2020年高考数学模拟试卷 (52)-0722(含答案解析)

2020年高考数学模拟试卷 (52)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合，则()
A. M∈N
B. N∈M
C. M⊆N
D. N⊆M
2.复数z=−3+i
2+i
的模是()
A. 2
B. √2
C. 1
D. √2
2
3.如图是2010—2019年这10年我国普通高校毕业生人数统计图(单位：万人)，则下列说法错误
的是
A. 2010年以来，普通高校毕业生的人数逐年增多
B. 这10年中，普通高校毕业生人数的极差超过200万
C. 这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2017年普通高校毕业生人数增长最多
D. 这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2016年普通高校毕业生人数增长最少
4.已知直线l：ax+by−2=0平分圆x2+y2−6x−4y−12=0，若a，b均为正数，则3
a +2
b
的
最小值是()
A. 25
B. 12
C. 25
2
D. 9
5.若变量x，y满足约束条件{x+2y≥0,
x−y≤0,
x−2y+2≥0,
则z=2x−y的最小值等于()
A. −5
2B. −2 C. −3
2
D. 2
6.在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3⋅a n−2=64，且前n项和为S n=62，则n=()
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
7.为了得到函数f(x)=sin(3x+π
4
)的图象，需对函数g(x)=sinx的图象所作的变换可以为()
A. 先将图象上所有的横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变，再向右平移π
12个单位 B. 先向左平移π
4 个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的1
3，纵坐标不变 C. 先向左平移 3π
4个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的1
3，纵坐标不变 D. 先向右平移 3π4个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变
8. 已知函数f(x)=asinx +cosx(a ∈R)为偶函数，则f(−π
3)=( )
A. −1
2
B. 1
2
C. √32
D. −√32
9. 如图，在等边△ABC 中，O 为△ABC 的重心，点D 为BC 边上靠近B
点的四等分点，若OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =( )
A. 1
12 B. 1
3 C. 23 D. 34
10. 直线l 1//l 2，l 1上有4个点，l 2上有6个点，以这些点为端点连成线段，他们在l 1与l 2之间最多的
交点个数是( ) A. 24 B. 45 C. 80 D. 90 11. 命题：“存在一个椭圆，其离心率e <1”的否定是( )
A. 任意椭圆的离心率e ≥1
B. 存在一个椭圆，其离心率e ≥1
C. 任意椭圆的离心率e >1
D. 存在一个椭圆，其离心率e >1
12. 如图1，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的
动点，当三棱锥Q −BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q −BMN 的体积为( )
A. 1
2a 3
B. 1
4a 3
C. √24
a 3
D. 1
12a 3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在(ax −1)5的展开式中，x 2的系数为−40，则a =______．
14.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，则a3⋅a8的最大值为______．
15.已知双曲线C1：x2−y2
=1，若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离
3
为1，则抛物线C2的方程为______．
16.已知函数f(x)=e|x−1|+|x−1|，若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值
范围是___________．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且AD=3DB，
cos∠BAD=√33
．
6
(1)求B；
(2)若b=4√3，求2a−c的取值范围．
18.如图，在三棱锥A−BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=2，CD=AB=√3，E是AC
的中点，G是BD的中点．
(1)若F是AD的中点，求证：EF⊥平面ABC；
(2)若AF=2FD，求直线AG与平面BEF所成角的正弦值．
19.漳州三中高三年为了了解高三理科学生对数学学科的兴趣情况，随机抽取了高三年级100名理
科同学进行调查，如图是根据调查结果绘制的晚自习第一节课学习数学时间的频率分布直方图，其中学习数学学科的时间分组区间是：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60].将
学习时间不低于40分钟的同学称为“数学迷”．
(1)求图中x的值；
(2)从“数学迷”中随机抽取2位同学，记该2人中晚自习第一节课学习数学的时间在区间[50,60]内的人数记为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)．
20.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为1
2
，直线l经过F2与
椭圆交于P，Q两点，当PF1与y轴的交点是线段PF1的中点时，|PQ|=3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l不垂直于x轴，若T(t,0)满足|TP|=|TQ|，求t的取值范围．21.判断函数f(x)=x−3+lnx的零点的个数．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα
y =sinα(α为参数)，将C 上每一点的横坐标保持
不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 1.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1的极坐标方程；
(2)设M ，N 为C 1上两点，若OM ⊥ON ，求1
