立体几何
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∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形.
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形.
(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，
则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.
在△A′CP中，易得A′C= a，CP=DE= a,A′P= a
∵D1A=D1C，∴D1O⊥AC，同理PO⊥AC，
∴∠D1OP是二面角D1—AC—P的平面角．
∴∠D1OP=120°．
设 ，
∵ 60°，则 ，
∴ ．
在 中， ．
在 中，由余弦定理 得
，即 ．
整理得 ，解得 或 （舍）．∴ ．
（3）∵ ，∴ ，
，
∵AC⊥平面OPD1，
5、（2008年梅州市第一次质检（文）17）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 边的中点，直线 与底面 所成的角为 .
解析： 凸多面体是由一正方体与一正四棱锥，且所有棱长均为1，根据体积公式算得正方体体积为1，正四棱锥体积为 ，所以凸多面体的体积 。
25、(08届江阴市10月教学调查测试（文）15)一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为.
第七单元立体几何
1、（08张家港市模拟）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；
【解析】：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
（2）以点 为中点，在 轴取 ，在 轴上取 ，以点 为中点画 平行于 轴，并等于FE；再以 为中点画 平行于 轴，并等于BC。
（3）连结 ，所得的六边形 就是正六边形ABCDEF的直观图。
11、(2008年广东省揭阳市调研(理)12)已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）．
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C与DE所成角的余弦值为 .
(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD= a，AB′= a,B′D= a
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个为正方形的长方体，
显然①可能，②不可能，③④⑤如右图知都有可能。
12、水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图⑴所示，已知 ，则AB边上中线的实际长度为。
解析：26π．由△PAB、△PAC、△PBC的面积求出PA，PB，PC分别为1、3、4，又PA，PB，PC两两互相垂直，易知过P，A，B，C四点的外接球的直径为以PA，PB，PC为同一顶点三边的长方体对角线，通过计算外接球的直径为 ，所以外接球的表面积为 。
。
20、用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则轴截面的面积为（接头忽略不计）。
在Rt△DOE中，OE= a,OD= a,斜边DE= a,
则由面积关系得OM= a
在Rt△OHM中，sinOMH=
故面B′EDF与面ABCD所成的角的正弦值为
4、（2008年山东省潍坊市质量检测（理）19）如图，直四棱柱ABCD—A1B2C3D4中，侧棱AA1=2，底面ABCD是菱形，AB=2,∠ABC=60°，P为侧棱BB1上的动点．
①②③④
（1）（2）
答案：②③。分别将点B、F、D1、E向各面作垂线，得垂足，垂足构成图形判断出②③正确。
10、（苏教版必修2教材P14例1改编）画出水平放置的正六边形的直观图，并写出相应步骤。
解析：如图所示
甲乙丙
（1）在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取对称轴GH为y轴，画对应 轴、 轴，使∠ 45°。
18、（2008届如东、启东、通州、海门四县联考9）若长方体相邻三个侧面的面积分别是 ， ， ，则该长方体的体积是．
解析： 可求出同一顶点处的三条棱长分别为1、 、 ，所以由长方体的体积公式求得体积是 。
19、（2008届南通市第一次调研10）已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为▲cm2．（注 ，其中r为球半径）
∵AD=A1D，AB=A1C1，∠BAD=∠DA1C1=90°
∴△ABD≌△DA1C1，∴BD=DC1，
∴DE⊥BC1。
同理DE⊥B1C
又∵B1C∩BC1=E，∴DE⊥面BB1C1C，
又∵DE 面BDC1，∴面BDC1⊥面BB1C1C
（3）解：取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面BDC1
证明：连结PE，则PE平行且等于AD，
解析：
以4cm或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为 。
21、在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________．
解析：
作出圆锥的轴截面：光源高度 。
22、已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则正确的有（填序号）
（2）求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（3）BC边上是否存在点P，使AP//平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。
解析：
（1）
解：由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如上图所示。
∵几何体的底面积
（2）证明：连结B1C交BC1于E点，则E为BC1、B1C的中点，连结DE。
（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的图形
（2）棱柱、棱锥、棱台是简单多面体（一个几何体表面经过连续变形变为球面的多面体叫简单多面体）
（3）有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
（4）有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台
其中正确命题的个数是个
解析：2⑴⑵正确。
17．（08如东一轮复习）已知甲命题：棱柱是直棱柱；并给出下列4个乙命题：
解析：2.5根据直观图的画法规则易求。
13、一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请补画这个几何体的俯视图.
