宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题含解析

绝密★考试结束前
2022学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量(2,6),(1,),//a a b b λ==若，则λ等于（ ）
A.2
B.-3
C.3
D.-2
2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若
0045,60b A B ==，则a =（ ）
A.1
B.
3.设a ，b 是两个非零向量，则“//a b ”是“||||||a b a b +=+”成立的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.若直线l α不平行于平面，则下列结论成立的是 （ ）
A.α内的所有直线都与l 异面
B.α内不存在与l 平行的直线
C.α内的所有直线都与l 相交
D.l α直线与平面有公共点
5.如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点，若(),ED xAB y AD x y =+∈R ，则x y -等于（ ） A.-1 B.1 C.
12 D.1
2
- 6.在ABC ∆中，23
A π
=
，2AB AC ==，以AB 所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A.
72
π B.2π
C.π
D.3π
A
7.已知ABC ∆中，D 是BC 的中点，且,,AB AC AB AC AD AB +=-=则向量BA 在BC
上的投影向量为（ ）
A.1
4
BC
C.14
BC -
D.4
BC -
8.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12,3AB AD AA ===,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P
为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线
1D P 与平面BEF 无公共点，则点P
的轨迹长度为（ ）
A.
D.1+
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.下列命题是真命题的是（ ）
A.平行于同一直线的两条直线平行
B.平行于同一平面的两条直线平行
C.平行于同一直线的两个平面平行
D.平行于同一平面的两个平面平行
10.在平面直角坐标系中，已知点()()()001,2,3,1,O A B ，
，则（ ） A.5AB = B.AOB ∆是直角三角形
C.OA OB 以，为邻边的平行四边形的顶点
D 的坐标为()4,4
D.与OA
垂直的单位向量的坐标为⎛ ⎝⎭⎝⎭
或 11.如图，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是边,AB BC 的中点，,G H 分别在线段,DC DA 上，
且满足,,,(0,1)DG DC DH DA λμλμ==∈，则下列说法正确的是（ ）
A.1
2λμ当==时，四边形EFGH 是矩形
B.2
3
λμ当==时，四边形EFGH 是梯形
C.λμ≠当时，四边形EFGH 是空间四边形
D.λμ≠当时，直线,EH FG BD ，相交于一点
E
1
A
A
B
12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
1cos cos a A c C
+=，则下列结论正确的有（ ） A.2A C = B.222a c bc -=
C.
11
2sin tan tan A C A -+的最小值为a c
的取值范围为()0,2 非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了：已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字
写成公式，即：S =即有ABC ∆满足2,3,a b c ===ABC ∆的面积ABC S =△ ．
14.长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3,2,1，则该球的表面积是 ．
15.如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD 的高度为20m ， 地面上一人在A 点观察该信号塔顶部，仰角为45︒，沿直线步 行1min 后在B 点观察塔顶，仰角为30︒，若150ADB ∠=︒， 此人的身高忽略不计，则他的步行速度为 m/s . 16.在锐角ABC ∆中，3
B π
=
，1AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围为__________.
四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题10分)已知向量12,1,2
a b a b ===. （1）求(2)()a b a b +-的值；
（2）a b a b +-求2与的夹角的余弦值.
18.(本题12分)已知ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a =, (sin ,cos ),n B A m n =⊥且.
（1） 求角A ； （2） 若2,a b ==求ABC ∆的面积.
19.(本题12分) 如图，在三棱柱BCF ADE -中，若,G H 分别是线段,AC DF 的中点. （1）求证：//GH BF ；
（2）在线段CD 上是否存在一点P ，使得平面//GHP BCF 平面， 若存在，指出P 的具体位置并证明；若不存在，说明理由.
20.(本题12分)如图，直角梯形ABCD 中，//,,4,2,3
AB CD AB CB AB CD DAB π
⊥==∠=
.且
1124
AM AD AN AB ==，.
