湖北省荆州市石首大垸乡中学2022年高二数学文联考试题含解析

湖北省荆州市石首大垸乡中学2021-2022学年高二数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设A是半径为1的圆周上一定点，P是圆周上一动点，则弦PA＜1的概率是
A. B. C. D.
参考答案：
A
2. 根据如下样本数据得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）
x 34567
A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位
C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位．
参考答案：
B
【考点】线性回归方程．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．
【解答】解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，
=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，
∵回归方程为=bx+a．若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），
∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，
∴x每增加1个单位，y就减少1.4个单位，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．3. 从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为( )．
A．5个 B．8个 C．10个 D．15个
参考答案：
D
4. 已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|｝，则M∩N＝
A． B．｛x|0＜x＜3 C．｛x|1＜x＜
3 D．｛x|2＜x＜3
参考答案：
D
5. 若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则的最小值为（）
A．B．C．1 D．4
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by（a＞0，b＞0），再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by（a＞0，b＞0），过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．
【解答】解：不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线z=ax+by（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线2x﹣y﹣6=0的交点（8，10）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，
即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而．
故选B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题
6. 椭圆上的点到直线的最大距离
是（）
A．3 B． C．
D．
参考答案：
D
7. 已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于
( )
A． B．0 C．1 D．2
参考答案：
A
略8. 函数有( )
A. 最大值为1
B. 最小值为1
C. 最大值为e
D. 最小值为e
参考答案：
A
【分析】
对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.
【详解】解:，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，
有最大值为，故选A.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.
9. 有下列四个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（）
A．①②B．①③C．②③D．③④
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；
写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；
通过若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误．
利用原命题与逆否命题同真同假判断即可．
【解答】解：对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则
x+y=0．它是真命题．
对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．
对于③，若q≤1，则△=4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0
有实根是真命题；它的逆否命
题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．
对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．
故选：B．
10. 在一张纸上画一个圆，圆心O，并在圆外设一点F，折叠纸圆上某点落于F点，设该点为M，抹平纸片，折痕AB，连接MO（或者OM）并延长交于AB于P，则P点轨迹为（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线
参考答案：
B
【考点】轨迹方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据ABC是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PO|﹣|PF|=|PO|﹣
|PM|=|MO|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹．
【解答】解：由题意知，AB是线段MF的垂直平分线．
∴|MP|=|PF|，
∴|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|（定值），
又显然|MO|＜|FO|，
∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．
故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义的应用．考查了学生对双曲线基础知识的理解和应用．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式
的解集是
参考答案：
略
12. 若集合M ＝{x|x＜1}，N＝{x|}，则M N＝。

参考答案：
解析：， M N=。

13. 以D为圆心，1为半径的圆的极坐标方程为．
参考答案：
略
14. 函数的单调减区间是___________.
参考答案：
或
15. 在直角坐标系xOy中，圆O的方程为，将其横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C，则曲线C的普通方程为_____．
参考答案：
【分析】
根据题意，设P为曲线C上任意一点，分析可得其对应圆O上的点的坐标为（x，y），又由圆O 的方程为x2+y2＝1，分析可得答案．
【详解】根据题意，设为曲线上任意一点，则对应圆上的点的坐标为，
又由圆
的方程为
，则有
；
即曲线
的普通方程为
；
故答案为：．
【点睛】本题考查直角坐标系下的伸缩变化，注意伸缩变化的公式，属于基础题．
16. 函数 =的导数是=___________
参考答案：
略
17. 在直角三角形中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，由此类
比：三棱锥
的三个侧棱
两两垂直，且长分别为
，设棱锥底面
上
的高为
，则
.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)
在中，
分别是
的对边长，已知.
(Ⅰ)若,求实数
的值；
(Ⅱ)若,求面积的最大值.
参考答案： 解：(Ⅰ) 由
得：
··············· 2分
解得:
······························································································· 3分
而可以变形为········································· 4分
即 ，所以
········································································· 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,则··················· 7分
又························· 8分
所以
即
················ 10分
故
12分
略
19. 已知a 、b 为正常数,x 、y 为正数,且,求的最小值。

参考答案：
解析：
，
当且仅当即时，的最小值是。

20. （本小题满分12分）
已知.证明：
（1）；
（2）.
参考答案：
证明.（1）
（2）因为
所以，因此a+b≤2.
21. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90o， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF
上．
（Ⅰ）若P是DF的中点
(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP
(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
参考答案：
（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，
所以OP为三角形BDF中位线，
所以BF // OP，
因为BF平面ACP，OP平面ACP，
所以BF // 平面ACP．……………………4分
(ⅱ)因为∠BAF=90o，
所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以，，，．
所以，，
所以，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为
．
……………………8分
（Ⅱ）解：因为AB⊥平面ADF，
所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为，
在平面APC中，，，
所以平面APC的法向量为，
所以，
解得，或（舍）．
．……………………12分
22. 在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．求圆C的极坐标方程．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】设M（ρ，θ）是圆C上任一点，根据|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|θ﹣|，能够进一步得出得出ρ，θ的关系．
【解答】解：设M（ρ，θ）为圆C上任意一点，
如图，在△OCM中，|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|θ﹣|，
根据余弦定理，得1=ρ2+9﹣2?ρ?3?cos|θ﹣|，化简整理，
得ρ2﹣6?ρcos （θ﹣）+8=0为圆C的轨迹方程．。