高考数二轮复习精品资料专题04 三角函数和解三角形教案(生)

2013高考数学二轮复习精品资料专题04 三角函数和解三角形教
学案（学生版）
【2013考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出
2
π
α±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;
理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2
x+cos 2
x=1,
sin tan cos x
x x
=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-
2
π,
2
π
)内的单调性.
4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解
,,A ωϕ对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换 【知识网络构建】
【重点知识整合】
一、三角恒等变换与三角函数
1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:
(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；
(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()2
2
αβ
αβ
ααββ+-=+-=+
;
(5)公式变形:21cos 2cos 2αα+=
, 21cos 2sin 2
α
α-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;
(6)构造辅助角(以特殊角为主):
sin cos )(tan )b
a b a
αααϕϕ+=+=.
二、解三角形
1．正弦定理
已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R (R 为三
角形外接圆的半径)．
2．余弦定理
已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc
，另外两个同样． 3．面积公式
已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，则
(1)三角形的面积等于底乘以高的1
2
；
(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc
4R (其中R 为该三角形外接圆的半径)；
(3)若三角形内切圆的半径是r ，则三角形的面积S ＝1
2(a ＋b ＋c )r ；
(4)若p ＝
a ＋
b ＋c
2
，则三角形的面积S ＝p p －a p －b p －c .
【高频考点突破】
【变式探究】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝
( )
A ．－45
B ．－35 C.3
5
D.45
【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；
2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.
考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间：
y ＝sin x 的递增区间是[2k π－
π2，2k π＋π2](k ∈Z)，递减区间是[2k π＋π
2
，2k π＋3π
2
](k ∈Z)； y ＝cos x 的递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z)，
递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)；
y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2
)(k ∈Z)．
例2、已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32
. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π
2
时，求函数f (x )的值域．
【变式探究】已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π
6)|对x ∈R
恒成立，且f (π
2
)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是
( )
A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z) B．[k π，k π＋π
2](k ∈Z)
C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z) D．[k π－π
2
，k π](k ∈Z)
考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像： (1)“五点法”作图：
设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π
2
，2π，求出x 的值与相应的
y 的值，描点、连线可得．
(2)图像变换：
y ＝sin x
―――――――――→向左φ
或向右φ
平移|φ|个单位
y ＝sin(x ＋φ)
y ＝sin(ωx ＋φ)
――――――――――→
纵坐标变为原来的A A
倍
横坐标不变
y ＝A sin(ωx ＋φ)．
例3、已知函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2
)的一段图像经过点(0,1)，
如图所示．
(1)求f 1(x )的表达式；
(2)将函数f 1(x )的图像向右平移π
4个单位长度得到函数f 2(x )的图像，求y ＝f 1(x )＋f 2(x )
的最大值，并求出此时自变量x 的集合．
【变式探究】已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)，y ＝f (x )的部分图像如图，
则f (π
24)＝
( )
A ．2＋ 3 B. 3 C.
3
3
D ．2－ 3
考点四 三角变换及求值 三角函数求值有以下类型：
(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变 换求三角函数式的值；
(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的 其他三角函数式的值；
(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角． 例1、已知函数f (x )＝2sin(13x －π
6
)，x ∈R.
(1)求f (0)的值；
(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝6
5.
求sin(α＋β)的值．
【变式探究】已知：cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π
2，则α
＋β的值为________．
考点五 正、余弦定理的应用
【变式探究】△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5， 则△ABC 的面积为________．
考点 六 解三角形与实际应用问题
在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的
方位角等问题，都可通过解三角形解决．
例6、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达
D 点需要多长时间？
【难点探究】
难点一 简单的三角恒等变换
例1 、(1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos （π4＋α）＝13，cos （π4－β2）＝3
3，则cos （α
＋β
2
）＝( ) A.
33 B ．－33 C.539 D ．－69
(2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．
【点评】 在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把
π
2
＋2α变换成2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α
＝
(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·
α＋β2，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β等；在进行三角函
数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．
难点二 三角函数的图象
例2 (1)已知函数f (x )＝A tan(ωx +φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π24＝________.
(2)要得到函数y ＝cos （2x ＋π3）的图象，只需将函数y ＝12sin2x ＋3
2
cos2x 的图象( )
A ．向左平移π8个单位
B ．向右平移π
2个单位
C ．向右平移π3个单位
D ．向左平移π
4
个单位
难点三 三角函数的性质
例3已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，
且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z)
【规律方法】1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．
2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π12个单位时，得到的是函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π4＝
sin2x ＋5π
12
的图象．
3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．
难点四 正余弦定理的应用
例4 、(1)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝1
3，则a ＝________.
(2)在△ABC 中，sin 2
A ≤sin 2
B ＋sin 2
C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )
A ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π3，π
难点五 函数的图象的分析判断
例5 、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .
(1)求sin C
sin A
的值；
(2)若cos B ＝1
4，b ＝2，求△ABC 的面积S .
【点评】 本题的难点是变换
cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b
时，变换方向的选取，即是把角的函数
转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．
探究点六解三角形的实际应用
例6、如图6－1，渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？
A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向．
图6－2
【规律技巧】1．使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对
角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．
2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角．
3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系． 【历届高考真题】 【2012年高考试题】 一、选择题
1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则
tan()αβ+的值为
（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3
3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x π
ω=+在(,)2
π
π上单调递减.则ω的取值范围是（ ）
()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1
(0,]2
()D (0,2]
4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，
连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）
A B D
7.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=
(A) -1 (B) (D) 1
8.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1
tan θ
=4,则sin2θ= A ．15 B. 14 C. 13 D. 12
9.【2012高考真题湖南理6】函数f （x ）=sinx-cos(x+
6
π
)的值域为
A ．]
10.【2012高考真题上海理16】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，3
3
cos sin =
+αα，则cos2α=
(A) （B ）
二、填空题
14.【2012高考真题湖南理15】函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.
（1）若6
π
ϕ=
，点P 的坐标为（0，则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .
17.【2012高考真题安徽理15】设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____
①若2ab c >；则3
C π
<
②若2a b c +>；则3
C π
<
③若333a b c +=；则2
C π
<
④若()2a b c ab +<；则2
C π
>
⑤若2
2
2
22
()2a b c a b +<；则3
C π
>
18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC 的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.
19.【2012高考真题重庆理13】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
53cos =
A ，13
5cos =B ,3=b 则c =
20.【2012高考真题上海理4】若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

