中考复习--圆中求线段长课件
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∴OC= 5，∴AB=10.∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90° .在Rt△ABE中， ∵sin∠EAB= ，∴BE=6.∴AE=8.
例1 解：连接OC交AE于点H，连接OE ，BE.
∴sin∠OCD= sin∠BAE= .在Rt△COD中， OD=3，
8
构造直角三角形解直角三角形直线型图形的问题
31
2
(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
分析：
H
27
∴AC是∠DAB的平分线.
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过 点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
证明：连接OC. ∵直线HC与⊙O相切于点C， ∴∠OCH=90°. ∵AD⊥DH， ∴∠ADH=90°. ∴∠OCH=∠ADH. ∴OC/AD.
如图，(2)若AB=10 ， 再探解法1： ∠1=∠2
连接EO∠EOC=∠BOC
，求AE的长.
例4
ED
H
33
矩形ONDCON=CD=4Rt△AON中 AO=5AN=3
例4 如图，(2)若AB=10，分析：
过点O作ON⊥AE于点N
，求AE的长.
解法2：
AE=2AN
AE
H
2
34
圆中求 转化成 线段长的问题
例1 反思：
解题关键:
9
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于 点D， E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO ， DE=2，求PE的长.分析： 已知 可知 OC=OE∠1=∠2 ∠2=∠3∠1=∠3OE//CD10
∴DF=4．∴sin∠2= ．在Rt△BOE中， sin∠BOE= sin∠2 = ，∴OB ．
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
在Rt△DBF中，BF=3，BD=5，
解法1：连接OE，过D作DF⊥AB于点F．
F 5
21
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．分析：
12
∴ED=2 ， ∴AE=AD-ED=6 .
例4 解法1：连接EC ，OC，BC.
.
H
3
6
5
31
直线型图形的问题
，求AE的长.AE=AD-ED
例4 如图，(2)若AB=10，解法1反思：
3H2
1
4
转化成圆中求线段长的问题
解直角三角形 相似三角形
6
5
32
312
EC=BC= CD=4 Rt△CDEED
若
C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
，求AE的长．
6
AB可求
Rt△ABE
Rt△COD
OC
OD
AE
分析：
7
∵C是 的中点 ，∴ .∴∠AOC=∠COE . ∵ OA=OE ， ∴OC⊥AE. ∵CD⊥AB ， ∴∠ADF=∠CHF=90° . ∵∠AFD=∠CFH， ∴∠OCD=∠EAB .
的中点，
例2 解：连接OE.
∵E是∴
15
1
直线型图形的问题两个三角形相似3
例2 反思：圆中求线段长的问题
转化成
1 2
16
例3 如图， AB是⊙O的一条弦， E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C， 过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．(1)求证： DB=DE；(2)若AB= 12 ，BD=5，求⊙O的半径．
3
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO，
DE=2，求PE的长.分析：
11
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于 点D， E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO ， DE=2，求PE的长.分析：
1
29
连接CE∠4+∠6=180° ∠B+∠6=180°∠4=∠B
分析：需知 未知AEAE= AD-ED =6
例4 如图，(2)若AB=10 ， ，求AE的长.
312
Rt△CDE ∽ Rt△ACB
6
ED=2
CD=4
8
5
H
30
∴AD=8 ，CD=4.∵四边形ABCE内接于⊙O， ∴∠B+∠6=180° . ∵∠4+∠6=180°，
∵∠1=∠2 ， ∴ . ∵AB是直径， ∴∠ACB=90° . 在Rt△ABC中， ∵AB=10 ， ∴AC= . ∴BC=在Rt△ADC中， ∵AC= ，
∴∠B=∠4. ∵∠ACB=∠CDE=90°， ∴△ACB∽△CDE.∴ .
圆中求线段长
1
《圆中求线段长》主要内容一、知识概要二、典型例题三、归纳小结
2
一、知识概要
3
求线段长
一个三角形
可解的直角三角形
相似三角形的性质
相似三角形的判定
两个三角形
相似三角形
已知一边一锐角
已知两边
4
二、典型例题
5
分析：联系已知 可知 需知 未知
例1如图， AB是⊙O的直径， AE是弦， C是 的中点，过点
再探 解法4：
AE=2OF
例4
H
4
37
分析：AE解法5：Rt△AEMAM=AC-CM
Rt△BCM△BCM∽△ACB
1
4
3
2
例4 如图，(2)若AB=10，
，求AE的长.
