2017-2018学年北京通州潞河中学高二上学期期中考试数学(文)试题

潞河中学2017-2018-1期中高二数学试题（文科）
第I 卷（选择题共40分）
一、选择题（每小题5分，8道题，共40分）
1．已知直线m 、n 与平面α、β，下列说法正确的是（ ）． A ．m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥
B ．m α⊥，n β∥且αβ⊥，则m n
⊥
C ．m αβ= ，n m ⊥且αβ⊥，则m α⊥
D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥
【答案】D
【解析】A ．m α∥，n β∥且αβ∥，m 与n 可以平行，相交或异面，故A 错误；
B ．m α⊥，n β∥且αβ⊥，m 与n 可以平行，相交或异面，故B 错误；
C ．m αβ= ，∴m α⊂，n m ⊥不能推出n α⊥，只有当n 垂直于α内两条相交直线
才能推出n α⊥． 故选D ．
2．如果两条直线1:260l ax y ++=与2:(1)30l x a y +-==平行，则a =（ ）．
A ．1-
B ．2
C ．1-或2
D ．
2
3
【答案】A
【解析】1e 与2e 平行的充要条件：(1)20
236(1)0a a a --=⎧⎨⨯--≠⎩
，
∴1a =-． 故选A ．
3．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +-++=外切，则m =（ ）．
A ．21
B ．19
C ．9
D ．11-
【答案】C
【解析】圆1C 的圆心(0,0)，11r =，圆2C 的圆心(3,4)-， 将2C 化作标准方程22
(3)(4)25x y m -++=-， ∵两圆外切，
∴1212||5r r C C +==，
∴24r =，
∴9m =． 故选C ．
4．已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）．
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
【答案】B
【解析】∵(,)a b 在圆221x y +=外， ∴221a b +>，
圆心(0,0)到直线1ax by +=
的距离d =，
1>，
∴1d <，故直线与圆相交，． 故选B ．
5．若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）．
俯视图
A ．4
B
．4+
C ．8
D
．4+【答案】B
【解析】由三视图还原该四棱锥的直观图如下： 正方形ABCD
对角线长为 ∴底面边长为2，
∴正方形ABCD 的面积为4， 四棱锥侧面积是4PAB S △，
∵四棱锥高为3，
∴表面积1
44242
=+⨯⨯+．
故选B ．
C B
D
A
P
6．已知点A 在圆22(5)(3)9x y -+-=上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）．
A ．9
B ．8
C ．5
D ．2
【答案】D
【解析】由已知圆半径3r =，从圆心向直线3420x y +-=作垂线， 则垂线段与圆的交点A 即为所求距离最小时的点A ， 圆心(5,3)到3420x y +-=
的距离5d =
=，
∴A 到3420x y +-=的最小距离为2d r -=． 故选D ．
7．已知A 、B 为圆22(1)4x y +-=上关于点(1,2)P 对称的两点，则直线AB 的方程为（ ）．
A ．30x y +-=
B ．30x y -+=
C ．370x y +-=
D ．310x y --=
【答案】A
【解析】记圆心为(0,1)C ，由题意CP AB ⊥， 21
110
CP k -=
=-， ∴1AB k =-， 又∵AB 过(1,2)P ，
∴AB 方程为2(1)y x -=--即30x y +-=．
8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P ，Q ，R 分别是1AA 、11A B 、11A D 的中点，以
PQR △为底面作正三棱柱，若次三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则
这个正三棱锥的高为（ ）．
A
B
C
D
【答案】C 【解析】
P
E
G
Q
R
D
B
B 1A
C
C 1
A 1D 1F
连结AC ，1A C ，1B C ，1D C 分别取AC ，1B C ，1D C 中点E ，F ，G ， 连结EF ，EG ，FG ， 在1AAC △中，112
PE AC ∥， 同理112RG AC ∥，112
FG AC ∥， 又∵1AC ⊥平面PQR ，
∴多面体PQR EFG -是符合题意的正三棱柱，PE 为其高，
1AC
∴PE =
故选C ．
第II 卷（非选择题共110分）
二、填空题（每小题5分，6道题，共30分）
9．直线2y kx k =++（期中k ∈R ）过定点__________． 【答案】(1,2)-
【解析】将直线方程整理为点斜式2(1)y k x -=+可看出直线过(1,2)-．
10．已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__________．
俯视图
侧视图
正视图
【答案】
32
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，其底面积为13
3122
⨯⨯=，
高为3，
∴体积为133
3322
⨯⨯=．
11．已知点(3,5)A ，(1,)B x -，(4,7)C 三点共线，则x =__________． 【答案】3-