解析:三棱柱
14、(2008年江苏省百所高中样本分析考试17)已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA1=3，设D为AA1的中点。
（1）作出该几何体的直观图并求其体积；
8、（08届启东市第一次调研8） 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3．
解析：640＋80π
该几何体是半个圆柱体与一长方体的组合体，分别求出他们的体积为80π、640，所以这个几何体的体积是（640＋80π）cm3
9、（苏教版必修2教材P65第14题改编）如图（1），E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图（2）中的（要求把可能的序号都填上）。
则cosADB′=
故AD与平面B′EDF所成的角的余弦值为是 .
(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.
作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，
再作HM⊥DE，垂足为M，
易证，DE⊥面OHM
连结OM，则OM⊥DE，
故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.
① ② ③ ④
解析：①②
注意到过球心的条件，易判断③④不合题意，即①②正确。
23、（2008届无锡市1月高三质量调研18）
如图，四棱柱 的底面边长和侧棱长均为1， 为 中点．
（I）求证： ；
（II）求证： ；
（III）求四棱柱 的体积．
解析:（I）连结AC、BD交于O点，连结
四边形 为平行四边形．
又 分别为 的中点，
①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱
解析:④③②由三视图的画法知。
7、在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，根据你的推测，箱子的数量是
解析:7个
画出若干货箱组成的几何体的直观图，易判断小正方体（箱子）共7个。
∴四边形APED为平行四边形，∴AP∥DE，又DE 平面BDC1，AP 平面BDC1，
∴AP∥平面BDC1。
15．（08如东一轮复习）一棱台被平行于底面的平面截成上、下两个棱台，它们的体积分别是 和 ，则 和 的函数图像大致是
解析：③设棱台的体积为V（为定量），则x+y=V，故选③。
16．（08如东一轮复习）给出下列命题
（1）求证：D1P⊥AC；
（2）当二面角D1—AC—P的大小为120°，求BP的长；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥P—ACD1的体积．
【解析】（1）连接BD，则AC⊥BD，
∵D1D⊥地面ABCD，∴AC⊥D1D
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵D1P 平面BB1D1D，∴D1P⊥AC．
（2）连接D1O，OP，
平面 平面 平面
（II）连结
，又
为BD中点，
又底面ABCD为菱形，
平面 平面
（III） 平面 ， 平面 平面 平面ABCD．
过 作 平面ABCD， 平面 与平面ABCD交于AC，则E在AC上
过E作 于F，由 平面 ，则
．在 中，
24、 (2008年上海市春招)8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 ．
解析： 6个正方体的棱长依次为 ，所以暴露在外面部分的面积和为 。
26、（08年泰兴市3月调研16）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.
【解析】
3、（08苏州模拟）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.
(1)求证：四边形B′EDF是菱形；
(2)求直线A′C与DE所成的角的余弦值；
(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角的余弦值；
(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角的正弦值.
【解析】
(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′= a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG AB A′B′知，B′EGA′是平行四边形.
①棱柱有一条侧棱与底面垂直；
②棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直；
③棱柱有一个侧面与底面多边形的一条边垂直；
④棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直。
其中乙命题是甲命题的
（1）必要不充分条件的序号是；
（2）充要条件的序号是。
（注：把所有满足题意的乙命题的序号都填上）
解析：（1）②；（2）①④。
根据直棱柱的定义判断。
侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的
正方形，高为CC1=6，故所求体积是
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示.
证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的
正方形，于是
故所拼图形成立
2、（苏教版必修2教材P38第7题改编）设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图 求直线PB和平面PAC所成角的大小.
(I)求直三棱柱 的体积；
(II)求证： ∥面 .
【解析】.解：(I) 三棱柱 是直三棱柱
, 就是直线 与底面 所成的角为
，
,
三棱柱 的体积
(II)连结 ,因为 是矩形 ，所以
是 ，
又 是 边的中点，故 是 的
中位线.
,又 , .
6、(2007年济南市统一考试(文)4)如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形.