H
38
例4 如图，(2)若AB=10，分析：解法6： AE △ADC≌△AGCAE= AD-ED AD=AG
⊙O的半径
Rt△BOE
Rt△DBF
∽
22
∴OE⊥AB． ∴∠OEB=∠BFD=90°． ∵∠5+∠2=90°，∠BOE+∠5=90° ， ∴∠2=∠BOE．∴△BOE∽△ DBF．∴ ．∴BO ．
∵E是 AB的中点，AB= 12，∴AE=BE=6．∵DB=DE ， ∴BF= =3 ． 在Rt△BFD中，BF=3，BD=5 ， ∴DF=4． ∵OA=OB，E是AB的中点，
∴∠1=∠3. ∵OA=OC， ∴∠2=∠3 . ∴∠1=∠2.
3H
1 2
28
分析：AEAE= AD-ED√
例4 如图，(2)若AB=10 ， ，求AE的长.
Rt△ADCAD=8 CD=4
3H2
需知 未知
解直角三角形
Rt△ADC ∽
Rt△ABC
连接BC
Rt△ACB
··
50
G
51
52
作业：3. 请同学们通过今天的学习，结合已有的解题经验，总结 圆中求线段长问题的解题方法.
53
3
12
HED=BG
，求AE的长.
△CDE≌△CGB
= AG-BG
39
转化成圆中求线段长的问题 直线型图形的问题
3H2
1
例4 反思：
解题关键：
6
5
40
312
3H12
AE=AD-ED线段和差
AE=2AN AE=2OF
例4 反思：
三角形 中位线
中点
∠1 = ∠2
3 4 5
DB=DE
∠∠
1
18
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．分D=5Rt△DBFDF=419
AB=12AE=BE=6
F 5
2
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．分析： 需知 未知
Rt△DBF BD=5 DF=4sin∠2
· 2
F 5
BE=6sin∠BOE
Rt△BOE
⊙O的半径
20
∵E是AB的中点，AB=12，∴AE=BE=6．∵DB=DE ，DF⊥AB ∴BF= =3 ． ∵ E是AB的中点，∴OE⊥AB． ∴∠BOE+∠5=90°． ∵∠5+∠2=90° ， ∴∠2=∠BOE．
17
例3 如图， AB是⊙O的一条弦， E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C， 过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
未知2
(1)求证： DB=DE；分析：已知 可知 需知
∠4 =∠2 ∠ 4 + ∠ 2 +
∠4 =∠13 =90°5 =90°
3 2
12
1
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于 点D， E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO ， DE=2，求PE的长.分析：
13
1
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO，
三、归纳小结
46
已知 可知 联系 需知 未知转化
圆 直线型图形
一个三角形
可解的直角三角形
相似三角形
两个三角形
求线段长
转化成
47
建联系 (辅助线)解问题48
察所求 (未知)
观图形 (已知)
作业：1. 例4第(2)问的多种解法，完成至少两种方法的解答.
49
作业：2. 如图，在△ABC中， AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交 AC ，BC于点D ，E，点F在AC的延长线上，若AB=5 ， ，求BF的长．
25
3H
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
分析： 已知
可知
1 2
26
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过 点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.
1
AE连接BE Rt△ABE
矩形CDEF
EF=CD=4 OC⊥BEAB=10 BE=2EF=8
3
例4 如图，(2)若AB=10 ， ，求AE的长.
分析：解法3：
44
1
2
H
35
125
点F是BE的中点，而点O是AB的中点AE=2OF
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径． 解法2：连接OE，过D作DF⊥AB于点F．
23
求线 段长
两个三角形 相似
可解的
一个三角形 直角三角形
例3 反思：
三角形
24
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过 点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.(1)求证： AC是∠DAB的平分线；(2)若AB =10 ， ，求AE的长.H
2
4
8
H
H
4
41
例4 反思：H1
3
2
34
1
2
方程思想
Rt△AEM
Rt△ABE
H
42
例4 反思：
H
43
直径所对的圆周角是直角
例4 反思：
切线长定理
切线的性质
垂径定理
44
例4 反思：知识要素： 圆的有关性质解直角三角形相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质
45
DE=2，求PE的长.
△POE∽△PCD
分析：
14
1
∴∵PB=BO ，DE=2， ∴PB=BO=OC.
∴ .∴ .∴PE=4.
∴∠1=∠2. ∵OC=OE ， ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴OE/CD. ∴△POE∽△PCD..
在Rt△OFB和Rt△CFB中， 根据勾股定理，
例4 如图，(2)若AB=10，
，求AE的长.
解法4：
分析：
H
36
312
如图，(2)若AB=10 ， ，求AE的长.分析：
OC⊥BEOF=OC-CF∠1=∠2 =∠4
△BFC∽△ACBRt△BFC
点F是BE的中点，而点O是AB的中点
例1 解：连接OC交AE于点H，连接OE ，BE.