|OM|2+1
|ON|2的值．
23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x +3|．
(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；
(Ⅱ)当a ≥0时，关于x 的不等式f(x)≥−ax 2+ax −4恒成立，求实数a 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：【分析】
本题考查集合的包含关系，属于基础题．
【解答】
解：因为集合，
所以N⫋M，
选项中D符合．
故选D．
2.答案：B
解析：【分析】
直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再根据复数求模公式计算得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
【解答】
=−1+i，
解：z=−3+i
2+i
则|z|=√2．
故选B．
3.答案：D
解析：【分析】
本题考查条形图的性质等基础知识，是基础题.由统计图可得A、B、C正确，每一年与上一年相比，2019年普通高校毕业生人数增长最少，故D错误．
【解答】
解：从图表中看出2010年以来，普通高校毕业生的人数逐年增多，故A正确;
这10年中，普通高校毕业生人数的极差为834−631=203>200万，故B正确;
这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2017年普通高校毕业生人数增长最多，故C正确;
这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2019年普通高校毕业生人数增长最少，故D错误．故选D．
4.答案：C
解析：解：圆x2+y2−6x−4y−12=0化为(x−3)2+(y−2)2=25，圆心为C(3,2)，
∵直线ax+by−2=0(a,b>0)平分圆x2+y2−6x−4y−12=0，
∴直线ax+by−2=0(a,b>0)经过圆心C(3,2)，
∴3a +2b −2=0，化为3
2a +b =1． ∴3
a
+2
b
=(3
2
a +b)(3
a
+2
b
)=
132
+
3a b
+
3b a
≥
132
+2√
3a b
⋅
3b a
=
252
，
当且仅当a =b =2
5时取等号． ∴3
a +2
b 的最小值是25
2
．
故选：C ．
直线ax +by −2=0(a,b >0)平分圆x 2+y 2−6x −4y −12=0，可得：直线ax +by −2=0(a,b >0)经过圆心，于是3
2a +b =1.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了圆的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 5.答案：A
解析：解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0
x −y ≤0x −2y +2≥0作出
可行域如图，
由图可知，最优解为A ，
联立{x +2y =0x −2y +2=0
，解得A(−1,1
2). ∴z =2x −y 的最小值为2×(−1)−1
2=−5
2．
故选：A ．
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 6.答案：B
解析：【分析】
本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质．
根据等比数列的性质得a 1a n =a 3⋅a n−2=64，结合数列递增可解得a 1=2，a n =32，再由S n =62求出公比q ，可得n 值．
【解答】解：设等比数列公比为q ，可得a 1a n =a 3⋅a n−2=64， 又a 1+a n =34，
解得a 1=2，a n =32，或a 1=32，a n =2， ∵等比数列{a n }递增， ∴a 1=2，a n =32， ∵S n =62，∴
a 1−a n q 1−q
=
2−32q 1−q
=62，
解得q =2，∴32=2×2n−1=2n ， 解得n =5 故选：B
7.答案：B
解析：解：把函数g(x)=sinx 的图象先向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来
的1
3，纵坐标不变，可
得函数f(x)=sin(3x +π
4)的图象，
故选：B ．
由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 8.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查函数的奇偶性.属于基础题，先由奇偶性得到a 值，再进行函数值求解． 【解答】
解：∵函数f(x)=asinx +cosx(a ∈R)为偶函数， ∴f(−x)=−asinx +cosx =f(x)=asinx +cosx ， ∴a =0，
∴f(x)=cosx ，
∴f(−π
3)=cos(−π
3)=1
2， 故选B ． 9.答案：B
解析：【分析】
根据平面向量的三角形法则，表示出OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出x ，y 的值即可． 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量加法的三角形法则，属于中档题． 【解答】
解：设M ，N 分别是AC ，BC 的中点，
则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵O 是等边△ABC 的重心， ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
6
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
6AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −1
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
∵点D 为BC 边上靠近B 点的四等分点，∴D 为BN 的中点，
∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12
ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +112AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
12
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =5
12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −1
