混合正态分布EGARCH模型
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( k +1)
ˆ =θ
% = max L (θ ) = min − L (θ ) Ln θ n n
θ θ
( )
但一般的数值优化方法收敛性较差。B e r n d t ( 1 9 7 4 ) 等人基于 E G A R C H 模型的汇率波动分 析提出一种改进算法，称为 B H H H 算法，它是目前 G A R C H 族模型参数估计的主流算法。B H H H 算法的优点是比较简单，计算程序相对简单，其主要计算步骤为： ( 1 ) 对待估参数 θ 赋予初值 θ (0) ，令 k = 0 ； ( 2 ) 由第 k 步所得值 θ ( k ) ，计算 k + 1 步的值 θ ( k +1) ：
( )
q
(
)
p
其 中 rt 表示 股指收 益率 ， g ( xt −1 ; b ) 为 xt −1 和 参数向 量 b 的函 数，在简 化的情 况下 取
g ( xt −1 ; b ) 为常数 µ ， xt −1 表示 t − 1 时刻的信息集， zt =
正态分布概率密度函数定义如下：
εt , E ( zt ) = 0, E ( zt2 ) = 1 , ε t 的混合 σt
令 ft = ln
2 t
∂L (θ ) = 0 的解。 ∂θ
(σ ) ，对 L (θ ) 求关于θ 的一阶和二阶偏导，得：
∂L (θ ) 1 T ∂f t (θ ) ∂f (θ ) = ∑− + ε t2ε − ft t ∂θ 2 i =1 ∂θ ∂θ
∂ 2 L (θ ) 1 T 2 − ft ∂ 2 ft (θ ) ∂f (θ ) ∂ft (θ ) = ε ε − 1 − ε t2ε − ft t t ∑ T T ∂θ∂θ 2 i =1 ∂θ∂θ ∂θ ∂θ T
T
2− 2 υ Γ (1 υ ) 其中 λ = ，υ 为形状参数，υ = 1 时为双指数分布，υ = 2 时为双正态分布。 Γ (3 υ )
1/ 2
以 zt 为正态分布为例，我们根据极大似然估计的形式去求得参数估计，参数向量 θ 的
% 为似然方程 最大似然估计 θ
T
当自由度 n > 30 时， t 分布近似为正态分布；当 n 显著小于 3 0时，分布为厚尾分布。 若 zt 服从广义误差分布，则 L (θ ) 具体如下式：
υ 1 1 ε L (θ ) = ∑ ln − − ln (σ t2 ) 1 i =1 λ 21+υ Γ (1 υ ) 2 λσ t 2
T T ε 1 ln f ( zt ) − ln (σ t ) = ∑ ln f t − ln (σ t2 ) L (θ ) = ∑ i =1 i =1 σt 2
L (θ ) = −
T 1 T ε2 ln ( 2π ) − ∑ t2 + ln (σ t2 ) 2 2 i =1 σ t
除了正态分布， zt 还可采用具有厚尾特性的 t 分布、广义误差分布和混合正态分布等。 若 zt 服从 t 分布，则 L (θ ) 具体如下式：
n +1 Γ 2 εt 1 n +1 2 1 2 − L (θ ) = ∑ − ln π + ln ln 1 + 2 − ln σ t 2 Γ n n i =1 2 nσ t 2 2
由条件方差服从混合正态分布可得： σ t = λ1σ 1t + (1 − λ1 ) σ 2t ， ε t 由 ri = g ( xi −1 ; b ) + ε i 确定， 从混合正态分布 E G A R C H 模型可以看出， 当 θ = ∑ α iφ < 0 λt , σ 1t , σ 2t , µ1t , µ 2t 可由矩估计得到。
( )
( )
( )
三、E G A R C H模型的参数估计
对于 E G A R C H 族模型的参数估计通常采用极大似然估计方法。 1 . E G A R C H 模型的极大似然函数
设 f (⋅) 为 zt 的分布密度函数， θ 为模型中待估计的参数向量， T 为样本个数，由文献 [ 7 ] 得到模型的对数似然函数为：
∗
上海市教委科研创新重点项目 （B 5 9 0 2 0 7 0 0 4 ） ； 上海师范大学校科研项目( S K 2 0 0 8 1 1 ) ； 上海市教委基金( 0 6 M S 0 0 9 、 C L 2 0 0 5 1 7 ) ； 上海市重点学科（T 0 4 0 1 ） ；国家自然科学基金（1 0 5 7 1 0 5 7 ） ；上海市科委科技项目（0 7 5 1 0 5 1 1 8 ） ；科学计算上海高校重点实验室； 2 0 0 7 年度市教委重点课程（5 Z 1 2 0 6 ） ；2 0 0 9 年度统计学专业建设（5 Z 1 5 0 1 ） ；2 0 0 9 年度统计学学科建设资助。