∴sin∠OCD= sin∠BAE= .在Rt△COD中， OD=3，
8
构造直角三角形解直角三角形直线型图形的问题
31
2
(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
分析：
H
27
∴AC是∠DAB的平分线.
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过 点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
证明：连接OC. ∵直线HC与⊙O相切于点C， ∴∠OCH=90°. ∵AD⊥DH， ∴∠ADH=90°. ∴∠OCH=∠ADH. ∴OC/AD.
如图，(2)若AB=10 ， 再探解法1： ∠1=∠2
连接EO∠EOC=∠BOC
，求AE的长.
例4
ED
H
33
矩形ONDCON=CD=4Rt△AON中 AO=5AN=3
例4 如图，(2)若AB=10，分析：
过点O作ON⊥AE于点N
，求AE的长.
解法2：
AE=2AN
AE
H
2
34
圆中求 转化成 线段长的问题
例1 反思：
解题关键:
9
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于 点D， E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO ， DE=2，求PE的长.分析： 已知 可知 OC=OE∠1=∠2 ∠2=∠3∠1=∠3OE//CD10
∴DF=4．∴sin∠2= ．在Rt△BOE中， sin∠BOE= sin∠2 = ，∴OB ．
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
在Rt△DBF中，BF=3，BD=5，
解法1：连接OE，过D作DF⊥AB于点F．
F 5
21
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．分析：
12
∴ED=2 ， ∴AE=AD-ED=6 .
例4 解法1：连接EC ，OC，BC.
.
H
3
6
5
31
直线型图形的问题
，求AE的长.AE=AD-ED
例4 如图，(2)若AB=10，解法1反思：
3H2
1
4
转化成圆中求线段长的问题
解直角三角形 相似三角形
6
5
32
312
EC=BC= CD=4 Rt△CDEED
若
C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．
，求AE的长．
6
AB可求
Rt△ABE
Rt△COD
OC
OD
AE
分析：
7
∵C是 的中点 ，∴ .∴∠AOC=∠COE . ∵ OA=OE ， ∴OC⊥AE. ∵CD⊥AB ， ∴∠ADF=∠CHF=90° . ∵∠AFD=∠CFH， ∴∠OCD=∠EAB .
的中点，
例2 解：连接OE.
∵E是∴
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1
直线型图形的问题两个三角形相似3
例2 反思：圆中求线段长的问题
转化成
1 2
16
例3 如图， AB是⊙O的一条弦， E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C， 过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．(1)求证： DB=DE；(2)若AB= 12 ，BD=5，求⊙O的半径．
3
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO，
DE=2，求PE的长.分析：
11
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于 点D， E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO ， DE=2，求PE的长.分析：
1
29
连接CE∠4+∠6=180° ∠B+∠6=180°∠4=∠B
分析：需知 未知AEAE= AD-ED =6
例4 如图，(2)若AB=10 ， ，求AE的长.
312
Rt△CDE ∽ Rt△ACB
6
ED=2
CD=4
8
5
H
30
∴AD=8 ，CD=4.∵四边形ABCE内接于⊙O， ∴∠B+∠6=180° . ∵∠4+∠6=180°，
∵∠1=∠2 ， ∴ . ∵AB是直径， ∴∠ACB=90° . 在Rt△ABC中， ∵AB=10 ， ∴AC= . ∴BC=在Rt△ADC中， ∵AC= ，
∴∠B=∠4. ∵∠ACB=∠CDE=90°， ∴△ACB∽△CDE.∴ .
圆中求线段长
1
《圆中求线段长》主要内容一、知识概要二、典型例题三、归纳小结
2
一、知识概要
3
求线段长
一个三角形
可解的直角三角形
相似三角形的性质
相似三角形的判定
两个三角形
相似三角形
已知一边一锐角
已知两边
4
二、典型例题
5
分析：联系已知 可知 需知 未知
例1如图， AB是⊙O的直径， AE是弦， C是 的中点，过点
再探 解法4：
AE=2OF
例4
H
4
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分析：AE解法5：Rt△AEMAM=AC-CM
Rt△BCM△BCM∽△ACB
1
4
3
2
例4 如图，(2)若AB=10，
，求AE的长.