（1）若G MN 是的中点，证明：,,A G C 三点共线；
（2）若P CB 为边上的动点（包括端点），求PM PN PB +（）的最小值．
21.(本题12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,P Q 分别是棱1,DD AB 的中点. （1）若M 为棱1CC 上靠近C 点的四等分点,求证: //BM PQC 平面；
（2）若平面PQC 与直线1AA 交于R 点，求平面PRQC 将正方体分割
成的上、下两部分的体积之比. (不必说明画法与理由).
22.(本题12分) cos sin 0C a C +=，②()2
2
sin sin sin sin sin B C A B C -=-，
③23
3
AB AC =
，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
在锐角ABC ∆中，ABC ∆的面积为S ，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且选条件：_______． （1）求角A 的大小；
（2）作AB BD ⊥（,A D BC 位于直线异侧），使得四边形ABDC 满足,4
BCD BD π
∠==AC 的
最大值.
C 1
A N C
B
A
2022学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共
20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 14π 15.3 16.（0，3）
四、解答题:本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解析：（1）2
2
(2)()2a b a b a a b b +-=-- ……………2分 2
113
22122
=⨯--= ……………4分 (2) (
)
22
2
224419a b a b
a a
b b +=
+=++= ……………6分 ()2
2
2
22a b a b a a b b -=
-=
-+= ……………8分
令a b a b +-2与的夹角为θ，即(
)()
13
21319
2cos 762192a b a b a b a b
θ+-=
==+-………10分 18.解析：（1）因为m n ⊥，所以sin 3cos 0m n a B b A =+= ……………2分 即: sin sin cos 0A B B A += ……………4分
因为sin 0,B ≠
所以sin 0A A =
，即：tan A =……………5分 又因为0A π<<，所以2
3
A π=
……………6分 （2）方法1：由余弦定理可得：2
2
2
2cos a b c bc A =+- ……………8分 代入可得关于c 的方程：2
13()230,c c c c ==-+-=解得：或舍 ……………10分
由三角形面积公式11sin 212222ABC S bc A ∆=
=⨯⨯⨯= ……………12分 方法2：
由正弦定理可得：
sin ,sin sin sin 7
a b b A B A B a ===即 ……………8分 因为2
3
A π=
，所以1cos ,0,cos 237A B B π=-<<= ……………9分
所以sin sin()sin cos cos sin 14
C A B A B A B =+=+=
……………10分
由三角形面积公式11sin 222142
ABC S ab C ∆==⨯= ……………12分
19.解析：（1）证明：连接BD ，由四边形ABCD 为平行四边形
可知，连接BD 必与AC 相交于中点G ，
所以G 是DB 中点 ……………2分
又因为H 是线段DF 的中点，故//GH BF . ……………4分 （2）当P 为线段CD 中点时，有平面//GHP 平面BCF ， ……………6分 证明：
GH ⊄平面BCF ，BF ⊂平面ABC ，//GH BF //GH ∴平面ABC ……………8分
又因为点,P G 分别为,CD BD 中点可得：//PG BC
PG ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//PG ∴平面BCF ， ……………11分
且GH GP G ⋂=，故平面//GHP 平面BCF ． ……………12分
20.解析：方法1：坐标法
（1）以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系
可得：(0,0),(4,0),(1,0),
A B N D
(4,(1,
2
C M G
所以，
3
(1,),(4,
2
AG AC
==……………4分
因为140,
2
⨯-⨯=所以//
AG AC
由于,,,,
AG AC A A G C
有公共点所以三点共线. ……………6分(2) P t
设（4,），0t
≤≤(0,)
PB t
=-……………7分
因为22()(2)
2
PM PN PG t t
+==--=-……………9分所以22
3
()22(
48
PM PN PB t t
+=-=--……………11分
即当
4
t=()
PM PN PB
+的最小值是
3
8
-. ……………12分方法2：基底化，以{}
,
AB AD为一个基底为例
（1）
111111
()()
222448
AG AM AN AD AB AD AB
=+=+=+……………2分
1
)
2
AC AD DC AD AB
=+=+……………4分因为
1
4
AG AC
=,所以//
AG AC
由于,,,,
AG AC A A G C
有公共点所以三点共线. ……………6分（2）令PB CB
λ
=，01
λ
≤≤……………7分
1
2
CB CD DA AB AB AD =++=
- 111222PM PB BA AM CB AB AD AB AD λλλ⎛⎫⎛⎫
=++=-+
=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
33424PN PB BN CB AB AB AD λλλ⎛⎫
=+=+
=-- ⎪⎝⎭
所以 71242PM PN AB AD λλ⎛⎫⎛⎫+=-
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……………9分 得到：711()2422PM PN PB AB AD AB AD λλλ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫
⎛⎫
+=-
+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦ ()2271222282AB AB AD AD λλλλ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
13(246)2488λλλ⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭ ……………11分
即当18λ=
时，()PM PN PB +的最小值是3
8
-. ……………12分 21．解析：
（1）证明：取PC 的中点N ，DC 的中点G ，连接NG ，NM ，NQ.
