2021年湖南省怀化市新晃侗族自治县第一中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年湖南省怀化市新晃侗族自治县第一中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2人只能做韩语翻译，另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译. 要从中选5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个旅游团需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）
A.900
B.800
C.600
D.500
参考答案：
A
略
2. 若函数是幂函数，则的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
3. 设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．已知五个方程的相异实根个数如下表所述﹕
α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（）
A．0＜α＜10 B．10＜α＜20 C．﹣10＜α＜0 D．﹣20＜α＜﹣10
参考答案：
B
【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．【分析】方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒则依据表格可画出其图象的大致形状，从而判断极小值的取值范围．
【解答】解﹕方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，
方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒
依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕
（1）当a为正时，
（2）当a为负时，
因极大值点a 位于水平线y=10与y=20
之间﹐
所以其y 坐标α（即极大值）的范围为10＜α＜20﹒
故选：B﹒
【点评】评：本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用，属于中档题．
4. 设，为单位向量，满足，非零向量，则的最大
值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
5. 在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7= ( )
A．5 B．8 C．10 D．14
参考答案：
B
6. 已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
C
详解：由题意，在时，恒成立，即，
又，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为3，
∴，从而，
∴所求概率为．
7. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
由三视图知该几何体是高为的三棱柱截去同底且高为的三棱锥所得几何体，体积等于
，选B．
8. 已知向量，若，则实数m的值是（）
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2
参考答案：
A
【分析】
根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.
【详解】由题意：
本题正确选项：A
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.
9. 设集合，则C中元素的个数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D.6
参考答案：
B
略
10. 当时，则下列大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列中，数列的前项和为，当整数时，
都成立，则数列的前n
项和为参考答案：
略
12. 已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为_____
参考答案：
4
略
13. 研究问题：“已知关于的不等式的解集为（1，2），解关于的不等式
”，有如下解法：由，令，则，所以不等式的解集为。

根据上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集
为 .
参考答案：
14. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90
，则后20名同学的平均成绩为．
参考答案：
95
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可．
【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，
则92×50=90×30+20x，解得：x=95，
故答案为：95．
15. 执行如图所示饰程瘴榧涸-!如果输入a=1，则输出的“的值为．参考答案：
63
16. 设集合A=，B=，则实数的值为______.
参考答案：
1
17. 若实数满足，则点到直线的距离的取值范围
是．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．
（Ⅰ）若，求θ；
（Ⅱ）求|的最大值．
参考答案：
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】（I）根据两个向量垂直的性质可得 sinθ+cosθ=0，由此解得tanθ的值，从而得出θ．
（II）利用向量的模的定义化简|，再根据三角函数的变换公式结合三角函数的性质求出
|的最大值．
【解答】解：（I）.，??=0?sinθ+cosθ=0，
=
=
当=1时有最大值，此时，最大值为．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，向量的模的定义，以及三角公式的应用．属于基础题．
19. 已知在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c．
（I）若sin（A+）=cosA，求A的值；
（Ⅱ）若cosA=，b=3c，求sinC的值．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（I）利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式化简已
知可得：tanA=，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用余弦定理可求a=c，利用正弦定理即可求得sinC的值．
【解答】解：（I）∵sin（A+）=cosA，
∴sinA+cosA=cosA，解得：tanA=，
∴由A∈（0，π），可得：A=．（Ⅱ）∵cosA=，b=3c，
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=8c2，
∴a=c，而sinA==，
由正弦定理得：，
∴sinC=．
【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20. 已知点，参数，点在曲线C：上.
（1）求在直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的方程;（2）求的最小值.
参考答案：
设点P的坐标为（x，y），则有消去参数α，可得由于α∈[0，
π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆∵曲线C：，即
，即ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-
y+10=0．（2）如图所示：由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，半圆的圆心C（1，
0）到直线x-y+10=0的距离等于．即|PQ|的最小值为-1．
略
21. （本小题满分12分）
在直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程为y=ax2+c(a＜0)，D=（6，7）为x轴上的给定区间。

（1）为使物体落在D内，求a的取值范围；
（2）若物体运动时又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内？并说明理由。

参考答案：
解：（1）-1／4＜a＜-9／49，（2）a= -9／40，所以能。

略
22. （本小题满分14分）函数，过曲线上的点的切线方程为.
（1）若在时有极值，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在[-3,1]上的最大值；
（3）若函数在区间[-2,1]上单调递增，求实数b的取值范围.
参考答案：
（1）由得，
过上点的切线方程为，
即.
而过上点的切线方程为，
故………3分
∵在处有极值，故
联立解得. ………5分
(2) ，令得
………7分
列下表：因此，的极大值为，极小值为，
又在上的最大值为13.……10分
（3）在上单调递增，又，
由（1）知，依题意在上恒有，即
即在上恒成立.当时恒成立；当时，，此时
……12分
而当且仅当时成立
要使恒成立，只须.……14分。