【解析】由已知，AC 直线存在斜率75
243
AC k -==-， ∴552134
AB x x
k --=
==--， ∴3x =-．
12．已知直线:210l x y --=和圆22:210C x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦长
AB =__________．
【解析】由圆C 方可知其圆心坐标为(0,1)
，半径r
弦心距d =
，
∴||AB =
13．过点(2,4)P 引圆22(1)(1)1x y -+-=的切线，则切线方程为__________．
【答案】2x =或4340x y -+= 【解析】圆心坐标(1,1)，半径1r =， ∵直线与圆相切，
∴圆心到直线距离1d r ==，
若直线无斜率，其方程为2x =符合题意， 若直线存在斜率，设其方程为4(2)y k x -=-， 即420kx y k -+-=，
1d =
=，
解得43
k =
． ∴切线方程为2x =或4340x y -+=．
14．已知实数x ，y 满足22650x y x +++=，则1
y
x -的最大值为__________．
【解析】
1
y
x -可看作圆上的点与(1,0)连线的斜率， 当直线与圆相切时斜率取最值， ∴设直线方程(1)y k x =-， 圆心(3,0)-，半径2r =， 圆心到直线距离
2d =
，
∴k =，
三、解答题（6道题，共80分）
15．（1分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为棱1CC 的中点．
E
D 1
A 1
C 1C
A
B 1
B
D
（1）证明：1AC ∥平面BDE ． （2）证明1AC BD ⊥． 【答案】见解析． 【解析】（1）证明：
连结AC 交BD 于F ，连结EF ， 正方形ABCD 中，AC 与BD 互相平分， ∴F 为AC 中点， 在1ACC △中，
∵E ，F 分别为1CC 与AC 中点， ∴11
2
EF AC ∥，
∵EF ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ， ∴EF ∥平面BDE ．
F
D
B
B 1
A
C
C 1A 1
D 1
E
（2）证明：在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中， 1CC ⊥平面ABCD ，
∵BD ⊂平面ABCD ， ∴1CC BD ⊥， ∵1AC CC C = ，
∴BD ⊥平面1ACC ， ∵1AC ⊂平面1ACC ， ∴1AC BD ⊥．
16．（12分）已知点(2,1)A -．
（1）求过点A 且与原点的距离为2的直线l 的方程． （2）求点A 关于直线1:2430l x y --=的对称点A '的坐标． 【答案】（1）2x =或34100x y --=． （2）(1,1)．
【解析】（1）若直线l 无斜率，则其方程为2x =，与原点距离为2，符合题意． 若l 有斜率，设其方程为1(2)y k x +=-
，原点到其距离2d =，
解得3
4
k =
，此时方程为34100x y --=． （2）设A '坐标为00(,)x y ，则线段AA l '⊥， 1l 斜率为
12
， ∴AA '的斜率为2-，即0
01
22
y x +=--①， 又∵A 与A '关于1l 对称，
∴线段AA '的中点在1l 上1AA 中点坐标为0021,22x y +-⎛⎫
⎪⎝⎭
， 将其代入1l 方程0021
243022
x y +-⋅
-⋅-=②， 由①，②得01x =，01y =， ∴A '坐标为(1,1)．
17．（14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ．112AA AC AC ===，1BC =，且AC BC ⊥，点D 、E 、F 分别为AC 、AB 、11AC 的中点．
E
F
B
C
A 1
1B 1
D
（1）求证：1A D ⊥平面ABC ． （2）求证EF ∥平面11BB C C ． （3）求四棱锥111A BB C C -的体积． 【答案】见解析．
【解析】（1）证明：∵11AA AC =，D 为
AC 中点， ∴1A D AC ⊥，
∵平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面
ABC AC =， 1A D ⊂平面11AAC C ，
∴1A D ⊥平面ABC ．
（2）取11B C 中点G ，连结FG ，BG ， ∵F 是11AC 中点， ∴111
2FG A B ∥，
∵111
2
EB A B ∥，
∴FG BE ∥，
∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF BG ∥， ∵BG ⊂平面11BB C C ，
EF ⊄平面11BB C C ，
∴EF ∥平面11BB C C ．
G
D B 1
1A 1
C
B
F
E
（3）设四棱锥111A BB C C -的体积为V ，棱柱111ABC A B C -的体积为1V ， 三棱锥1A ABC -的体积为2V ， 则12V V V =-， ∵AC BC ⊥， ∴11
21122
ABC S AC BC =
⋅=⨯⨯=△， 由（1）可知，1A D ⊥平面ABC ，
∴棱柱111ABC A B C -与棱锥1A ABC -的高均为1A D ， ∵112AC AC AA ===，1AD =，
∴1A D
∴111ABC V S A D =⨯=△
2113ABC V S A D =⨯⨯=△
∴12V V V =-=
18．（15分）根据下列条件求圆的方程．