二、混合正态分布 E G A R C H 模型
由文献[ 4 ] 知，混合正态分布 E G A R C H 模型如下：
rt = g ( xt −1 ; b ) + ε t
2 ln σ t2 = α 0 + ∑ α i φ zt −i + γ i zt −i − E zt −i + + ∑ β j ln σ t −1 i =1 j =1
i =1 q
时，在波动大小相同的情况下，未来条件方差在负波动下的增幅大于正波动下的增幅，体现 了不对称性，保证了 σ t 的非负性，需要对模型参数施加非负约束。 E G A R C H 模型与 G A R C H 模型相比有三个优点：
2 ( 1 ) 在 g ( zt ) 中， γ zt − E zt 反映了 zt 的大小变化时对条件方差 σ t 的影响，而 θ zt 反
f1 ( λ1 ; µ1 ,σ 1 ; ε t ) = λ1 f1t ( µ1t , σ 1t ; ε t ) + (1 − λ1 ) f 2t ( µ 2t , σ 2t ; ε t )
=
λ1 σ 1t
2 2 λ2 ( ε t − µ1t ) ( ε t − µ 2t ) exp − exp − + 2 2 2σ 1t σ 2 t 2π 2σ 2t 2π
1 T ∂f i ∂fi T T 1 2 − f ∂f i (k ) i ˆ = θ + ∑ ∑ ε i ε − 1 ∂θ 2 i =1 ∂θ ∂θ i =1 2
−1
ˆ( k +1) θ
(
)
极大似然估计方法是一个优化问题，即求 θ 使得：
映出 ln σ t2 与 zt 的符号有关。例如当 r = 0 ，θ < 0 时，若 zt > 0 则 g ( zt ) < 0 ，即 ln σ t2 的 新息随收益方程新息的正( 负) 而为负( 正) ，也就是说，当收益比预期增加时， ln σ t2 减小， 反之亦然。这就弥补了 A R C H 与G A R C H 的缺陷。 ( 2 ) 由于条件方程 σ t2 由指数形式表示，不论 α , β 取何实数， σ t2 都是非负的，客服了 G A R C H 模型中对参数的非负限制。 ( 3 ) E G A R C H 模型同样解决了 G A R C H 模型的第三个模型很难判断引起条件方差波动源的持 续性这一局限性。这是由于 E G A R C H 模型的条件方差函数是 zt 的一次函数，可以比较好地判 断波动源的持续性。
混合正态分布 E G A R C H 模型∗
徐晓岭
1
於嵩
2
顾蓓青
1
（1 . 上海对外贸易学院商务信息学院，上海 2 0 1 6 0 0 ； 2 . 上海市世界外国语中学，上海 2 0 0 2 3 3 ） 摘 要：本文就金融资产收益率时间序列的“异方差性”进行研究，使用 E G A R C H 模型对上 证指数收益率进行分析，发现上证指数收益率的确存在异方差性，并且具有杠杆效应。 关键词：异方差性；E G A R C H 模型；混合正态分布 EGARCH Model of Mixed Normal Distribution Xu Xiaoling Yu Song Gu Beiqing (1. Shanghai Institute of Foreign Trade, Business Information College, Shanghai 201600, China; 2. Shanghai World Foreign Language Middle School, Shanghai 200233, China) Abstract: The heteroscedasticity of the yield of financial assets is researched in this paper. The yield of Shanghai Stock Exchange’s index is analyzed by using EGARCH model, and it can be concluded that the yield exists the heteroscedasticity indeed and has the lever effect. Key words: heteroscedasticity; EGARCH model; mixed normal distribution
