辽宁省沈阳皇姑区六校联考2020届数学中考模拟试卷

辽宁省沈阳皇姑区六校联考2020届数学中考模拟试卷
一、选择题 1．若a+b=3，，则ab 等于（ ） A.2
B.1
C.﹣2
D.﹣1
2．在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P 1（-3，-83
），P 点关于x 轴的对称点为P 2（a ，
b （ ） A ．-2
B ．2
C ．4
D ．-4
3．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（ ）
A.AC=EF
B.BC=DF
C.AB=DE
D.∠B=∠E
4．如图，已知⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 是菱形，则图中阴影部分的面积为
( )
A.π－
B.π－
C.π－
D.π－
5．受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七年级2班近期准备组织一次朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示：
A ．2，1
B ．1，1.5
C ．1，2
D ．1，1
6．下列计算正确的是（ ） A ．224a a a += B ．()2
326a a =
C ．(
)2
3
5
33a a
a -=-g
D ．623422a a a ÷=
7．3-的绝对值的倒数是( ) A ．3-
B ．13
-
C ．
13
D ．3
8．将抛物线2
1y x =+先向左平移1个单位长，再向上平移1个单位长，得到新抛物线（ ） A.2(1)y x =+ B.2(1)2y x =++
C.2
(1)y x =-
D.2(1)2y x =-+
9．给出下列算式：①(a 3)2＝a 3×2＝a 6；②a m a n ＝a m+n (m ，n 为正整数)；③[(－x)4]5＝－x 20．其中正确的算
式有( )． A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点
F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①
1
=
2
AF
FD
；②S△BCE＝30；③S△ABE＝9；④△AEF∽△ACD，其中一定正确
的是（）
A．①②③④B．①③C．②③④D．①②③
11．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝k
x
的图象在第一象限相交于点
C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（）
A．6 B．9 C．12 D．18
12．如图，是反比例函数在第一象限内的图像上的两点，且两点的横坐标分别是2和4，则
的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，则AB：A′B′＝_____．
14．某学习小组共有学生5人，在一次数学测验中，有2人得85分，2人得90分，1人得70分，该学习小组的平均分为__________分.
15．已知函数
1
()
5
x
f x
x
-
=
+
，那么(3)
f=_____．
16．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，EC=2，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，则PC的长为_____．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为______．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
三、解答题
19．先化简，再求值：
2443
1
11
x x
x
x x
-+⎛⎫
÷+-
⎪
--
⎝⎭
，其中x的值是不等式组
3
215
x
x
-<
⎧
⎨
+≤
⎩
的一个整数解.
20．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求BD的长（结果保留π）．
21．先化简，再求值：
2
2
133
1211
a a a
a a a a
++
-÷
++++
，其中a为sin30°的值．
22．如图，在8×6的方格纸中有线段AD，其中A，D在格点上，请分别按下列要求作△ABC（所作△ABC 不是等腰三角形，作出一个即可．）
（1）在图1中，作△ABC，使AD为△ABC的中线，点B，C在格点上．
（2）在图2中，作△ABC，使AD为△ABC的高线，点B，C在格点上．
23．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3过点A（1，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P是线段AD上的动点．
（1）b＝，抛物线的顶点坐标为；
（2）求直线AD的解析式；
（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，求点Q的坐标．
24．某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲种图书比用800元单独购买乙种图书要少24本．求： （1）乙种图书每本价格为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？
25．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，DE=3，连结DB ，过点E 作EM ∥BD ，交BA 的延长线于点M 。

（1）求⊙O 的半径；
（2）求证：EM 是⊙O 的切线；
（3）若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当∠DPA=45°时，求图中阴影部分的面积。