易知NG ∥MC ，且NG=MC ，所以四边形MNGC 为平行四边形， ……………2分 即 MN ∥CG ，且MN=CG ，又因为CG ∥BQ ，且CG=BQ ,
所以MN ∥BQ ,且MN=BQ ， 所以四边形MNQB 为平行四边形, ……………4分 所以BM ∥NQ ，又因为BM ⊄平面PQC ， NQ ⊂平面PQC ,
所以BM ∥平面PQC. ……………6分
1
（2）如图所示，延长CQ 和DA ，使其交于E 点，连接PE ，交A 1A 于R. 因为Q 为AB 的中点，AQ ∥DC ，所以A 为ED 的中点，又AR ∥PD ， 所以
1,2AQ EA RA DC ED PD ===所以1
2
RA = (只要点R 位置找对都给分) …………8分 111117
24121323226P EDC R AEQ V V V --=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=下 …………10分
41
6
V V V =-=下上正方体 …………11分
所以
41
7
V V =上下 …………12分 22.解析:
(1)选① cos sin sin 0A C A C B += ……………1分
即cos sin sin )0A C A C A B ++= ……………2分
所以 sin sin sin A C A C =，又因为sin 0,C ≠所以tan A = ……………3分 因为0,A π<<所以3
A π=
……………4分
选② 由题意得：2
2
2
sin 2sin sin sin sin sin sin B B C C A B C -+=- ……………1分 即 2
2
2
b c a bc +-= ……………2分
所以2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-=== ……………3分
因为0,A π<<所以3
A π=
……………4分
选③ 由题意得：1
cos sin 32
bc A bc A =
⨯ ……………2分
所以cos sin ,3
A A =
即tan A = ……………3分 因为0,A π<<所以3
A π= ……………4分
（2）如图，设ABC θ∠=，则,2
4
CBD CDB ππθθ∠=-∠=+
，
在BCD ∆中，由正弦定理得
sin sin BC BD
BDC BCD
=∠∠，
可得sin sin 42sin sin 4sin 4
BD BDC BC BCD πθπθπ⎛
⎫+ ⎪
∠⎛⎫⎝⎭===+ ⎪∠⎝⎭．
分
在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC BC
A
θ=， 可得2sin sin sin 4sin sin 4sin 3
BC AC A πθθ
θπθθπ⎛
⎫+⋅ ⎪⋅⎛⎫⎝⎭===+⋅ ⎪⎝⎭ ……………8分
2sin cos sin sin sin cos 2222θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=
+=+⎪⎪⎭⎭
)2
2sin 2sin cos cos2sin 2)θθθθθ=
+=-+ sin 2cos2sin 23223343πθθθ⎛⎫⎛⎫=
-+
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ……………10分 因为ABC ∆是锐角三角形，所以02
2032πθπ
πθ⎧
<<⎪⎪⎨
⎪<-<⎪⎩
得到ππθ,62 ……………11分 所以可得3212
4
4
πππθ<-
<
， 当24
2
π
π
θ-=
时，即38πθ=
时，可得： AC 的最大值是3
+． ……………12分
C B
A。