12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x +y =
512
−
112=1
3
．
故选：B ．
10.答案：D
解析：【分析】
本题主要考查两个计数原理的应用，将求l 1与l 2之间最多的交点个数问题转化为四边形的个数问题，是解决本题的关键.将条件l 1与l 2之间最多的交点个数问题转化为四边形的个数问题，即可得到结论． 【解答】 解：如图：
要求交点个数最多，等价为两条直线上的点，构成平行四边形的个数问题，
由于l 1上有4个点，选择2个点有C 42
=6种选择方式，
l 2上有6个点，选择2个点有C 62=15种选择方式，
根据乘法原理，共可产生6×15=90个四边形． ∵每个四边形对角线的交点只有一个， 故在l 1与l 2之间最多的交点个数是90． 故选D ．
11.答案：A
解析：解：命题：“存在一个椭圆，其离心率e <1”的否定是任意椭圆的离心率e ≥1， 故选：A ．
由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案． 本题考查的知识点是特称命题的否定，难度不大，属于基础题． 12.答案：D
解析：【分析】
本题考查三棱锥Q −BMN 的体积，考查学生的计算能力，由三棱锥Q −BMN 的俯视图可得Q 在D 1，
N在C，M为D1A的中点是关键．
由三棱锥Q−BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，M为D1A的中点，利用三棱锥的体积公式即可求出三棱锥Q−BMN的体积．
【解答】
解：由三棱锥Q−BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，M为D1A的中点，
∴S△QBN=1
2⋅√2a⋅a=√2
2
a2，
M到平面QBN的距离为：1
2×√2
2
a=√2a
4
，
∴三棱锥Q−BMN的体积为1
3⋅√2
2
a2⋅√2a
4
=1
12
a3，
故选：D．
13.答案：±2
解析：解：根据题意，(ax−1)5的展开式通项为T r+1=C5r(ax)5−r(−1)r，
当r=3时，有T4=C53(ax)2(−1)3=−10a2x2，
若x2的系数为−40，则有−10a2=−40，解可得a=±2；
故答案为：±2．
根据题意，由二项式定理求出(ax−1)5的展开式通项，据此有T4=C53(ax)2(−1)3=−10ax2，结合题意可得−10a=−40，解可得a的值，即可得答案．
本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．
14.答案：16
解析：解：∵正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，
∴{a3>0
a8>0
a3+a8=40×2
10
=8
，
∴a3a8≤(a3+a8
2
)2=16．
∴当且仅当a3=a8时，a3⋅a8的最大值为64．
故答案为：16．
利用等差数列的前n项和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性质能求出a3⋅a8的最大值．本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质及基本等式的合理运用．
15.答案：x2=8y
解析：【分析】
本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】
解：双曲线C1：x2−y2
3
=1，的渐近线：√3x±y=0，
抛物线的焦点坐标为：(0,p
2
)，
抛物线C 2：x 2=2py(p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2， 可得：
p 2
√1+3
=1，解得p =4，
抛物线C 2：x 2=8y ． 故答案为：x 2=8y ． 16.答案：(1,+∞)
解析：【分析】
由题意得f(x)={e x−1+x −1,x ≥1
e 1−x +1−x,x <1，且函数y =f(x)与y =k 的图象有两个不同交点，画出图象得
出k 的取值范围． 【解答】
解：f(x)={e x−1+x −1,x ≥1
e 1−x +1−x,x <1，
由题意方程f(x)=k 有两个不同实根， 则函数y =f(x)与y =k 的图象有两个不同交点， 所以k >1，
故实数k 的取值范围是(1,+∞)．
17.答案：解：(1)在△ABD 中，由：cos∠BAD =√336
，得：sin∠BAD =√3
6
． 由正弦定理：AD sinB =BD
sin∠BAD ，得：sinB =√3
2
．
又因为：0<B <π
2， 所以：B =π
3．
(2)在△ABC 中，根据正弦定理a
sinA =c
sinC =b
sinB =√3
√32
=8，得：a =8sinA ，c =8sinC ，
所以：2a −c =16sinA −8sinC
=16sinA −8sin(2π
3−A)=8√3sin(A −π
6)． 又因为：△ABC 为锐角三角形， 故：π
6<A <π
2，0<A −π
6<π
3， 所以：2a −c ∈(0,12)．
解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BAD =√3
6.利用正弦定理可求sin B 的值，结合B 的
范围根据特殊角的三角函数值即可得解．
(2)根据正弦定理得a =8sinA ，c =8sinC ，利用三角函数恒等变换的应用可求2a −c =8√3sin(A −
π6
)，求得A 的范围，利用正弦函数的图象和性质可求2a −c 的取值范围．
18.答案：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，
∴AB ⊥CD.∵∠BCD =90°，∴CD ⊥BC ，
又BC ∩AB =B ，BC ，AB ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ． ∵E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴EF//CD ． ∴EF ⊥平面ABC ．
(2)解：如图建立空间直角坐标系C −xyz ，
则B(2,0，0)，D(0,√3,0)，A(2,0，√3)，G(1,√3
2,0)．
∵AE
EC =1，∴E(1,0，√32
)，∵AF
FD =2，∴F (23
,2√33
,√33
)，
∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,
√3
2
)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−43,
2√33,√3
3
)，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,
√3
2
,−√3)． 设平面BEF 的一个法向量为n
⃗ =(x,y ，z)， 则{−x +√3
2z =0−43x +2√33y +√33z =0
，取n ⃗ =(√32,1