【参考答案】*** 一、选择题
13．1 14．84 15．
14
1617．
5
3
或15. 18．4π． 三、解答题
19．当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【解析】 【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．
2443111x x x x x -+⎛⎫
÷+- ⎪--⎝⎭
22(2)131
11x x x x x ⎛⎫--=
÷- ⎪---⎝⎭
2(2)(2)(2)
11x x x x x -+-=÷
-- 2(2)11(2)(2)
x x x x x --=⨯-+-22x x -=+
解不等式组3
215x x -<⎧⎨
+≤⎩
得32x -<≤，其整数解：21012212x --≠-、、 、 、 、、 、
x 可以等于10-、
当1x =-时，原式=3-； 当0x =时，原式=1- 【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（1）详见解析；（2）2
3
π 【解析】 【分析】
（1）连接OD ，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD ，OA=OB 可得出OD 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF ⊥AC ； （2）根据圆周角定理得出BE ⊥AC ，证得BE ∥DF ，即可根据三角形相似求得EC=2，根据三角形中位线的性质得出AC=4，即可得出AE=EC ，进一步证得△ABC 是等边三角形，即可得出∠BOD=60°，根据弧长公式即可得出结论． 【详解】
（1）证明：连接OD ，如图所示．
∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴OD ⊥DF ， ∴∠ODF ＝90°． ∵BD ＝CD ，OA ＝OB ， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ，
∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°， ∴DF ⊥AC ． （2）连接BE ， ∵AB 是直径，
∵DF ⊥AC ， ∴
FC CD 1
EC BC 2
==， ∵FC ＝1， ∴EC ＝2， ∵OD ＝
1
2
AC ＝2， ∴AC ＝4， ∴AE ＝EC ＝2， ∴AB ＝BC ， ∵AB ＝AC ＝4， ∴AB ＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°， ∵OD ∥AC ，
∴∠BOD ＝∠BAC ＝60°， ∴BD 的长：6022
1803
ππ⨯=． 【点睛】
本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△ABC 是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出90°的角是关键． 21．
1
3
【解析】 【分析】
直接利用分式的混合运算法则分别化简得出答案． 【详解】
解析 原式＝2
1(3)11(1)3a a a a a a ++-⨯+++ 111a a a =-++ 1a
a 1
-=
+． ∵sin 30°＝12
， ∴当a ＝
12时，原式＝13
． 【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 22．（1）见解析；（2）见解析。

【解析】 【分析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用数形结合的思想画出图形即可．
【详解】
解：（1）如图1中，△ABC即为所求．（答案不唯一）
（2）如图2中，△ABC即为所求．
【点睛】
本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y＝x﹣1；（3）Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）将点A的坐标代入函数解析式求得b的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；
（2）结合（1）中抛物线解析式求得点D的坐标，利用点A、D的坐标来求直线AD解析式；
（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，易得AB＝4．结合三角形面积公式求得S△ABD＝
6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝﹣m2﹣m+2．利用分割法得到：S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝3
2 PQ
＝3
2
（﹣m2﹣m+2）．根据已知条件列出方程
3
2
（﹣m2﹣m+2）＝3．通过解方程求得m的值，即可求得点
Q的坐标．
【详解】
解：（1）把A（1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得12+b﹣3＝0．
解得b＝2．
故该抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．故顶点坐标是（﹣1，﹣4）．
故答案是：2；（﹣1，﹣4）．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3．
当x＝﹣2，则y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，
∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．
设直线AD的解析式为：y＝kx+t（k≠0）．
把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分别代入，得
23 k t
k t
+=
⎧
⎨
-+=-
⎩
．
解得
k1
t1
=
⎧
⎨
=-
⎩
．
∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1；（3）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴AB＝4．
∴S△ABD＝1
2
×4×3＝6．
设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．
则PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．
∴S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝1
2
PQ•（1﹣m）+
1
2
PQ•（m+2）＝
3
2
PQ＝
3
2
（﹣m2﹣m+2）．
当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，3
2
（﹣m2﹣m+2）＝3．
解得m1＝0，m2＝﹣1．
∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24．（1）乙种图书每本价格为20元；（2）该图书馆最多可以购买10本甲种图书．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得乙种图书每本的价格；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得该图书馆最多可以购买多少本甲种图书．
【详解】
（1）设乙种图书每本价格为x元，则甲种图书每本价格为2.5x元，
800800
24
2.5x x
+=，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
答：乙种图书每本价格为20元；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（2a+8）本，
由（1）知乙种图书每本20元，则甲种图书每本50元， 50a+20（2a+8）≤1060， 解得，a≤10，
答：该图书馆最多可以购买10本甲种图书． 【点睛】
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，注意分式方程要检验． 25．（1
；（2）见证明过程：（3）3342
π- 【解析】
试题分析：（1）连结OE ，根据已知条件得出OC=
1
2
OE ，由勾股定理可求出OE 的长； （2）由（1）知∠AOE=60°，AE AD =,从而得出∠BDE=60°，又BD ∥ME ，所以∠MED=∠BDE=60°即∠MEO=90°，从而得证；
（3）连结OF ，由∠DPA=45°知∠EOF=2∠EDF=90°所以=-EOF
EOF S S S 阴影扇形，通过计算得出结论.
试题解析：连结OE ，如图：
∵DE 垂直平分半径OA ∴OC=
1122OA OE =，1322
CE DE ==, ∴∠OEC=30°
∴
3
cos30EC
OE ===︒ （2）由（1）知：∠AOE=60°，AE AD =, ∴1
302
B AOE ∠=
∠=︒ ∴∠BDE=60° ∵BD ∥ME ， ∴∠MED=∠BDE=60° ∴∠MEO=90° ∴EM 是⊙O 的切线。

（3）连结OF ∵∠DPA=45° ∴∠EOF=2∠EDF=90°
∴290133=-360242
EOF
EOF S S S
ππ⨯=-=-阴影扇形
考点: 1.垂径定理；2.圆周角定理；3.扇形的面积.。