H
38
例4 如图，(2)若AB=10，分析：解法6： AE △ADC≌△AGCAE= AD-ED AD=AG
⊙O的半径
Rt△BOE
Rt△DBF
∽
22
∴OE⊥AB． ∴∠OEB=∠BFD=90°． ∵∠5+∠2=90°，∠BOE+∠5=90° ， ∴∠2=∠BOE．∴△BOE∽△ DBF．∴ ．∴BO ．
∵E是 AB的中点，AB= 12，∴AE=BE=6．∵DB=DE ， ∴BF= =3 ． 在Rt△BFD中，BF=3，BD=5 ， ∴DF=4． ∵OA=OB，E是AB的中点，
∴∠1=∠3. ∵OA=OC， ∴∠2=∠3 . ∴∠1=∠2.
3H
1 2
28
分析：AEAE= AD-ED√
例4 如图，(2)若AB=10 ， ，求AE的长.
Rt△ADCAD=8 CD=4
3H2
需知 未知
解直角三角形
Rt△ADC ∽
Rt△ABC
连接BC
Rt△ACB
··
50
G
51
52
作业：3. 请同学们通过今天的学习，结合已有的解题经验，总结 圆中求线段长问题的解题方法.
53
3
12
HED=BG
，求AE的长.
△CDE≌△CGB
= AG-BG
39
转化成圆中求线段长的问题 直线型图形的问题
3H2
1
例4 反思：
解题关键：
6
5
40
312
3H12
AE=AD-ED线段和差
AE=2AN AE=2OF
例4 反思：
三角形 中位线
中点
∠1 = ∠2
3 4 5
DB=DE
∠∠
1
18
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．分D=5Rt△DBFDF=419
AB=12AE=BE=6
F 5
2
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．分析： 需知 未知
Rt△DBF BD=5 DF=4sin∠2
· 2
F 5
BE=6sin∠BOE
Rt△BOE
⊙O的半径
20
∵E是AB的中点，AB=12，∴AE=BE=6．∵DB=DE ，DF⊥AB ∴BF= =3 ． ∵ E是AB的中点，∴OE⊥AB． ∴∠BOE+∠5=90°． ∵∠5+∠2=90° ， ∴∠2=∠BOE．
17
例3 如图， AB是⊙O的一条弦， E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C， 过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
未知2
(1)求证： DB=DE；分析：已知 可知 需知
∠4 =∠2 ∠ 4 + ∠ 2 +
∠4 =∠13 =90°5 =90°
3 2
12
1
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于 点D， E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO ， DE=2，求PE的长.分析：
13
1
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO，
三、归纳小结
46
已知 可知 联系 需知 未知转化
圆 直线型图形
一个三角形
可解的直角三角形
相似三角形
两个三角形
求线段长
转化成
47
建联系 (辅助线)解问题48
察所求 (未知)
观图形 (已知)
作业：1. 例4第(2)问的多种解法，完成至少两种方法的解答.
49
作业：2. 如图，在△ABC中， AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交 AC ，BC于点D ，E，点F在AC的延长线上，若AB=5 ， ，求BF的长．
25
3H
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
分析： 已知
可知
1 2
26
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过 点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.
1
AE连接BE Rt△ABE
矩形CDEF
EF=CD=4 OC⊥BEAB=10 BE=2EF=8
3
例4 如图，(2)若AB=10 ， ，求AE的长.
分析：解法3：
44
1
2
H
35
125
点F是BE的中点，而点O是AB的中点AE=2OF
例3 (2)如图， E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求⊙O的半径． 解法2：连接OE，过D作DF⊥AB于点F．
23
求线 段长
两个三角形 相似
可解的
一个三角形 直角三角形
例3 反思：
三角形
24
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过 点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.(1)求证： AC是∠DAB的平分线；(2)若AB =10 ， ，求AE的长.H
2
4
8
H
H
4
41
例4 反思：H1
3
2
34
1
2
方程思想
Rt△AEM
Rt△ABE
H
42
例4 反思：
H
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直径所对的圆周角是直角
例4 反思：
切线长定理
切线的性质
垂径定理
44
例4 反思：知识要素： 圆的有关性质解直角三角形相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质
45
DE=2，求PE的长.
△POE∽△PCD
分析：
14
1
∴∵PB=BO ，DE=2， ∴PB=BO=OC.
∴ .∴ .∴PE=4.
∴∠1=∠2. ∵OC=OE ， ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴OE/CD. ∴△POE∽△PCD..
在Rt△OFB和Rt△CFB中， 根据勾股定理，
例4 如图，(2)若AB=10，
，求AE的长.
解法4：
分析：
H
36
312
如图，(2)若AB=10 ， ，求AE的长.分析：
OC⊥BEOF=OC-CF∠1=∠2 =∠4
△BFC∽△ACBRt△BFC
点F是BE的中点，而点O是AB的中点