皮尔逊ⅢPⅢ型曲线

皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线
1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数
皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:
（4-4-8）
式中：Γ（α）―α的伽玛函数；
α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数，
α﹥0，β﹥0 。

显然，三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。

可以推论，这三个参数与总体三个参数、Cv、CS具有如下关系：
（4-4-9）
2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制
水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:
（4-4-10）
求出等于及大于xp的累积频率P值。

直接由式（4-4-10）计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式 :
（4-4-11）
式（4-4-11）中被积函数只含有一个待定参数CS，其它两个参数、Cv都包含在中。

，
x是标准化变量，称为离均系数。

的均值为0，标准差为1。

因此，只需要假定一个CS值，便可从式（4-4-11）通过积分求出与之间的关系。

对于若干个给定的C S值，的对应数值表，已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表1"皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表"。

由就可以求出相应频率的x值：
（4-4-12）
附表1 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表（摘录）
P（%）Cs 0.1 1 5 20 50 80 95 99 99.9
0.0 3.09 2.33 1.64 0.84 0.00 -0.84 -1.64 -2.33 -3.09
0.1 3.23 1.67 2.0 0.84 -0.02 -0.85 -1.62 -2.25 -2.95
0.2 3.38 2.47 1.70 0.83 -0.03 -0.85 -1.59 -2.18 -2.81
0.3 3.52 2.54 1.73 0.82 -0.05 -0.85 -1.55 -2.10 -2.67
0.4 3.67 2.62 1.75 0.82 -0.07 -0.85 -1.52 -2.03 -2.54
0.5 3.81 2.68 1.77 0.81 -0.08 -0.85 -1.40 -1.96 -2.40
0.6 3.96 2.75 1.80 0.80 -0.10 -0.85 -1.45 -1.88 -2.27
0.7 4.10 2.82 1.82 0.79 -0.12 -0.85 -1.42 -1.81 -2.14
0.8 4.24 2.89 1.84 0.78 -0.13 -0.85 -1.38 -1.74 -2.02
0.9 4.39 2.96 1.86 0.77 -0.15 -0.85 -1.35 -1.66 -1.90
4.53 3.02 1.88 0.76 -0.16 -0.85 -1.32 -1.59 -1.79
3、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用
在频率计算时，由已知的C S值，查值表得出不同的P的值，然后利用已知的、C V，通过式（4-4-12）即可求出与各种P相应的值，从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

当C S等于C V的一定倍数时,P-Ⅲ型频率曲线的模比系数K P = ,也已制成表格,见附表2"皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数K P值表"。

频率计算时，由已知的C S和C V可以从附表2中查出与各种频率P相对应的K P值，然后即可算出与各种频率对应的=K P。

有了P和的一些对应值，即可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

附表2 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数KP值表（摘录，C S = 2C V）
P（%）Cs 0.1 1 5 20 50 75 90 95 99
0.05 1.16 1.12 1.08 1.04 1.00 0.97 0.94 0.92 0.89
0.10 1.34 1.25 1.17 1.08 1.00 0.93 0.87 0.84 0.78
0.20 1.73 1.52 1.35 1.16 0.99 0.86 0.75 0.70 0.59
0.30 2.19 1.83 1.54 1.24 0.97 0.78 0.64 0.56 0.44
0.40 2.70 2.15 1.74 1.31 0.95 0.71 0.53 0.45 0.30
0.50 3.27 2.51 1.94 1.38 0.92 0.64 0.44 0.34 0.21
0.60 3.89 2.89 2.15 1.44 0.89 0.56 0.35 0.26 0.13
0.70 4.56 3.29 2.36 1.50 0.85 0.49 0.27 0.18 0.08
0.80 5.30 3.71 2.57 1.54 0.80 0.42 0.21 0.12 0.04
0.90 6.08 4.15 2.78 1.58 0.75 0.35 0.15 0.08 0.02
1.00 6.91 4.61 3.00 1.61 0.69 0.29 0.11 0.05 0.01
4.4.5 频率与重现期的关系
频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求出指定频率p的设计值x p。

由于"频率"较为抽象，水文上常用"重现期"来代替"频率"。

所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇。

根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关系有两种表示方法。

1、当为了防洪研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％，则:
（4-4-14）
式中：T――重现期，年；
――频率，％。

（2）当考虑水库兴利调节研究枯水问题时，设计频率P＞50％，则
（4-4-15）。