2023-2024学年天水市高一数学(下)第二次月考试卷附答案解析

2023-2024学年天水市高一数学（下）第二次月考试卷
（满分：150分时间：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数21i z =-，则z 的虚部是（）
A ．1-
B ．1
C ．i -
D ．i
2．已知a 、b 表示两条不同的直线，α表示平面，则下面四个命题正确的是（）
①若//a b ，b α⊂，则//a α；②若a b ⊥，a α⊥，则//b α；
③若//a b ，a α⊥，则b α⊥；④若a α⊥，//b α，则a b ⊥．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
3．若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（）
A ．40π
B ．36π
C ．26π
D ．20π
4．如图正方体或正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图所示，一个水平放置的四边形OABC 的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O A B C ''''，则原四边形OABC 的面积是（）
A ．
B ．
C ．16
D ．8
6．已知1a b == ，a b += ，则a 在b 上的投影向量为（）
A B ．12a C D ．12b 7．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则1AB 与平面11AA C C 所成角的余弦值为（）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
8．已知O ，A ，B ，C 是平面上的4个定点，A ，B ，C 不共线，若点P 满足()OP =OA+AB +AC λ ，
其中R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）
A ．重心
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（）
A ．棱柱的侧面都是平行四边形
B ．长方体是正四棱柱
C ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D ．圆柱的所有母线长都相等
10．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2cos a b B =，且b c ≠，则（）
A ．2A
B =B ．角B 的取值范围是π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．cos A 的取值范围是⎛ ⎝⎭
D ．a b 的取值范围是11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点
E 在线段11A C 上，,
F M 分别是,AD CD 的中点，则下列结论中正确的是（）
A ．11
//FM AC B ．当E 为11A C 中点时，BE FM ⊥
C ．三棱锥B CEF -的体积为定值
D ．直线B
E 到平面1ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为A 处向正北航行到D
处时，再看灯塔B 在北偏东120︒，则A 与D 间的距离为海里．
13．如图，长方体1111ABCD A B C D -的棱AB 和11A D 的中点分别为E ，F ，6AB =，8AD =，17AA =，则异面直线EF 与1AA 所成角的正切值为.
14．已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+
，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知平面向量(2,4)a = ，(6,)b x = ，(4,)c y = ，且a b ∥ ，a c ⊥ ．
(1)求b 和c ；
(2)若2m a b =- ，n a c =+ ，求向量m 和向量n 的夹角的大小．
16．已知4
sin 5α=-，π,02α⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭.
(1)求πcos 3α⎛⎫
+ ⎪⎝⎭的值；
(2)若()2
sin 10αβ+=-，π0,2β⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，求β的值.
17．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，点E 是棱PA 的中点，PA ⊥平面ABCD ．
(1)求证：PC ∥平面BDE ；
(2)求证：平面PAC ⊥平面BDE ；
18．已知长方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为1CC 和1BB 的中点，11
22===AA AB BC ．
(1)求三棱锥11C A FA -体积；
(2)求证：平面1//AC F 平面BDE ．
19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底
面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 的中点，2PA PD ==，112
BC AD ==，CD =
(1)求证：PQ AB ⊥；
(2)求二面角P QB M --的余弦值．
1．B
【分析】利用除法运算求出z ，根据复数的概念可得结果.【详解】因为21i z =-2(1i)1i (1i)(1i)
+==++-，所以z 的虚部是1.故选：B
2．D
【分析】借助长方体模型考察直线是否可在平面内，可判断①②；在平面α内取两条相交直线m ，n ，根据线面垂直判定定理可判断③；利用线面平行的性质定理和异面直线夹角定义可判断④.
【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD 为平面α，直线BC 为直线b ，如图，
当直线AD 为直线a 时，满足//a b ，b α⊂，而a α⊂，①不正确；
当直线1AA 为直线a 时，满足a b ⊥，a α⊥，而b α⊂，②不正确；
在平面α内取两条相交直线m ，n ，如图，因a α⊥，则,a m a n ⊥⊥，
而//a b ，则,b m b n ⊥⊥，又,m n α⊂，m ，n 是相交直线，∴b α⊥，③正确；
因//b α，过直线b 作平面c βα⋂=，如图，
则有//b c ，又a α⊥，c α⊂，于是得a c ⊥，从而得a b ⊥，④正确，
∴给定命题正确的是③④.
故选：D.