1 2 1
一、前言
传统的计量经济学模型一般只要求时间序列满足所谓的“同方差性”， 但是在很多的实 际经济现象中， 特别是金融收益率时间序列通常都具有方差时变的特征， 即在某一时期其波 动剧烈而另一时期波动又相对平缓。比如，在衰退和金融危机的时候，股票市场的波动率会 比较大。 这样由传统的计量经济学得到的统计模型及其统计推断就会产生严重失误， 另外这 些经济现象还表现出“高峰厚尾，微弱持久的记忆，波动集群”等现象。为刻画时间序列的 异方差性这一特性，E n g l e ( 1 9 8 2 ) 在对英国通货膨胀率的波动率研究中提出的自回归条件异 方差( A R C H ) 模型，将方差和条件方差区分开来，并让条件方差作为过去误差的函数而变化， 从而为解决异方差问题提供了新途径。由于 A R C H 模型的形式简单，容易估计，成为了实证 金融计量学的主要工具之一。但在实际应用中，A R C H 模型存在以下缺点：( 1 ) 在实际应用中 为得到较好的拟合效果需要很大的阶数， 大大增加了估计量， 同时还会带来变量的多重共线 性问题；( 2 ) A R C H 模型将条件方差设为随机干扰项( 非预期回报) 的线性函数，而实际上线性 情况只是特例，是对占多数非线性情况的近似；( 3 ) 在A R C H 模型中，随机干扰项( 非预期回 报) 假设服从正态分布，由于改变的条件方差允许回报序列中存在更多的异常值或非常大的 观测值，所以回报序列的分布是尖峰的，且比正态分布具有更厚的尾部；( 4 ) 在A R C H 模型中 条件方差被认为是新息的偶函数， 事实上条件方差不仅取决于新息的大小， 与其正负也密切 相关，正如 C h r i s t i e 研究指出的当前收益与未来波动幅度成负相关。
(
)
相应于参数 θ 的信息矩阵为： Iθ = −
2 1 ∂ Ln (θ ) E Ψ t −1 ，其中 Ψ t −1 是 t − 1 时刻的信息集 T T θ θ ∂ ∂
合。且 E
∂ 2 Ln (θ )
T ∂θ∂θ
1 T ∂f (θ ) Ψ t −1 = − ∑ t . 由此，可取迭代式估计参数 θ ： 2 ∂ θ i = 1
ˆ =θ
% = max L (θ ) = min − L (θ ) Ln θ n n
θ θ
( )
但一般的数值优化方法收敛性较差。B e r n d t ( 1 9 7 4 ) 等人基于 E G A R C H 模型的汇率波动分 析提出一种改进算法，称为 B H H H 算法，它是目前 G A R C H 族模型参数估计的主流算法。B H H H 算法的优点是比较简单，计算程序相对简单，其主要计算步骤为： ( 1 ) 对待估参数 θ 赋予初值 θ (0) ，令 k = 0 ； ( 2 ) 由第 k 步所得值 θ ( k ) ，计算 k + 1 步的值 θ ( k +1) ：
( )
q
(
)
p
其 中 rt 表示 股指收 益率 ， g ( xt −1 ; b ) 为 xt −1 和 参数向 量 b 的函 数，在简 化的情 况下 取
g ( xt −1 ; b ) 为常数 µ ， xt −1 表示 t − 1 时刻的信息集， zt =
正态分布概率密度函数定义如下：
εt , E ( zt ) = 0, E ( zt2 ) = 1 , ε t 的混合 σt
令 ft = ln
2 t
∂L (θ ) = 0 的解。 ∂θ
(σ ) ，对 L (θ ) 求关于θ 的一阶和二阶偏导，得：
∂L (θ ) 1 T ∂f t (θ ) ∂f (θ ) = ∑− + ε t2ε − ft t ∂θ 2 i =1 ∂θ ∂θ
∂ 2 L (θ ) 1 T 2 − ft ∂ 2 ft (θ ) ∂f (θ ) ∂ft (θ ) = ε ε − 1 − ε t2ε − ft t t ∑ T T ∂θ∂θ 2 i =1 ∂θ∂θ ∂θ ∂θ T
T
2− 2 υ Γ (1 υ ) 其中 λ = ，υ 为形状参数，υ = 1 时为双指数分布，υ = 2 时为双正态分布。 Γ (3 υ )
1/ 2
以 zt 为正态分布为例，我们根据极大似然估计的形式去求得参数估计，参数向量 θ 的
% 为似然方程 最大似然估计 θ
T
当自由度 n > 30 时， t 分布近似为正态分布；当 n 显著小于 3 0时，分布为厚尾分布。 若 zt 服从广义误差分布，则 L (θ ) 具体如下式：
