2020届中考数学复习课件：第21讲 矩形、菱形、正方形 (共30张PPT)

第四章
第21讲 矩形、菱形、正方形 课前小练 考情分析 知识梳理
例题精讲
随堂练习
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(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠BCD=90°. ∵∠BAE=∠BCE, ∴∠BAD-∠BAE=∠BCD-∠BCE, 即∠EAD=∠ECD. ∵∠AED=∠CED,ED=ED, ∴△AED≌△CED. ∴AD=CD.∴矩形ABCD是正方形.
∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF.
∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,
∵BC=CD,∴CE=CF.
(2)解:在 Rt△EFC 中,CE=CF=2×sin45°= 2. 在 Rt△ABE 中,AB2+BE2=AE2,
设正方形 ABCD 的边长为 x,则 x2+(x- 2)2=22.
解得,x=
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知识点2矩形、菱形、正方形的判定 1.矩形的判定: (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)三个角都是直角的四边形是矩形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形. 2.菱形的判定: (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)四条边相等的四边形是菱形; (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 3.正方形的判定: (1)有一组邻边相等的矩形是正方形; (2)有一个角是直角的菱形是正方形.
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6.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:△BED≌△CFD; (2)若∠A=90°,求证:四边形DFAE是正方形.
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4.菱形的性质: (1)对边平行; (2)四边相等;
菱形 (3)对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角; (4)面积 = 两条对角线的乘积的一半;或面积 = 底 × 高; (5)既是轴对称图形又是中心对称图形.
5.正方形的概念:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形.
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一、义务教育数学课标解读: (1)掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质,了解它们之间的关系. (2)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、 正方形的条件. 二、近三年广东省中考情况:
年份 2017
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(1)四边形ABCD是矩形,只需证得一组邻边相等即 可说明它是正方形.接下来通过证明△AED≌△CED,得AD=CD解决 问题.(2)由(1)中全等三角形得AE=CE,∠DAE=∠DCE,再由BG∥AD 得∠G=∠EAD,从而∠DCE=∠G,这样就可证明△CEG∽△FEC,由它 产生相似比并结合AE=2EF即可得解.
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1.要使▱ABCD成为矩形;需添加的条件是 AC=BD (或 ∠BAD=90° ). 2.要使▱ABCD成为菱形;需添加的条件是 AC⊥BD (或
AB=AD ). 3.如图,在矩形ABCD中,若AC=2AD,则∠AOD的大小是( C )
1.矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质:
(1)对边平行且相等; (2)四个内角都是直角; 矩形 (3)对角线相等且互相平分; (4)面积 = 长 × 宽; (5)既是轴对称图形又是中心对称图形. 3.菱形的概念:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
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(1)可证Rt△ABE≌Rt△ADF;(2)可得△EFC是等腰直 角三角形,由等边三角形AEF的边长为2,可得EF=2,解直角三角形 可得正方形ABCD的边长.
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(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠D=90°,AB=AD.
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5. (2017·广东,10)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE
与 AC 相交于点 F,连接 BF,下列结论:①������△������������������ = ������△������������������ ;② ������△������������������=4������△������������������;③������△������������������ =2������△������������������;④������△������������������ =2������△������������������,其中正确的是 (C)
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解析:∵四边形OABC是矩形,∴OA=BC,AB=OC; BA⊥OA,BC⊥OC. ∵B点坐标为(3,2), ∴OA=3,AB=2. ∵D,E,F,G分别是线段OP,AP,BP,CP的中点, ∴DE=GF=1.5; EF=DG=1. ∴四边形DEFG的周长为 (1.5+1)×2=5.
2018 2019
考点
题型
正方形、矩形、菱 形为背景
选择题 填空题 解答题
选择题
矩形、菱形为背景 填空题
解答题
正方形为背景 选择题
分值 难易度 14 中等
20 中等
4
中等
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知识点1掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质,了解它们之间 的关系
△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④
������△������������������ : ������△������������������ =1:4.其中正确的结论有(
C
)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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7.(2018·广东,19)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.
(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不 要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.
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证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵D是BC的中点,∴BD=CD. ∴△BED≌△CFD. (2)∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED=∠AFD=90°. ∵∠A=90°,∴四边形DFAE为矩形. ∵△BED≌△CFD,∴DE=DF. ∴四边形DFAE为正方形.
由(1)知CE=AE,而AE=2EF,故CE=2EF.
∴EG=2CE=4EF,即EF+FG=4EF.
∴FG=3EF.
本题综合考查了矩形、正方形、全等三角形、相似三角
形知识,题目条件简洁明了,突出了对基础知识、核心知识的交叉 考查,是一道中档好题.解决问题(2),还可通过证明 △AEB∽△FED,△ADF∽△GCF解决.
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6.正方形的性质:
(1)对边平行、四条边相等; (2)四个内角都是直角; (3)对角线互相垂平分且相等, 正方形 每条对角线平分一组对角; (4)面积 = 两条对角线的乘积的一半; 或面积 = 边长 × 边长; (5)既是轴对称图形又是中心对称图形.
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【例3】 如图,四边形ABCD是矩形,E是BD上的一点, ∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,点G是BC,AE延长线的交点,AG与CD 相交于点F.
(1)求证:四边形ABCD是正方形; (2)当AE=2EF时,判断FG与EF有何数量关系?并证明你的结论.
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(2)解:FG=3EF.理由如下:
∵BG∥AD,∴∠G=∠EAD.
由于∠EAD=∠ECD,∴∠G=∠ECD.
∵∠CEG=∠FEC,∴△CEG∽△FEC.
∴������������
������������
=
������������������������.
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3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠AOB=2∠BOC, AC=18,则AD= 9 .
4. (2016·广东,15)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2 3 ,E为BC边上 一点,BC=3BE,将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠,B点恰好落在对 角线AC上的B'处,则AB= ������ .
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
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6.(2019·广东,10)如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,
以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于M,连接AM,AF,H
为AD的中点,连接FH分别与AB,AM交于点N,K.则下列结论:①
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1.如图,菱形ABCD的周长为20 cm,Βιβλιοθήκη tan∠ABD= 4,则菱形ABCD的
3
面积为 24 cm2.
2.如图, 以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射 线,分别与正方形的边交于A,B两点,则线段AB的最小值是 ������ .
A.30° B.45° C.60° D.90°
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4.菱形的两条对角线长分别是6和8,则菱形的周长为 20 ,菱形的 面积为 24 . 5.如图,以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB= 30° .
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解:(1)如图所示,直线EF即为所求.
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∴∠ABD=∠DBC=
1 2
∠ABC=75°,
DC∥AB,∠A=∠C,
∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=30°.
∵EF垂直平分AB,∴AF=BF.
2± 2
6(舍负),
∴正方形
ABCD
的周长
C=4×
2+ 2
6=2
2+2
6.
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直线型问题主要有两种形式,一种是证明,一种是计算,主 要考查学生的逻辑推理能力以及空间观念.
计算时一般考虑勾股定理、特殊角等的运用,列方程求解是常用 方法.
此题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理,理清坐标 系内点的坐标与对应相等的长度之间的关系很关键.难度不大.
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【例2】 如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别 在BC和CD上.
(1)求证:CE=CF; (2)若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
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【例1】 如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴正半轴上,B
点坐标为(3,2), OB与AC交于点P,D,E,F,G分别是线段OP,AP,BP,CP
的中点,则四边形DEFG的周长为
.
根据题意,由B点坐标知OA=BC=3,AB=OC=2;根据 三角形中位线定理可求四边形DEFG的各边长度,从而求周长.