3．B
【分析】根据圆锥的高和底面半径求出母线长，分别求出圆锥侧面积和底面积，加和得到结果.
5
=∴圆锥侧面积为：4520ππ⨯⨯=；底面积为：2416ππ
⨯=∴圆锥表面积为：201636πππ
+=本题正确选项：B
【点睛】本题考查圆锥表面积的求解，关键是熟练掌握圆锥侧面积公式，属于基础题.
4．D
【分析】利用异面直线的判定方法可得正确的选项.
【详解】对于选项A ，分别连接,PR QS ，因为,P R 分别为,EM EN 的中点，所以//PR MN ，又//QS MN ，所以//PR QS ，所以,,,P S R Q 四点共面，A 错误；
对于选项B ，如图过,,,P S R Q 可作一个正六边形，故,,,P Q R S 四点共面，B 错误；
对于选项C ，分别连接,PQ RS ，因为,P R 分别为,CA CB 的中点，所以//PR AB ，又因为,Q S 分别为,DA DB 的中点，所以//QS AB ，
//PR QS ，所以,,,P S R Q 四点共面，C 错误；
对于选项D ，因为RS ⊂平面ABD ，PQ ⋂平面ABD Q =，Q RS ∉，
所以PQ 与RS 为异面直线，所以,,,P S R Q 四点不共面，D 正确；
故选：D ．
5．B
【分析】根据斜二测画法规则求出,AO BO ，判断OABC 的形状，确定OA OB ⊥，由此求出原四边形OABC 的面积.
【详解】在正方形O A B C ''''中可得22B O O '''='=由斜二测画法可知22BO B O '='=，2AO A O ''==，
且OA OB ⊥，//,//OA BC AB CO ，
所以四边形OABC 为平行四边形，所以42282OABC S BO AO =⋅==．
故选：B.
6．D 【分析】首先根据向量数量积公式，求a b ⋅ ，再代入投影向量公式，即可求解.
【详解】()
22223a b a b a b +=++⋅= ，由1a b == ，得12
a b ⋅= ，所以向量a 在b 上的投影向量为212a b b b b
⋅⋅= .故选：D
7．A
【分析】利用线面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得1B AD Ð为1AB 与平面11AA C C 所成角，再利用勾股定理即可得解.
【详解】取11A C 中点D ，连接1,B D AD ，如图，
在正三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △是正三角形，111B D A C ∴⊥，
1CC ⊥ 底面1111,A B C B D ⊂底面111A B C ，11CC B D ∴⊥，
又1111111,,CC A C C CC A C ⋂=⊂平面11AA C C ，1B D ∴⊥平面11AA C C ，
1B AD ∴∠为1AB 与平面11AA C C 所成角，
1B D ⊥ 平面11,AA C C AD ⊂平面11AA C C ，1B D AD ∴⊥，
由题意，1AD AB ===，
在1Rt B AD △
中，11cos AD B AD AB ∠===故选：A.
8．A 【分析】取线段BC 的中点E ，则AB+AC =2AE ，依题可得//AP AE ，即可得答案.【详解】取线段BC 的中点E ，则AB+AC =2AE .
动点P 满足：()OP =OA+AB +AC λ ，R λ∈，
则2OP OA=AE λ- ，即2AP AE λ= ，所以//AP AE ，
又AP AE A = ，所以,,A E P 三点共线，即点P 的轨迹是直线AE ，
一定通过ABC 的重心.
故选：
A.
9．AD
【分析】根据棱柱、正棱柱、正棱锥和圆柱的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由棱柱定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，所以A 正确；
当长方体底面的长宽高互不相等时，该长方体不是正四棱柱，所以B 错误；
底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以C 错误；根据圆柱的定义，可得圆柱的所有母线长都相等，所以D 正确.
故选：AD.
10．AD
【分析】由正弦定理统一为角可判断A ，由锐角三角形确定角的取值范围，由正弦定理化为三角函数求取值范围判断BD ，由2A B =确定A 的取值范围即可判断C.
