关于AR（2）序列判定的一个充要条件及证明

时离不开自相关系数的计算袁所以为了方便袁在这里来探讨
直接由自相关系数的特征来 判别平稳序列是否为 AR (2)序
列.
2 主要结果
定理 1 平稳序列{Xt}的自相关系数满足以下三种情况 时院
(1)籽t=c1姿1-t+c2姿2-t (2)籽t=(1+ct) 姿-t (3)籽t=r-t(c1cos棕t+c2sin棕t) 则此序列是 AR(2)序列的充要条件分别是
如果
籽1=
姿1+姿2 1+姿1姿2
袁则有
籽1=
a1 1-a2
袁从而有 籽1=a1籽0+a2籽1.
2冤 因为 籽t=(1+ct)姿-t袁所以存在
a1=姿-1+姿-1=
2 姿
袁a2=-
1 姿2
袁使得院
籽t=a1籽t-1+a2籽t-2袁坌t≥ 2袁
. All 如R果ig籽1h= t12+s姿姿2 R袁则e有se籽r1=v1e-a1ad2 .袁从而有 籽1=a1籽0+a2籽1.
扇设设设姿1+姿2=-
设 设
a1 a2
缮
设
设设设姿1姿2=-
墒设
1 a2
圯
a = 扇设
设 设
1
设
设
姿1+姿2 姿1姿2
缮
设
设设设a2=-
墒设
1 姿1姿2
-３ ７-
所以
籽1=
a1 1-a
2
=
姿1+姿2 1+姿1姿2
2)当特征根为相等的实根 姿1=姿2=姿 时袁由于
扇设设设姿1+姿2=2
设 设
姿=-
a1 a2
a1 1-a2
籽k=a1籽k-1+a2籽k-2袁k≥ 1.
(4)
从递推公式(4)知袁由于 a2≠ 0袁不论多么大的 k袁总存在
籽k≠ 0袁这正是 AR(2)模型的自相关系数表现出的拖尾性.反
过来由 Yule-Walker 方程袁 我们也可以由自相关系数 籽k 解
出相应的 Yule-Walker 系数 a1,a2.
序列但来不便袁 故在时间序列分析中通常用偏相关系数来
判别它是否为 AR(p)序列袁这是因为 AR(p)序列的偏相关系
数的 p 后截尾性是它的固有特性. 但是在时间序列建模中袁
由于序列之间的短期相关性袁通常建立的模型的阶数较低袁
. A所l以l 对RAiRg(2h)模ts型袁R这e里s给e出rvAeRd(2.)序列判别的一个条件袁并
(1)籽1=
姿1+姿2 1+姿1姿2
(2)籽1=
2姿 1+姿2
(3)籽1=
2rcos棕 1+r2
证明 平稳时间序列的特征完全由它的自相关系数决
定袁{Xt}的自相关系数满足上述三种结构表明它们分别是特 征方程 A(z)=1-a 1z-a2z2=0具有相异实根袁相同实根袁共轭复 根时的 ARMA(2,1) 序列袁其特征 值分别是(1)姿1-1袁姿2-1曰(2)姿-1曰 (3)r-1ri棕袁r-1e-i棕,而 AR(2)是 ARMA(2,1)的特例渊 即滑动平均参数
张厚超袁杨锦伟
渊 平顶山学院 数学与信息科学学院袁 河南 平顶山 467000冤
摘 要院 本文通过分析 AR(2)模型的自相关系数所满足的差分方程袁给出了一个判别 AR(2)序列的充要条件袁并探讨了 AR(2)序列与其子序列的关系.
关键词院 AR(2)序列曰自相关系数曰偏自相关系数 中图分类号院O211.61 文献标识码院A 文章编号院1673- 260X渊 2012冤 08- 0037- 02
第 28 卷 第 8 期渊 上冤 2012 年 8 月
赤 峰 学 院 学 报渊 自 然 科 学 版 冤 Journal of Chifeng University渊 Natural Science Edition冤
Vol. 28 No. 8 Aug. 2012
关于 AR渊2冤序列判定的一个充要条件及证明
b1=0冤 袁AR(2)与 ARMA(2,1) 的自相关系数的递推表达式的差
别仅表现在 籽1 的表达式不同袁对 AR(2)模型
Xt-a1Xt-1-a2Xt-2=着t袁t∈ Z
由(4),令 k=1,同时注意到 籽1=籽-1 有
籽1=a1籽0+a2籽1
所以
籽1=
a1 1-a2
1)当特征根为两个不相等的实根 姿1袁姿2 时袁由于
a1=
籽1(1-籽2) 1-籽12
袁a2=
籽2-籽12 1-籽12
从而得到相应的偏相关系数
嗓an,n=
a2袁n=2 0袁n≥ 3
从上式看出 AR(2)模型的偏相关系数是 2 后截尾的.综
上袁可以看出袁尽管可以由偏相关系数的 2 后截尾性来判别
平稳序列是否为 AR(2)序列袁但是在计算相应的偏相关系数
a = 扇设
设 设
1
设
2cos棕 r
圯
设 缮设
设 设 设a2=-
墒设
1 r2
所以
籽1=
a1 1-a
2
=
2rcos棕 1+r2
这样袁必要性得证.
下面证明充分性
1)因为 籽t=c1姿1-t+c2姿2-t袁所以存在
a1=姿1-1+姿2-1=
姿1+姿2 姿1姿2
袁a2=-
1 姿1姿2
使得院
籽t=a1籽t-1+a2籽t-2袁坌t≥ 2袁
缮
设
设设设姿1姿2=姿2=-
墒设
1 a2
a = 扇设
设 设
1
设
2 姿
圯设 缮 设 设 设 设a2=墒设
1 姿2
所以
籽1=
a1 1-a
2
=
2姿 1+姿2
3冤 当特征根为共轭复根 姿1=rei棕袁姿2=re-i棕 时
扇设设设姿1+姿2=2rcos
设 设
棕=-
a1 a2
缮设
设设设姿1姿2=r2=-
墒设
1 a2
1 引言
在时间序列分析中 AR(p)模型的应用非常广泛袁平稳时
间序列 的特征 完全地由他的自相 关函数确定 袁从理 论上讲袁
根据平稳时间 序列 的自相 关函数也完全可以 判别一个平 稳
序列是否为 AR(p)序列袁但是当 p 充分大时袁由于 AR(p)序列
的拖尾性袁给我们用自相关函数来判别此序列是否为 AR(P)
给出证明袁这在时间序列分析中是很 有用的.
定义 1 实数 a1,a2(a2≠ 0)使多项式 A(z)的零点都在单位 圆外袁即院
A(z)=1-a1z-a2z2≠ 0袁|z|≤ 1.
(1)
称差分方程
Xt-a1Xt-1-a2Xt-2=着t袁着t~WN(0, 滓2)袁t∈ Z
(2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
是一个 2 阶自回归模型袁简称 AR(2)模型 袁满足 AR(2)模型
渊 2冤 的平稳时间序列{Xt}称为平稳解或 AR(2)序列.
对于上述 AR(2)模型袁特征多项式 A(z)=1-a1z-a2z2≠ 0 的
根都在单位圆外的充要条件是 a1,a2 满足条件
a2± a1<1袁|a2|<1
(3)
由 Yule-Walker 方程知道袁平稳解的自相关系数满足院
籽0=1袁籽1=