2022-2023学年河南省南阳市内乡县八年级(下)期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年河南省南阳市内乡县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 分式1
2a 2b 与16ab 2c 的最简公分母是( )
A. abc
B. a 2b 2c
C. 6a 2b 2c
D. 12a 2b 2c
2. 已知点A (3,a )与B (b ,4)关于x 轴成轴对称，则a +b 的值为( )A. −1
B. 1
C. 7
D. −7
3. 成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为
( )
A. 46×10−7
B. 4.6×10−7
C. 4.6×10−6
D. 0.46×10−5
4.
如图，在▱ABCD 中，∠C =70°，DE ⊥AB 于点E ，则∠ADE
的度数为( )
A. 30°
B. 25°
C. 20°
D. 15°
5. 解分式方程1x−1−2=3
1−x ，去分母得( )
A. 1−2(x−1)=−3
B. 1−2(x−1)=3
C. 1−2x−2=−3
D. 1−2x +2=3
6. 若点A (−1,y 1)，B (2,y 2)，C (3,y 3)在反比例函数y =−6
x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关
系是( )
A. y 1>y 2>y 3
B. y 2>y 3>y 1
C. y 1>y 3>
y 2
D. y 3>y 2>y 1
7.
如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，若
AB =4，AC =6，则BD 的长是( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
8.
一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+3的图象交于
如图，
则关于不等式x+b>kx+3的解集是( )
点P(1,2)，
A. x>0
B. x>1
C. x<1
D. x<0
9. 在一个长2分米、宽1分米、高8分米的长方体容器中，水面高5分米．把一个实心铁块缓慢浸入这个容器的水中，能够表示铁块浸入水中的体积y(单位：分米 3)与水面上升高度x(单位：分米)之间关系的图象的是( )
A. B. C. D.
10. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位ℎ(cm)是时间t(min)的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个ℎ的值记录错误，错误的ℎ的值为( )
t(m i n)…1235…ℎ(c m)… 2.4 2.8 3.44…
A. 2.4
B. 2.8
C. 3.4
D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若分式|x|−5
2x+10
的值为零，则x的值为______ ．
12. 若关于x的分式方程1−ax
x−2+3=1
2−x
有正整数解，则整数a=______ ．
13. 已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小.则这个函数的表达式可以是
.(写出一个符合题意的答案即可)
14.
如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P(x,y)与
点A(2,2)在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x
轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于______．
15. 如图，正方形ABCD在第一象限内，点A、B坐标分别为(1,1)，(3,1)，若直线y=2x+b 把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
16. 已知：一次函数图象如图：
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△O A P=2，求点P的坐标．
四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)计算：327−(1
3
)0+2−1；
(2)化简：x2−1
x ÷(1−1
x
).
18. (本小题10.0分)解下列方程：
(1)1
x−2=2
x
；
(2)3x
x−3=1+9
x−3
．
19. (本小题9.0分)
2022年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生.某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元；其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍.求A，B两种饰品的单价；
20. (本小题9.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．
(1)求证：BC=CF；
(2)若∠1=5∠2，求∠C的度数．
21. (本小题9.0分)
如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象．
(1)填空：A，B两地相距______米；
(2)求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
(3)客、货两车何时相遇？
22. (本小题9.0分)
(k≠0)的图象交于A，B两点，且如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与函数y=k
x
点A的坐标为(1,a)．
(1)求a和k的值；
(k≠0)的(2)已知点P(m,0)，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=x+2于点C，交函数y=k
x
图象于点D．
①当m=2时，求线段CD的长；
②若PC<PD，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
23. (本小题10.0分)
某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
(1)求这两种品牌计算器的单价；
(2)学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
答案和解析1.【答案】C
【解析】解：在分式1
2a2b 与1
6ab2c
中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最
简公分母为：6a2b2c，
故选：C．
取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
本题考查最简公分母，需要掌握最简公分母的定义．
2.【答案】A
【解析】解：∵点A(3,a)与B(b,4)关于x轴成轴对称，
∴a=−4，b=3，
∴a+b=3+(−4)=−1．
故选：A．
直接利用关于x轴对称的点的坐标特点得出a，b的值，即可得出答案．
本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标相同，纵坐标互为相反数，正确得出对应点横纵坐标的关系是解题关键．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，表示形式为a×10−n(1≤|a|<10,n为正整数)，关键是掌握n等于原数第一个非零数字前所有零的个数，包括小数点前面的这个零．根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法进行解答即可．
【解答】
解：0.0000046=4.6×10−6．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C =∠A =70°，∵DE ⊥AB ，∴∠AED =90°，
∴∠ADE =90°−∠A =90°−70°=20°，故选：C ．
由平行四边形的性质得出∠C =∠A =70°，由直角三角形的性质可求出答案．
此题主要考查了是平行四边形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
5.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了解分式方程的去分母步骤．
分式方程变形后，两边乘以最简公分母(x−1)得到结果，即可作出判断．【解答】
解：分式方程整理得：
1x−1−2=−3x−1
，去分母得：1−2(x−1)=−3，故选A ．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值，比较后即可得出结论．【解答】
解：∵点A (−1,y 1)、B (2,y 2)、C (3,y 3)在反比例函数y =−6
x
的图象上，∴y 1=−
6−1=6，y 2=−6
2
=−3，y 3=−63=−2，
又∵6>−2>−3，
∴y1>y3>y2.