2
,1)．
设AG 与平面BEF 所成角为θ， 则sinθ=|cos <AG ⃗⃗⃗⃗⃗
,n ⃗ >|=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ |
|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
=
5√3
4√19
2
×√2=
5√114
76
．
解析：本题考查线面垂直的判定，考查线面角的求解，注意向量法在求线面角中的应用． (1)通过证明CD ⊥平面ABC ，CD//EF ，即可证明EF ⊥平面ABC ；
(2)求出平面BEF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
19.答案：解：(1)由题设可知(0.005+x +0.012+0.02+0.025+0.028)×10=1，
解之得x =0.01；
(2)由题设可知晚自习第一节课学习数学的时间在区间[50,60]内的人数为0.005×10×100=5人， “数学迷”的人数为(0.01+0.005)×10×100=15，所以X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=
C 50C 102C 15
2=3
7，P(X =1)=
C 51C 101
C 15
2=10
21，P(X =2)=
C 52C 100
C 15
2=2
21，
∴X 的数学期望E(X)=0×3
7+1×10
21+2×2
21=2
3． ∴X 的方差为：D(X)=(0−2
3)2×3
7+(1−2
3)2×10
21 +(2−2
3)2×2
21=26
63．
解析：本题主要考查排列、组合的运算，频率分布，超几何分布，数学期望等知识，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识，属于中档题．
(1)利用频率之和为1，建立方程，可得图中x 的值；
(2)确定X 的取值，求出相应的概率，可得分布列，从而可求数学期望．
20.答案：解：(1)直线l 经过F 2与椭圆交于P ，Q 两点，当PF 1与y 轴的交点是线段PF 1的中点时， 可得直线l 垂直于x 轴，可令x =c ，可得y =±√1−c 2
a 2=±
b 2
a ，可得|PQ|=
2b 2a
=3，
又e =
c
a =√1−
b 2
a 2=1
2
，解得a =2，b =√3， 可得椭圆的方程为
x 24
+
y 23
=1；
(2)设直线l 的方程为x =my +1，联立椭圆方程3x 2+4y 2−12=0，可得(4+3m 2)y 2+6my −9=
0，
设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，
△=36m 2+36(4+3m 2)>0恒成立，y 1+y 2=−6m 4+3m 2，即有PQ 的中点的纵坐标为−3m
4+3m 2， 将中点纵坐标代入x =my +1中， 则PQ 的中点H(44+3m 2,−3m
4+3m 2)， 由|TP|=|TQ|，可得TH ⊥PQ ，即有3m 4+3m 2
t−
44+3m 2
=−m ，
可得t =1
4+3m 2∈(0,1
4).
解析：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查两直线垂直的条件，以及化简运算能力，属于中档题．
(1)由题意可得当PF 1与y 轴的交点是线段PF 1的中点时，可得直线l 垂直于x 轴，求得|PQ|，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，可得椭圆方程；
(2)设直线l 的方程为x =my +1，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得PQ 的中点坐标，由|TP|=|TQ|，可得TH ⊥PQ ，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合不等式的性质可得t 的范围．
21.答案：解：在同一平面直角坐标系中画出函数y =lnx ，y =−x +3的图象，如图所示，
由图可知函数y =lnx ，y =−x +3的图象只有一个交点，即函数f(x)=x −3+lnx 只有一个零点．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y =lnx ，
y =−x +3的图象，两个图象交点的个数就是函数f(x)=x −3+lnx 的零点的个数．
22.答案：
解：(1)直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα
y =sinα(α为参数)，
将C 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 1．
则：{x =α
y 2
=sinα
(α为参数)，
转换为直角坐标为：x 2+y 24
=1．
转换为极坐标方程为：ρ2cos 2θ+
ρ2sin 2θ
4
=1．
(2)不妨设M(ρ1,θ)、N(ρ2,θ+π
2)，
则：ρ12cos 2θ+ρ1
2sin 2θ4
=1，
ρ22
cos 2(θ
+π
2)+
ρ2
2sin 2(θ+θ
2
)4=1， 则：1
ρ1
2=cos 2θ+
sin 2θ4，1
ρ2
2
=sin 2θ+
cos 2θ4
，
则：1|OM|2+1|ON|2=1
ρ1
2+1
ρ2
2=sin 2θ+
cos 2θ4
+cos 2θ+
sin 2θ4
=5
4．
解析：(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用三角函数的关系式的变换和极径求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换．
23.答案：解：(Ⅰ)当x <−3时，不等式f(x)≤2可化为−x +4≤2，无解； 当−3≤x ≤1
2时，不等式f(x)≤2可化为−3x −2≤2，解得−4
3≤x ≤1
2； 当x >1
2时，不等f(x)≤2可化为x −4≤2，解得1
2<x ≤6； 综上，不等式f(x)≤2的解集为[−4
3,6]； (Ⅱ)由(Ⅰ)易得f(x)min =f(1
2)=−72． 当a =0时，f(x)≥−4显然成立，
当a >0时，不等式f(x)≥−ax 2+ax −4恒成立⇔不等式−ax 2+ax −4≤−7
2，恒成立． ⇒ax 2−ax +1
2≥0恒成立．∴Δ=a 2−2a ≤0，(a >0)．
∴0<a ≤2．
综上，实数a 的取值范围为[0,2]．
解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．
(Ⅰ)对x 分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可；
(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质，求得f(x)的最小值，即可得到a 的范围．。