(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，
则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.
在△A′CP中，易得A′C= a，CP=DE= a,A′P= a
∵D1A=D1C，∴D1O⊥AC，同理PO⊥AC，
∴∠D1OP是二面角D1—AC—P的平面角．
∴∠D1OP=120°．
设 ，
∵ 60°，则 ，
∴ ．
在 中， ．
在 中，由余弦定理 得
，即 ．
整理得 ，解得 或 （舍）．∴ ．
（3）∵ ，∴ ，
，
∵AC⊥平面OPD1，
5、（2008年梅州市第一次质检（文）17）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 边的中点，直线 与底面 所成的角为 .
解析： 凸多面体是由一正方体与一正四棱锥，且所有棱长均为1，根据体积公式算得正方体体积为1，正四棱锥体积为 ，所以凸多面体的体积 。
25、(08届江阴市10月教学调查测试（文）15)一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为.
第七单元立体几何
1、（08张家港市模拟）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；
【解析】：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
（2）以点 为中点，在 轴取 ，在 轴上取 ，以点 为中点画 平行于 轴，并等于FE；再以 为中点画 平行于 轴，并等于BC。
（3）连结 ，所得的六边形 就是正六边形ABCDEF的直观图。
11、(2008年广东省揭阳市调研(理)12)已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）．
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C与DE所成角的余弦值为 .
(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD= a，AB′= a,B′D= a
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个为正方形的长方体，
显然①可能，②不可能，③④⑤如右图知都有可能。
12、水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图⑴所示，已知 ，则AB边上中线的实际长度为。
解析：26π．由△PAB、△PAC、△PBC的面积求出PA，PB，PC分别为1、3、4，又PA，PB，PC两两互相垂直，易知过P，A，B，C四点的外接球的直径为以PA，PB，PC为同一顶点三边的长方体对角线，通过计算外接球的直径为 ，所以外接球的表面积为 。
。
20、用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则轴截面的面积为（接头忽略不计）。
在Rt△DOE中，OE= a,OD= a,斜边DE= a,
则由面积关系得OM= a
在Rt△OHM中，sinOMH=
故面B′EDF与面ABCD所成的角的正弦值为
4、（2008年山东省潍坊市质量检测（理）19）如图，直四棱柱ABCD—A1B2C3D4中，侧棱AA1=2，底面ABCD是菱形，AB=2,∠ABC=60°，P为侧棱BB1上的动点．
①②③④
（1）（2）
答案：②③。分别将点B、F、D1、E向各面作垂线，得垂足，垂足构成图形判断出②③正确。
10、（苏教版必修2教材P14例1改编）画出水平放置的正六边形的直观图，并写出相应步骤。
解析：如图所示
甲乙丙
（1）在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取对称轴GH为y轴，画对应 轴、 轴，使∠ 45°。
18、（2008届如东、启东、通州、海门四县联考9）若长方体相邻三个侧面的面积分别是 ， ， ，则该长方体的体积是．
解析： 可求出同一顶点处的三条棱长分别为1、 、 ，所以由长方体的体积公式求得体积是 。
19、（2008届南通市第一次调研10）已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为▲cm2．（注 ，其中r为球半径）
∵AD=A1D，AB=A1C1，∠BAD=∠DA1C1=90°
∴△ABD≌△DA1C1，∴BD=DC1，
∴DE⊥BC1。
同理DE⊥B1C
又∵B1C∩BC1=E，∴DE⊥面BB1C1C，
又∵DE 面BDC1，∴面BDC1⊥面BB1C1C
（3）解：取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面BDC1
证明：连结PE，则PE平行且等于AD，
解析：
以4cm或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为 。
21、在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________．
解析：
作出圆锥的轴截面：光源高度 。
22、已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则正确的有（填序号）
（2）求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（3）BC边上是否存在点P，使AP//平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。
解析：
（1）
解：由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如上图所示。
∵几何体的底面积
（2）证明：连结B1C交BC1于E点，则E为BC1、B1C的中点，连结DE。
（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的图形
（2）棱柱、棱锥、棱台是简单多面体（一个几何体表面经过连续变形变为球面的多面体叫简单多面体）
（3）有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
（4）有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台
其中正确命题的个数是个
解析：2⑴⑵正确。
17．（08如东一轮复习）已知甲命题：棱柱是直棱柱；并给出下列4个乙命题：
解析：2.5根据直观图的画法规则易求。
13、一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请补画这个几何体的俯视图.
