高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.

1．2.1 任意角的三角函数
课堂导学
三点剖析
1.任意角的正弦、余弦、正切的定义
【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是( )
①终边相同的角的同名三角函数的值相同
②终边不同的角的同名三角函数的值不等
③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角
④若α是第二象限的角，且P （x,y ）是其终边上一点，则cosα=22y x x
+-
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析：运用概念判断.
解析：由任意角三角函数定义知①正确；
对②，我们举出反例sin
3π=sin 32π； 对③，可指出sin 2π＞0，但2π不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=22y x x +. 综上选A.
答案：A
温馨提示
要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.
2．角、实数和三角函数值之间的对应关系
【例2】 判断下列各式的符号.
（1）tan250°·cos(-350°);
(2)sin151°cos230°；
(3)sin3cos4tan5;
(4)sin(cos θ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).
思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sinθ、cosθ为弧度数. 解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,
∴tan250°·cos(-350°)＞0.
(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,
∴sin151°·cos230°＜0. (3)∵2
π＜3＜π,π＜4＜23π,23π＜5＜2π, ∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,
∴sin3·cos4·tan5＞0.
(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜
2
π, ∴cos(sinθ)＞0.
同理，-2π＜-1＜cos θ＜0,
∴sin(cosθ)＜0,故sin （cos θ）·cos(sinθ)＜0.
温馨提示
(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.（2）sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.（3）中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.
【例3】求函数y=)
1cos 2lg(sin )4tan(-•-x x x π的定义域. 思路分析：运用等价及集合的思想. 解：只需满足条件⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠-<≥+≠⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≥∈+≠-,11cos 20,
0sin 43,0)1cos 2lg(,0sin ,,24x k x x x Z k k x πππππ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈≠+<<-∈+≤≤∈+≠⇔.,2,3232,
,)12(2,,43Z k k x k x k Z k k x k Z k k x πππππππππ且
∴函数的定义域为{x|2kπ＜x ＜2kπ+3
π,k∈Z }. 温馨提示
利用图形，可直观找出不等式组的解集，体现了数形结合思想.
各个击破
类题演练1
已知角α的终边经过点P （-6，-2），求α的三个三角函数值.
解：已知x=-6,y=-2,所以r=102,于是sinα=10101022-=-=r y , cosα=,10
1031026-=-=r x tanα=3162=--=x y . 变式提升1
已知角α的终边经过点P （2t,-3t ）(t ＜0),求sinα,cosα,tanα.
解：∵x=2t,y=-3t ∴r=||13)3()2(22t t t =-+- ∵t＜0 ∴r=t 13-
∴sinα=,1313
3
133=--=t t r y
cos α=1313
2132-=-=t t r x
,
tan α=23
23-=-=t
x y
.
类题演练2
判断下列各式的符号
（1）sin105°·cos230°;(2)sin 87π·tan 87
π; (3)cos6·tan 6;(4)sin4·tan(π423
-).
解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°＞0.cos230°＜0.
sin105°·cos230°＜0. (2)∵2π＜87π＜π,∴87
π是第二象限角. ∴sin 87
π＞0,tan 87
π＜0. ∴sin 87π·tan 87
π＜0. (3)∵23
π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角.
∴cos6＞0,tan6＜0.∴cos6·tan6＜0.
(4)∵π＜4＜23
π,∴sin4＜0. 又π423
-=-6π+4π,∴π423
-与4π
终边相同. ∴tan(π423
-)＞0. ∴sin4·tan(π423
-)＜0.
变式提升2
已知α是第三象限角，试判断sin （cosα）·cos（sinα）的符号.
解：∵α是第三象限角.
∴cosα＜0,sinα＜0.
又|sinα|＜1,|cosα|＜1,
∴-1＜cosα＜0,-1＜sinα＜0,
∴sin(cosα)＜0,cos(sin α)＞0.
∴sin(cosα)·cos（sin α）＜0.
类题演练3
已知角α的终边在直线y=-3x 上，求10sinα+3cosα的值.
解：设α终边上任意一点P （k,-3k ）,则 r=|,|10)3(2222k k k y x =-+=+ 当k ＞0时，r=k 10,
∴sinα=103103-=-k
k
, cosα=101
10=k
k . ∴10sinα+3cosα=10102710103103-=+
-. 当k ＜0时，r=-10k,
∴sinα=103
103=--k k
,
cosα=10
10101
10-=-=-k k
. ∴10sinα+3cosα=10102710103103=-
. 变式提升3
已知α∈(0,2
π),试比较α、sinα、tanα的大小. 解：如右图，设锐角α的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 延长线于T ，并过点P 作PM⊥x 轴，则
|MP|=sinα，|AT|=tanα，
的长为α.
连PA ，
∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， 即21|OA |·|MP|＜21|OA|2·a＜2
1|OA|·|AT|,|MP|＜α＜|AT|, ∴sinα＜α＜tanα.。