二重积分标准介绍

教学过程
一 化二重积分为二次计分 1. 关于体积的计算
2. 矩形上的二重积分可以化为二次积分进行计算
简单地说，形如的积分称为一个先后的二次积分。

确切地说，设函数
在
上有定义，如果任意确定
，则
是
自变量为的一元函数，设
，
有意义，其值是的函数，记为
，又得体积为
同样，可以先后的二次积分：=
在此例中，先后的二次积分等于先后的二次积分，即两个二次积分相等，这个现象包含在下面的定理中。

3．一般性化二重积分为二次积分
在平面区域中，有两类特殊的区域是最具代表性的。

所示区域用集合可表示为：
型区域
其特点是，则直线
至多与区域
的边界交于两点；所示区域用
集合可表示为：
型区域
其特点是
，则直线
至多与区域
的边界交于两点。

为什么说这两类区域常用到（最具代表性），因为许多常见的区域都可分割
为有限个无分类点的
型区域和型区域。

因而，解决了
型区域和型区域
上二重积分的计算方法后，一般区域上的二重积分的计算问题也就得到解决。

如何计算
型区域和
型区域上的二重积分呢？ 最基本的想法还是化二重积
分
为二次积分（累次积分）。

问题是化为什么样的二次积分呢？有
下面的结果：
定理1设
，
则
=。

例1：化二重积分为二次积分，其中是由直线，抛物线
所围的平面区域。

例2：求由和，，，所围空间区域的体积V 。

例3：求二次积分
注意：最外层积分的积分限一定是常数。