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴AO=3，∠OAB=90°
∴BO=32+42=5，
∴BD=2BO=10，
故选：C．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
8.【答案】B
【解析】解：当x>1时，x+b>kx+3，
即不等式x+b>kx+3的解集为x>1．
故选：B．
观察函数图象得到当x>1时，函数y1=x+b的图象都在y2=kx+3的图象上方，所以关于x的不等式x+b>kx+3的解集为x>1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】A
【解析】解：把一个实心铁块缓慢浸入这个容器的水中，铁块浸入水中的体积(y)随水面上升高度(x)增大而增大，即y是x的正比例函数．
自变量x的取值范围是0≤x≤3．
故选：A．
依题意，铁块浸入水中的体积(y)随水面上升高度(x)增大而增大，则两者之间是正比例函数．
本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
10.【答案】C
【解析】解：设过点(1,2.4)和点(2,2.8)的函数解析式为y=kx+b，
则{k+b=2.4
2k+b=2.8，
解得{k=0.4
b=2，
即y=0.4x+2，
当x=3时，y=0.4×3+2=3.2，
当x=5时，y=0.4×5+2=4，
由上可得，点(3,3.4)不在该函数图象上，与题目中有一个ℎ的值记录错误相符合，
故选：C．
不妨设过点(1,2.4)和点(2,2.8)的函数解析式为y=kx+b，然后求出函数解析式，再将x=3和x= 5代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
11.【答案】5
【解析】解：由意义得，|x|−5=0且2x+10≠0，
解得x=5，
故答案为：5．
分式的分子为零且分母不为零时分式的值为零，据此解答．
此题考查了分式值为零的条件：分子为零，且分母不为零，熟记值为零的特点是解题的关键．
12.【答案】−1或2
【解析】解：分式方程去分母得1−ax+3(x−2)=−1，
整理得(3−a)x=4，
，
解得x=4
3−a
∵分式方程有正整数解，且x−2≠0，
∴整数a=−1或2．
故答案为：−1或2．
解分式方程，可得出x =43−a
，结合分式方程有正整数解，且x−2≠0，可得出整数a =−1或2．本题考查了分式方程的解，牢记“求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解”是解题的关键．
13.【答案】y =1x (x >0)，答案不唯一
【解析】解：只要使反比例系数大于0即可．如y =1x (x >0)，答案不唯一．
故答案为：y =1x (x >0)，答案不唯一．
反比例函数的图象在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小，则反比例函数的反比例系数k >0；反之，只要k >0，则反比例函数在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小．
本题主要考查了反比例函数y =k x (k ≠0)的性质：①k >0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；②k <0时，函数图象在第二，四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大．14.【答案】4
【解析】
【分析】
此题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数的图象和性质，矩形的性质的有关知识，关键是根据点A 的坐标可得出k 的值．根据点A 的坐标可得出k 的值，进而得出矩形ODPC 的面积．
【解答】
解：设点A (2,2)在反比例函数y =k x 的图象上，可得：2=k 2
，
解得：k =4，
因为第一象限内的点P (x ,y )与点A (2,2)在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形ODPC 的面积等于4，
故答案为4． 15.【答案】−2
【解析】解：连接AC，BD交于点K．
∵A(1,1)，B(3,1)，
∴AB=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴C(3,3)，
∵AK=KC，
∴K(2,2)，
当直线y=2x+b经过点K时，
2=4+b，
∴b=−2，
故答案为：−2．
连接AC，BD交于点K.求出点K的坐标，再利用待定系数法求出b的值．
本题考查中心对称，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是求出点K的坐标，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b，
把(−2,3)、(2,−1)分别代入得{−2k+b=3
2k+b=−1，解得{k=−1 b=1，
所以一次函数解析式为y=−x+1；
(2)当y=0时，−x+1=0，解得x=1，则A(1,0)，设P(t,−t+1)，
因为S△O A P=2，
所以1
2
×1×|−t+1|=2，解得t=−3或t=5，
所以P点坐标为(−3,4)或(5,−4)．
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A点坐标，设P(t,−t+1)，根据三角形面积公式得
到1
2
×1×|−t+1|=2，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
17.【答案】解：(1)原式=3−1+1
2
=5
2
；
(2)原式=(x+1)(x−1)
x ÷x−1
x
=(x+1)(x−1)
x ⋅x x−1
=x+1．
【解析】(1)先算立方根、零指数幂、负整数指数幂，再算加减；
(2)先通分，把除化为乘，再分解因式约分．
本题考查实数运算和分式化简，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的相关法则．
18.【答案】解：(1)去分母得：x=2x−4，
解得：x=4，
检验：把x=4代入得：x(x−2)≠0，
∴分式方程的解为x=4；
(2)去分母得：3x=x−3+9，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：x−3=0，