22.【2012高考江苏11】（5分）设α为锐角，若4
cos 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则)12
2sin(π+a 的值为 ▲ ．
24.【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）
已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1
(,1)2
ω∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 在区间3π
[0,]5
上的取值范围.
【2011年高考试题】 一、选择题:
1.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若
()()6
f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是
（A ）,()3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦
（C ）2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤++
∈⎢⎥⎣
⎦ （D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
4.(2011年高考浙江卷理科6)若02
π
α＜＜
，02π
β-
＜＜，1
cos()43
πα+=，
cos()42πβ-=
cos()2
β
α+=
（A （B ）（C （D ）
二、填空题:
1.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f （x ）=Atan （ωx+ϕ）（ω＞0，2
π
＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （
24
π
）=____________.
2.(2011年高考安徽卷理科14)已知ABC ∆ 的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4
的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________
6.(2011年高考安徽卷江苏7)已知,2)4
tan(=+π
x 则
x
x
2tan tan 的值为__________
4. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin
2
C （1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值
6. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）
已知函数
1
()2sin(),
36
f x x x R
π
=-∈
（1）求
5
()
4
f
π
的值；
（2）设
106
,0,,(3),(32),
22135
f f
ππ
αβαβπ
⎡⎤
∈+=+=
⎢⎥
⎣⎦求cos()
αβ
+的值.
7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为,,
a b c，已知.
1 1,2,cos
4 a b C
===
(Ⅰ) 求△ABC的周长；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
.
8．(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理
9.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分） 设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫
∈=-+-
⎪⎝⎭
满足()(0)3f f π-=，求函数
()f x 在11,424ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值
10. (2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分） 已知函数73()sin cos ,4
4f x x x x R ππ⎛
⎫⎛
⎫
=+
+-∈ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知()()44cos ,cos 55βαβα-=+=-，02
παβ<<≤，求证：[]2
()20f β-=.
13．(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分） 已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+
-。

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

【2010年高考试题】
（2010浙江理数）（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是
（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4
（2010辽宁理数）（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3
π
)+2的图像向右平移
3
4π
个单位后与原图像重合，则ω的最小值是
（A ）23 (B)43 (C)3
2
(D)3
（2010江西理数）17.（本小题满分12分）
已知函数
()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

(1) 当m=0时，求()f x 在区间384ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦，上的取值范围；
(2) 当tan 2a =时，
()35f a =，求m 的值。

（2010北京理数）已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。

（Ⅰ）求()3
f π
=的值； （Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值。

（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。

求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。