上海市民星高级中学2019年高二数学理期末试题含解析

上海市民星高级中学2019年高二数学理期末试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 展开式中含项的系数为
A． B． C． D．
参考答案：
A
2. △ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c 的值等于( )．
A．5 B．13 C．
D．
参考答案：
C
3. 过两点的直线的倾斜角为45°，则y=（）
A．B．C．－1 D．1
参考答案：
C
由题意知直线AB的斜率为，
所以，
解得．选C．
4. “a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
参考答案：
D
【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．
【解答】解：a≠5且b≠﹣5推不出a+b≠0，例如：a=2，b=﹣2时a+b=0，
a+b≠0推不出a≠5且b≠﹣5，例如：a=5，b=﹣6，
故“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件，
故选：D．
5. 若，且，则下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
6. 直线与曲线相切于点则的值为（）
A．3 B．C．5
D．
参考答案：
A
略
7. 如图，长方体中，交于顶点的三条棱长分别为，
，，则从点沿表面到的最短距离为( )
A． B．
C． D．
参考答案：
B
略
8. 设为实数，。

则下列四个结论中正确的
是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
9. 已知z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i（m∈R），z2=3﹣2i，则“m=1”是“z1=z2”的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要
参考答案：
A
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】根据复数相等的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当m=1，则z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i=3﹣2i，此时z1=z2，充分性成立．
若z1=z2，则，
解得m=﹣2或m=1，显然m=1是z1=z2的充分不必要条件．
故m=1是z1=z2的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数相等的等价条件是解决本题的关键，是基础题．
10. 平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足(－)·(－)＝0，则三角形ABC是()
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，若函数满足：
，都有，就称这个函数是点A的“限定函数”．以下函数：①，②，③，④，其中是原点O的“限定函
数”的序号是______．已知点在函数的图象上，若函数是点A的“限定函数”，则a的取值范围是______．
参考答案：
①③ (－∞,0]
【分析】
分别运用一次函数、二次函数和正弦函数、对数函数的单调性，结合集合的包含关系可判断是否是原点的限定函数；由指数函数的单调性，结合集合的包含关系，解不等式可得a 的范围．
【详解】要判断是否是原点O的“限定函数”只要判断：，都有，
对于①，由可得，则①是原点O的“限定函数”；对于②，由可得，则②不是原点O的“限定函数”
对于③，由可得，则③是原点O的“限定函数”
对于④，由可得，则④不是原点O的“限定函数”
点在函数的图像上，若函数是点A的“限定函数”，可得，由，即，
即，可得，
可得，且，即的范围是，
故答案为：①③；.
【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查常见函数的单调性和运用，考查集合的包含关系，以及推理能力，属于基础题．
12. ．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于____ ____。

参考答案：
略
13. 在伸缩变换φ：作用下，点P（1，﹣2）变换为P′的坐标
为．
参考答案：
（2，﹣1）
【考点】Q5：平面直角坐标轴中的伸缩变换．
【分析】根据题意，由伸缩变换公式可得x′=2x=2，y′=y=﹣1，代入即可得答案．【解答】解：根据题意，点P（1，﹣2），即x=1，y=﹣2，
x′=2x=2，y′=y=﹣1，
故P′的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
14. 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．
参考答案：
，
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO 为，
如图：
其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，
AB=BC=，SA=SB=SC=2，
底面△ABC的面积为：，
后侧面△SAC的面积为：，
左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为，两腰长为2，
故底边上的高为：=，
故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：，
故几何体的表面积：，
几何体的体积V==，
故答案为：，
15. 153与119的最大公约数为．
参考答案：
17
因为，
所以153与119的最大公约数为17.
答案：17
16. 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是______ . 参考答案：
-189
令，得展开式中各项系数之和为.由，得，所以展开式的通项为
.
由，得，展开式中系数是.
17. 以下4个命题中，所有正确命题的序号是______.
①已知复数，则；
②若，则
③一支运动队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则样本中男运动员有16人；
④若离散型随机变量X的方差为，则.
参考答案：
①③④
【分析】
根据复数的模的运算可知，①正确；代入，，所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确.
【详解】①，则，①正确；
②令，则；令，则
，②错误；
③抽样比为：，则男运动员应抽取：人，③正确；
④由方差的性质可知：，④正确.
本题正确结果：①③④
【点睛】本题考查命题的真假性的判断，涉及到复数模长运算、二项式系数和、分层抽样、方差的性质等知识，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，s n为{a n}的前n项和．
（1）求通项a n及s n；
（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．
参考答案：
解：（1）因为a n是首项为a1=19，公差d=﹣2的等差数列，
所以a n=19﹣2（n﹣1）=﹣2n+21，
（6分）
（2）由题意b n﹣a n=3n﹣1，
所以b n=a n+3n﹣1=﹣2n+21+3n﹣1
T n=S n+（1+3+32+…+3n﹣1）
=（12分）
略
19. （本小题满分10分）已知数列{a n}是等差数列，，，.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列的前n项和S n. 参考答案：
解：(1)由题意得，所以，
时，，公差，所以; 时，，公差，所以.
(2)若数列为递增数列，则，所以，，
，
所以，
，
所以
，所以.
20. 设函数的图像在处的切线与直线平行。

（1）求的直线；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）若，利用结论（2）证明：
参考答案：
解：（1）因为，所以
解得或。

又，所以。

（2）由，解得。

列表如下：
（0，）（
所以函数f（x）在区间[0，1]的最小值为。

（3）因为函数，所以
所以。

当时，，所以。

又因为，所以。

故，当且仅当a=b=c=时取等号。

21. 已知定点，，动点到定点距离与到定点的距离的比值是.（1）记动点的轨迹为曲线.求曲线的方程，并说明方程表示的曲线；
（2）若是圆上任意一点，过作曲线的切线，切点是，求的取值范围；
参考答案：
解（1）设动点的坐标为，则由，得，
整理得: .即
，即方程表示的曲线是以为圆心，2为半径的圆.
（Ⅱ）由，及有：
两圆内含，且圆在圆内部.如图所示，由有: ,故求的取值范围就是求的取值范围.而是定点，是圆上的动点，故过作圆的直径，得，，故，
略
22. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．
【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，
若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；
若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，
若p假q真，则，解可得1＜m≤2；
若p真q假，则，解可得m≥3；
综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．。