υ 1 1 ε L (θ ) = ∑ ln − − ln (σ t2 ) 1 i =1 λ 21+υ Γ (1 υ ) 2 λσ t 2
T T ε 1 ln f ( zt ) − ln (σ t ) = ∑ ln f t − ln (σ t2 ) L (θ ) = ∑ i =1 i =1 σt 2
L (θ ) = −
T 1 T ε2 ln ( 2π ) − ∑ t2 + ln (σ t2 ) 2 2 i =1 σ t
除了正态分布， zt 还可采用具有厚尾特性的 t 分布、广义误差分布和混合正态分布等。 若 zt 服从 t 分布，则 L (θ ) 具体如下式：
n +1 Γ 2 εt 1 n +1 2 1 2 − L (θ ) = ∑ − ln π + ln ln 1 + 2 − ln σ t 2 Γ n n i =1 2 nσ t 2 2
由条件方差服从混合正态分布可得： σ t = λ1σ 1t + (1 − λ1 ) σ 2t ， ε t 由 ri = g ( xi −1 ; b ) + ε i 确定， 从混合正态分布 E G A R C H 模型可以看出， 当 θ = ∑ α iφ < 0 λt , σ 1t , σ 2t , µ1t , µ 2t 可由矩估计得到。
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三、E G A R C H模型的参数估计
对于 E G A R C H 族模型的参数估计通常采用极大似然估计方法。 1 . E G A R C H 模型的极大似然函数
设 f (⋅) 为 zt 的分布密度函数， θ 为模型中待估计的参数向量， T 为样本个数，由文献 [ 7 ] 得到模型的对数似然函数为：
∗
上海市教委科研创新重点项目 （B 5 9 0 2 0 7 0 0 4 ） ； 上海师范大学校科研项目( S K 2 0 0 8 1 1 ) ； 上海市教委基金( 0 6 M S 0 0 9 、 C L 2 0 0 5 1 7 ) ； 上海市重点学科（T 0 4 0 1 ） ；国家自然科学基金（1 0 5 7 1 0 5 7 ） ；上海市科委科技项目（0 7 5 1 0 5 1 1 8 ） ；科学计算上海高校重点实验室； 2 0 0 7 年度市教委重点课程（5 Z 1 2 0 6 ） ；2 0 0 9 年度统计学专业建设（5 Z 1 5 0 1 ） ；2 0 0 9 年度统计学学科建设资助。
二、混合正态分布 E G A R C H 模型
由文献[ 4 ] 知，混合正态分布 E G A R C H 模型如下：
rt = g ( xt −1 ; b ) + ε t
2 ln σ t2 = α 0 + ∑ α i φ zt −i + γ i zt −i − E zt −i + + ∑ β j ln σ t −1 i =1 j =1
i =1 q
时，在波动大小相同的情况下，未来条件方差在负波动下的增幅大于正波动下的增幅，体现 了不对称性，保证了 σ t 的非负性，需要对模型参数施加非负约束。 E G A R C H 模型与 G A R C H 模型相比有三个优点：
2 ( 1 ) 在 g ( zt ) 中， γ zt − E zt 反映了 zt 的大小变化时对条件方差 σ t 的影响，而 θ zt 反
f1 ( λ1 ; µ1 ,σ 1 ; ε t ) = λ1 f1t ( µ1t , σ 1t ; ε t ) + (1 − λ1 ) f 2t ( µ 2t , σ 2t ; ε t )
=
λ1 σ 1t
2 2 λ2 ( ε t − µ1t ) ( ε t − µ 2t ) exp − exp − + 2 2 2σ 1t σ 2 t 2π 2σ 2t 2π
1 T ∂f i ∂fi T T 1 2 − f ∂f i (k ) i ˆ = θ + ∑ ∑ ε i ε − 1 ∂θ 2 i =1 ∂θ ∂θ i =1 2
−1
ˆ( k +1) θ
(
)
极大似然估计方法是一个优化问题，即求 θ 使得：
映出 ln σ t2 与 zt 的符号有关。例如当 r = 0 ，θ < 0 时，若 zt > 0 则 g ( zt ) < 0 ，即 ln σ t2 的 新息随收益方程新息的正( 负) 而为负( 正) ，也就是说，当收益比预期增加时， ln σ t2 减小， 反之亦然。这就弥补了 A R C H 与G A R C H 的缺陷。 ( 2 ) 由于条件方程 σ t2 由指数形式表示，不论 α , β 取何实数， σ t2 都是非负的，客服了 G A R C H 模型中对参数的非负限制。 ( 3 ) E G A R C H 模型同样解决了 G A R C H 模型的第三个模型很难判断引起条件方差波动源的持 续性这一局限性。这是由于 E G A R C H 模型的条件方差函数是 zt 的一次函数，可以比较好地判 断波动源的持续性。