解析:三棱柱
14、(2008年江苏省百所高中样本分析考试17)已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA1=3，设D为AA1的中点。
（1）作出该几何体的直观图并求其体积；
8、（08届启东市第一次调研8） 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3．
解析：640＋80π
该几何体是半个圆柱体与一长方体的组合体，分别求出他们的体积为80π、640，所以这个几何体的体积是（640＋80π）cm3
9、（苏教版必修2教材P65第14题改编）如图（1），E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图（2）中的（要求把可能的序号都填上）。
则cosADB′=
故AD与平面B′EDF所成的角的余弦值为是 .
(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.
作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，
再作HM⊥DE，垂足为M，
易证，DE⊥面OHM
连结OM，则OM⊥DE，
故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.
① ② ③ ④
解析：①②
注意到过球心的条件，易判断③④不合题意，即①②正确。
23、（2008届无锡市1月高三质量调研18）
如图，四棱柱 的底面边长和侧棱长均为1， 为 中点．
（I）求证： ；
（II）求证： ；
（III）求四棱柱 的体积．
解析:（I）连结AC、BD交于O点，连结
四边形 为平行四边形．
又 分别为 的中点，
①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱
解析:④③②由三视图的画法知。
7、在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，根据你的推测，箱子的数量是
解析:7个
画出若干货箱组成的几何体的直观图，易判断小正方体（箱子）共7个。
∴四边形APED为平行四边形，∴AP∥DE，又DE 平面BDC1，AP 平面BDC1，
∴AP∥平面BDC1。
15．（08如东一轮复习）一棱台被平行于底面的平面截成上、下两个棱台，它们的体积分别是 和 ，则 和 的函数图像大致是
解析：③设棱台的体积为V（为定量），则x+y=V，故选③。
16．（08如东一轮复习）给出下列命题
（1）求证：D1P⊥AC；
（2）当二面角D1—AC—P的大小为120°，求BP的长；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥P—ACD1的体积．
【解析】（1）连接BD，则AC⊥BD，
∵D1D⊥地面ABCD，∴AC⊥D1D
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵D1P 平面BB1D1D，∴D1P⊥AC．
（2）连接D1O，OP，
平面 平面 平面
（II）连结
，又
为BD中点，
又底面ABCD为菱形，
平面 平面
（III） 平面 ， 平面 平面 平面ABCD．
过 作 平面ABCD， 平面 与平面ABCD交于AC，则E在AC上
过E作 于F，由 平面 ，则
．在 中，
24、 (2008年上海市春招)8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 ．
解析： 6个正方体的棱长依次为 ，所以暴露在外面部分的面积和为 。
26、（08年泰兴市3月调研16）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.
【解析】
3、（08苏州模拟）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.
(1)求证：四边形B′EDF是菱形；
(2)求直线A′C与DE所成的角的余弦值；
(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角的余弦值；
(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角的正弦值.
【解析】
(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′= a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG AB A′B′知，B′EGA′是平行四边形.
①棱柱有一条侧棱与底面垂直；
②棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直；
③棱柱有一个侧面与底面多边形的一条边垂直；
④棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直。
其中乙命题是甲命题的
（1）必要不充分条件的序号是；
（2）充要条件的序号是。
（注：把所有满足题意的乙命题的序号都填上）
解析：（1）②；（2）①④。
根据直棱柱的定义判断。
侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的
正方形，高为CC1=6，故所求体积是
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示.
证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的
正方形，于是
故所拼图形成立
2、（苏教版必修2教材P38第7题改编）设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图 求直线PB和平面PAC所成角的大小.
(I)求直三棱柱 的体积；
(II)求证： ∥面 .
【解析】.解：(I) 三棱柱 是直三棱柱
, 就是直线 与底面 所成的角为
，
,
三棱柱 的体积
(II)连结 ,因为 是矩形 ，所以
是 ，
又 是 边的中点，故 是 的
中位线.
,又 , .
6、(2007年济南市统一考试(文)4)如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是