【详解】因为2cos a b B =，所以sin 2sin cos sin 2A B B B ==，
π02A << ，π02
B <<，则02πB <<，所以2A B =或2πA B +=．因为b c ≠，所以B
C ≠，所以2πA B A B C +≠++=，则2A B =，故A 正确；
因为πA B C ++=，所以ππ3C A B B =--=-．
因为ABC 是锐角三角形，所以π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π022π02π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得π6π4B <<，
所以cos 22
B <<
，则sin sin 22cos sin sin a A B B b B B ===∈，故B 错误，D 正确；因为2A B =，所以ππ32A <<，所以10cos 2A <<，则C 错误．故选：AD
11．ABC
【分析】根据平行四边形，即可求解A ，根据等腰三角形以及中点即可求证11BE A C ⊥，即可求解B ，根据体积公式即可求解C ，根据面面平行，即可结合等体积公式即可求解D.
【详解】连接AC ，正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC =且11//AA CC ，四边形11AA C C 为平行四边形，则11//AC A C ，
因为,F M 分别是,AD CD 的中点，所以11////FM AC A C ，故A 正确;
连接1BA ，正方体1111ABCD A B C D -中，11BA BC =．
当E 为11A C 中点时，由于11A B C B =,所以11BE A C ⊥，由于11//FM AC ，所以BE FM ⊥，故B 正确;B CEF E BCF V V --=，在三棱锥E BCF -中，底面积12
BCF BC AB S =⋅ 为定值，棱锥的高等于1AA 是定值，三棱锥E BCF -的体积为定值，则三棱锥B CEF -体积为定值，故C 正确;连接11,,AD CD 由于11//,AD BC 1AD ⊂平面1AD C ，1BC ⊄平面ADC ,所以1//BC 平面1AD C ，同理可证1//BA 平面1AD C ，1111,,BA BC B BA BC ⋂=⊂平面11BA C ，故平面11//BA C 平面1AD C ，BE ⊂平面11BA C ,所以直线//BE 平面1ACD 平行，
故直线BE 到平面1ACD 的距离，即为点B 到平面1ACD 的距离，设距离为h ，
11111111112··BCA B ACD D BCA ACD BCA ACD S DD V V S h S DD h S --⨯⨯⨯=⇒=⇒=
= 故D 错误．故选：ABC ．
12．24
【分析】直接由正弦定理求解即可.
【详解】在ABD △中，60ADB ∠=︒，75DAB ∠=︒，
所以45B ∠=︒，所以2
126sin 224sin 32
AB B
AD ADB ==∠海里.
故答案为：24.
13．5
7
【分析】取11A B 的中点H ，连接FH ，EH ，则HEF ∠或其补角即为异面直线EF 与1AA 所成角，在Rt EFH △中计算即可求解.
【详解】如图：取11A B 的中点H ，连接FH ，EH ，
因为E 是AB 的中点，所以1//HE AA ，且1=7HE AA =，
所以HEF ∠或其补角即为异面直线EF 与1AA 所成角，
22435FH +=，
在Rt EFH △中，5
tan 7HF
HEF HE ∠==，
所以异面直线EF 与1AA 所成角的正切值为5
7，故答案为：5
7
.
14．0【分析】将已知条件转化为221339m n ⎛⎫⎛
⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再结合42m n +=可得0m =，1
2n =.
【详解】将AO mAB nAC =+ 两端分别与AB 、AC 作内积，结合数量积的几何意义可得：222212
12AB AO AB m AB n AC AB AC AO AC m AB AC n AC ⎧=⋅=+⋅⎪⎪⎨⎪=⋅=⋅+⎪⎩
，
又60BAC ∠=︒，即有11221122c cm bn
b cm bn ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得2221332
339
33b
m c m n c
n b
⎧=-⎪⎪⎛
⎫⎛⎫⇒--=⎨ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=-⎪⎩.
又42m n +=，联立可得0m =，1
2n =，所以0mn =.
故答案为：0.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：将已知条件两端分别与AB 、AC 作内积，转化为221
339m n ⎛⎫⎛
⎫
--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.
15．(1)(6,12)b = ，(4,2)c =- ；(2)3π
4．
【分析】（1）由a b ∥ 列方程可求出x ，再由a c ⊥ 列方程可求出y ，从而可求出b 和c ；
（2）先求出向量m 和向量n 的坐标，再利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】（
1）因为a b ∥ ，所以2240x -=，解得12x =，
因为a c ⊥ ，所以840y +=，解得=2y -，
故(6,12)b = ，(4,2)c =- ；
（2）2(2,4)m a b =-=-- ，(6,2)n a c =+= ，
设向量m 和向量n 的夹角为θ，
则cos ||||2m n m n θ⋅==- ，
因为[0,π]θ∈，所以3
π4θ=，
即向量m 和向量n 的夹角的大小为3π
4．
16．
π
4
β=【分析】（1）由题意先求cos α，然后写出πcos 3α⎛⎫
+ ⎪⎝⎭的展开式计算即可;
（2）根据题意，先求αβ+的取值范围和()cos αβ+值，然后用()cos cos βαβα⎡⎤=+-⎣⎦求β的值.