混合正态分布 E G A R C H 模型∗
徐晓岭
1
於嵩
2
顾蓓青
1
（1 . 上海对外贸易学院商务信息学院，上海 2 0 1 6 0 0 ； 2 . 上海市世界外国语中学，上海 2 0 0 2 3 3 ） 摘 要：本文就金融资产收益率时间序列的“异方差性”进行研究，使用 E G A R C H 模型对上 证指数收益率进行分析，发现上证指数收益率的确存在异方差性，并且具有杠杆效应。 关键词：异方差性；E G A R C H 模型；混合正态分布 EGARCH Model of Mixed Normal Distribution Xu Xiaoling Yu Song Gu Beiqing (1. Shanghai Institute of Foreign Trade, Business Information College, Shanghai 201600, China; 2. Shanghai World Foreign Language Middle School, Shanghai 200233, China) Abstract: The heteroscedasticity of the yield of financial assets is researched in this paper. The yield of Shanghai Stock Exchange’s index is analyzed by using EGARCH model, and it can be concluded that the yield exists the heteroscedasticity indeed and has the lever effect. Key words: heteroscedasticity; EGARCH model; mixed normal distribution
1 2 1
一、前言
传统的计量经济学模型一般只要求时间序列满足所谓的“同方差性”， 但是在很多的实 际经济现象中， 特别是金融收益率时间序列通常都具有方差时变的特征， 即在某一时期其波 动剧烈而另一时期波动又相对平缓。比如，在衰退和金融危机的时候，股票市场的波动率会 比较大。 这样由传统的计量经济学得到的统计模型及其统计推断就会产生严重失误， 另外这 些经济现象还表现出“高峰厚尾，微弱持久的记忆，波动集群”等现象。为刻画时间序列的 异方差性这一特性，E n g l e ( 1 9 8 2 ) 在对英国通货膨胀率的波动率研究中提出的自回归条件异 方差( A R C H ) 模型，将方差和条件方差区分开来，并让条件方差作为过去误差的函数而变化， 从而为解决异方差问题提供了新途径。由于 A R C H 模型的形式简单，容易估计，成为了实证 金融计量学的主要工具之一。但在实际应用中，A R C H 模型存在以下缺点：( 1 ) 在实际应用中 为得到较好的拟合效果需要很大的阶数， 大大增加了估计量， 同时还会带来变量的多重共线 性问题；( 2 ) A R C H 模型将条件方差设为随机干扰项( 非预期回报) 的线性函数，而实际上线性 情况只是特例，是对占多数非线性情况的近似；( 3 ) 在A R C H 模型中，随机干扰项( 非预期回 报) 假设服从正态分布，由于改变的条件方差允许回报序列中存在更多的异常值或非常大的 观测值，所以回报序列的分布是尖峰的，且比正态分布具有更厚的尾部；( 4 ) 在A R C H 模型中 条件方差被认为是新息的偶函数， 事实上条件方差不仅取决于新息的大小， 与其正负也密切 相关，正如 C h r i s t i e 研究指出的当前收益与未来波动幅度成负相关。
(
)
相应于参数 θ 的信息矩阵为： Iθ = −
2 1 ∂ Ln (θ ) E Ψ t −1 ，其中 Ψ t −1 是 t − 1 时刻的信息集 T T θ θ ∂ ∂
合。且 E
∂ 2 Ln (θ )
T ∂θ∂θ
1 T ∂f (θ ) Ψ t −1 = − ∑ t . 由此，可取迭代式估计参数 θ ： 2 ∂ θ i = 1