（1）(1,1)A -，(2,2)B ，(1,3)C ，三角形ABC 的外接圆． （2）圆心在直线2y x =-上，且与直线1y x =-相切于点(2,1)-．
（3）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=
截得的弦长为 【答案】（1）2230x y x y +--=． （2）22(1)(2)2x y -++=．
（3）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=． 【解析】（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=， 将(1,1)A -，(2,2)B ，(1,3)C ，
代入圆方程2228310D E F D E F D E F -++=-⎧⎪
++=-⎨⎪++=-⎩，
解得130D E F =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，
∴圆方程为2230x y x y +--=．
（2）由已知：过点(2,1)-且与直线1:1l y x =-垂直的直线2l 与直线3:2l y x =-的交点即为圆心． ∵12l l ⊥，
∴2l 斜率为1，其方程为12y x +=-， 即3x y -=，联立2l 与3l ： 3
2x y y x -=⎧⎨
=-⎩
， 解得圆心坐标为(1,2)-，
∴圆半径r ， ∴圆方程为22(1)(2)2x y -++=． （3）∵圆心在3y x =上， ∴设圆心坐标为(,3)m m ， 又∵圆与x 轴相切， ∴半径|3|r m =，
弦心距|d m ， 又∵227r d =+即22927m m =+， ∴1m =±，
∴圆方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．
19．（14分）
在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，AC BC ⊥，D 为AB 的中点，M 为PD 的中点，N 在棱BC 上．
N
M D
C
B
A
P
（1）当N 为BC 的中点时，证明：DN ∥平面PAC ． （2）求证：PA ⊥平面PBC ．
（3）是否存在点N 使得MN ∥平面PAC ？若存在，求出CN
CB
的值，若不存在，说明理由． 【答案】见解析．
【解析】（1）证明：∵D ，N 分别为AB ，BC 中点， ∴DN AC ∥，
∵AC ⊂平面PAC ，DN ⊄平面PAC ， ∴DN ∥平面PAC ．
（2）证明：∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， 又∵BC AC ⊥， ∴BC ⊥平面PAC ， ∵PA ⊂平面PAC ， ∴BC PA ⊥，
又∵PA PC ⊥，PC BC C = ， ∴PA ⊥平面PBC ． （3）当
1
4
CN CB =时，MN ∥平面PAC ． 证明：取AD 中点G ，连结GM ，作GN AC ∥交BC 于N ，连结MN ， ∵M ，G 分别为PD ，AD 中点， ∴GM PA ∥， ∴GM ∥平面PAC ， ∵GN AC ∥， ∴GN ∥平面PAC ． GN GM G = ，
∴平面GMN ∥平面PAC ， ∵MN ⊂平面GMN ， ∴MN ∥平面PAC ，
∴
1
4
CN AG CB AB ==． G
P
A
C
D
M N
20．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ．90BAC ∠=︒，2AB AC ==
，
1AA =M ，N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．
N
P
M
B 1
C 1A 1
C
B
A
（1）求证：平面APM ⊥平面11BB C C ．
（2）若P 为线段1BB 的中点，求证：1A N ∥平面APM ．
（3）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的值，若不能垂直，请说明理由． 【答案】见解析．
【解析】（1）证明：由已知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1CC ⊥平面ABC ， ∵AM ⊂平面ABC ， ∴1CC AM ⊥，
∵AC AB =，M 为BC 中点， ∴AM BC ⊥， ∵1BC CC C = ， ∴AM ⊥平面11BB C C ， ∵AM ⊂平面APM ，
∴平面APM ⊥平面11BB C C ．
（2）证明：取11B C 中点Q ，连结1A Q ，NQ ，1B C ， ∵N ，Q 分别为1CC ，1BC 中点， ∴112NQ B C ∥，同理11
2
PM B C ∥，
∴NQ PM ∥， ∴NQ ∥平面APM ， 连结QM ，
∵Q ，M 分别为11B C 与BC 中点， ∴11QM CC AA ∥∥，
∴四边形1AAQM 为平行四边形， ∴1AQ AM ∥， ∴1AQ ∥平面APM ， ∵1
AQ NQ Q = ， ∴平面1A NQ ∥平面APM ， ∵1A N ⊂平面1A NQ ， ∴1A N ∥平面APM ．
A 1
C 1B 1
M
N Q
P
C
B
A
（3）若1BC ⊥平面APM ，则1BC PM ⊥， ∵190MPB C BP ∠+∠=︒， 1190C BP C BC ∠+∠=︒，
∴1C BC MPB ∠=∠， ∴1C BC MPB △∽△，
∵2AC AB ==，90BAC ∠=︒，
∴BC =
，BM
∵1C BC MPB △∽△，
∴
1C C BM
BC BP =
∴BP P 为棱1BB 上一点矛盾， ∴直线1BC 与平面APM 不能垂直．。