∴x=3是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：设B种饰品的单价为x元，则A种饰品的单价为(x+25)元，
根据题意得1700−800
x =3⋅800
x+25
，
解得x=15，
经检验，x=15是原分式方程的根，15+25=40(元)，
答：A种饰品的单价为40元，B种饰品的单价为15元．
【解析】解设B种饰品的单价为x元，则A种饰品的单价为(x+25)元，然后根据预算资金为1700元；其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍列出方程求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠2=∠F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=∠CBF，
∴∠F=∠CBF，
∴BC=CF；
(2)解：∵BE平分∠ABC，
∴∠2=∠CBF
∵AD//BC，
∴∠CBF=∠DEF=∠2，
∵∠1+∠2=180°，∠1=5∠2，
∴6∠2=180°，
∴∠2=30°，
∴∠ABC=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠C+∠ABC=180°，
∴∠C=180°−∠ABC=180°−60°=120°．
【解析】(1)由平行四边形的性质得CD//AB，则∠2=∠F，再由角平分线定义得∠2=∠CBF，则∠F=∠CBF，即可得出结论；
(2)证∠CBF=∠DEF=∠2，再由∠1+∠2=180°，∠1=5∠2，得6∠2=180°，则∠2=30°，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
21.【答案】解：(1)420千；
(2)由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时，
货车到达A地一共需要2+360÷30=14小时，
设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式y2=kx+b，
∴{2k+b=0
14k+b=360，得{k=30 b=−60，
即两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式y2=30x−60；
(3)设客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式是y1=mx+n，
{6m+n=0 n=360，得{m=−60 n=360，
∴y1=−60x+360，
由y1=y2，得
30x−60=−60x+360，
解得x=14
3
，
答：客、货两车经过14
3
小时相遇．
【解析】
解：(1)由图象可得，
A，B两地相距：360+60=420(千米)，故答案为：420千；
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)根据函数图象和题意可以直接得到A 、B 两地的距离；
(2)根据题意和函数图象中的数据可以求得两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式；
(3)根据函数图象可以求得客车离C 站的路程y 1与行驶时间x 之间的函数关系式，然后令y 1=y 2，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用函数的思想和数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)∵A (1,a )在直线y =x +2的图象上，
∴a =1+2=3，
∴点A 的坐标为(1,3)，
∵A (1,3)在函数y =k x
(k ≠0)的图象上，
∴k =1×3=3；
(2)①将x =2代入y =x +2，得：y =4，
∴点C 坐标为(2∖user 2,4)，
将x =2代入y =3x ，得：y =32，
∴点D 坐标为(2,32)，
∴CD =4−32=52；
②如图，
∵直线y =x +2与反比例函数y =3x
的图象交于A ，B 两点，
∴点A坐标为(1∖user2,3)，点B坐标为(−3,−1)，
∴由图象可知，当0<m<1或−3<m<0时，PC<PD．
【解析】(1)先把点A坐标代入一次函数解析式求出a的值进而求出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
(2)①将点P坐标分别代入直线解析式和反比例函数解析式，可求出点C，点D的坐标，即可求出CD 的长；②根据图象法即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：(1)设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得，{2a+3b=156
3a+b=122，解得：{a=30 b=32，
答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；
(2)A品牌：y1=30x⋅0.8=24x；
B品牌：①当0≤x≤5时，y2=32x，
②当x>5时，y2=5×32+32×(x−5)×0.7=22.4x+48，
综上所述：
y1=24x，
y2={32x,(0≤x≤5)
22.4x+48,(x>5)；
(3)当y1=y2时，24x=22.4x+48，解得x=30，即购买30个计算器时，两种品牌都一样；
当y1>y2时，24x>22.4x+48，解得x>30，即购买超过30个计算器时，B品牌更合算；
当y1<y2时，24x<22.4x+48，解得x<30，即购买不足30个计算器时，A品牌更合算．
【解析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，(1)读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，(2)B品牌计算器难点在于要分情况讨论，(3)先求出购买计算器相同时的个数是解题的关键．
(1)设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；
(2)A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；
(3)先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解．。