【详解】（1）由22sin cos 1αα+=，4sin 5α=-，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3
cos 5α=，
所以πππ3143cos cos cos sin sin 333525210ααα+⎛⎫⎛⎫+=-=⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.（2）由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ,22αβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭
，
故()72cos 10αβ+=.从而()()()cos cos cos cos sin
sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦34
55⎛⎛⎫=+-⨯-= ⎪ ⎝⎭
⎝⎭由π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π4β=.17．(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）设AC 交BD 于M ，连接ME ，则利用三角形的中位线定理得ME PC ∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由已知得BD AC ⊥，PA BD ⊥，则由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，再利用线面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）证明：设AC 交BD 于M ，连接ME ．因为ABCD 为正方形，
所以M 为AC 中点，
又因为E 为PA 的中点，所以ME 为△PAC 的中位线，
所以ME PC ∥，
又因为ME ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，
所以PC ∥平面BDE ．
（2）证明：因为ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，
因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以PA BD ⊥，又AC PA A ⋂=，
又PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ．
因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ．
18．(1)83
(2)证明见解析【分析】（1）由11C B ⊥平面1A FA ，可得111111·3
C A FA A FA V S C B -= 结合题干条件，即得解；（2）先证明//AF 平面BDE ，1//C F 平面BDE ，结合面面平行的判断定理，即得证
【详解】（1）由题意可知：11C B ⊥平面1A FA ，
1122
===AA AB BC ，F 为1BB 的中点，14A A ∴=，112C B =，∴1111·42422
A FA S A A A
B ==⨯⨯= ，∴11111118·42333
C A FA A FA V S C B -==⨯⨯= ；（2）∵ABC
D -A 1B 1C 1D 1是长方体
∴AD //BC 且AD =BC
∵点E 、F 分别为CC 1和BB 1的中点
∴EF //BC 且EF =BC
∴AD //EF 且AD =EF
∴四边形ADEF 是平行四边形
∴AF //DE
∵AF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE
∴//AF 平面BDE
又E ，F 分别是线段1CC ，1BB 的中点
1//C F BE
∴1C F ⊄ 平面BDE ，BE ⊂平面BDE
1//C F ∴平面BDE
又1C F AF F
⋂=∴平面1//AC F 平面BDE ．
19．(1)证明见解析；(2)
32
.【分析】（1）由等腰三角形的性质可得PQ AD ⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ ⊥底面ABCD ，再由线面垂直的性质定理即可求证；
（2）证明,,QA QB QP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，求出平面PQB 和平面MQB 的法向量，由空间向量夹角公式计算即可求解.
【详解】（1）在PAD 中，PA PD =，Q 为AD 的中点，所以PQ AD ⊥，
因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD ⋂面ABCD AD =，PQ ⊂面PAD ，PQ AD ⊥，所以PQ ⊥底面ABCD ．
又因为AB ⊂平面ABCD ，所以PQ AB ⊥.
（2）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，112
BC AD ==，Q 为AD 的中点，所以四边形BCDQ 为平行四边形．
因为AD DC ⊥，所以AD QB ⊥．由（1），可知PQ ⊥底面ABCD ，故以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则()0,0,0Q ，
() 1,0,0 A
，(P
，()
C-
，()
B
，
1
2
M⎛-
⎝⎭
，
1
2
QM⎛=-
⎝⎭
，()
QB=
，()
1,0,0
QA=
因为AQ PQ
⊥，AQ BQ
⊥，PQ BQ Q
=
，所以AQ⊥平面PQB，
平面PQB的一个法向量即为()
1,0,0
QA=
，
设平面MBQ的法向量为()
,,
n x y z
=
，
由
10
2
n QB
n QM x y z
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=-=
⎪
⎩
，可得0
y=
，令x=1
z=，
所以平面MBQ
的法向量为)
n=
，
所以cos,
QA n
QA n
QA n
⋅
===
⋅
由图知二面角P QB M
--为锐二面角，所以二面角P QB M
--的余弦值为
3
2
.。