所以 f(-1)·
f(0)<0,
故选 D.
【答案】D
3.函数 y=log2|x|-1 的零点有
个.
【解析】y=log2|x|-1 为偶函数,当 x>0 时,y=log2|x|-1=log2x-1
为单调增函数,与 x 轴有 1 个交点,所以 y=log2|x|-1 有 2 个零点.
2
所以 2 和 3 是方程 x +ax+b=0 的两个根,
由根与系数的关系可得 2 + 3 = -,解得 = -5,
2 × 3 = ,
= 6.
【针对训练 1】下列函数中存在两个零点的是(
A.f(x)=2x-2
B.f(x)=lg(x2-2)
2
x-1
C.f(x)=x -2x+1
D.f(x)=e -2
.
1
x
2
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数 y=(2) 及 y=-x +3 的
图象(图略),发现它们有两个交点,故函数 f(x)=2-x+x2-3 的零点个数
为 2.
【答案】2
探究 3:零点存在性定理
1
【例 3】(1)函数 f(x)=ex- 的零点所在的区间是(
1
2
A.(0, )
1
2
B.( ,1)
程思想在解题中的应用
的个数
方程的根的问题
重点:零点的概念,零点存在性定理.
难点:对零点存在性定理的应用.
二次函数 y=x2+2x+a(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标与方程
x2+2x+a=0 的根是什么关系?若方程 x2+2x+a=0 有一个根是-3,试写出
2
2
方程 x +2x+a=0 的另一个根和二次函数 y=x +2x+a(a≠0)的图象与 x