四川省宜宾市第四中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试题

2018年秋四川省宜宾市四中高三期中考试
数学试题(理科)
（ 试卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一．选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．设全集，集合
，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
2．函数的定义域为 A ．
B ．
C ．
D ．
3.在等差数列{}n a 中，1=1a ,
6
5
2a a =，则公差d 的值为 A. 13- B. 13 C. 14- D. 14
4.角θ的终边经过点(4,)P y ，且sin θ=35
-，则n ta θ= A. 43- B.
43 C. 34- D. 34
5.为了得到函数sin(2)3y x π
=-
的图象，只需把函数4cos(2)3
y x π
=-
的图象
A.向左平移4π个长度单位
B.向右平移4π个长度单位
C.向左平移2π
个长度单位 D.向
右平移2
π
个长度单位
6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“n S 的最大值是8S ”是“789710
a a a a a ⎧⎨⎩++>0
+<0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的
三视图，则该几何体的体积为 A ．
112π B ．163π C. 173π D ．356
π 8.若双曲线的中心为原点，(2,0)F -是双曲线的焦点，过F 直线l 与双曲线交于,M N 两点，
且MN 的中点为(1,3)P ，则双曲线的方程为
A ．2213x y -=
B ．2213x y -= C. 2213y x -= D ．22
13
y x -=
9.已知a ，b 是非零向量，它们之间有如下一种运算：sin ⊗=,a b a b a b ，其中,a b 表示a ，b 的夹角．下列命题中真命题的个数是 ①⊗=⊗a b b a
；②()()λλ⊗=⊗a b a b
；③
()+⊗=⊗+⊗a b
c a c b c
；④⊥⇔⊗=a b a b a b
； ⑤若()11x y =,a ，()22x y =,b ，则1221x y x y ⊗=-a b ，
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10.已知()()sin f x x ωθ=+（其中0ω>，02θπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭,），()()120f x f x ''==，21x x -的最小
值为
2π，()3f x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图像向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是
A ．()2k k k π⎡⎤ππ+∈⎢⎥⎣⎦Z ,
B ．()263k k k ππ⎡
⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ,
C ．()536k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ,
D ．()71212k k k ππ⎡
⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ,
11．在锐角ABC △中，2A B =，则AB
AC
的取值范围是
A ．()0,3
B ．()1,2 C
．
D ．()1,3
12．已知双曲线()22122:100x y a b a b Γ-=>>,的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆22
2:1
34
x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过点2F 与双曲线交于M ，N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，且11F M e F N
=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为
A ．30︒，150︒
B ．45︒，135︒
C ．60︒，120︒
D ．15︒，165︒
第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二．填空题（每题5分，共20分，将答案写到答题卡上） 13．函数
在
上的最小值与最大值的和为
14.已知sin 3sin 3παα⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则tan 6πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
. 15．在三棱锥D ABC -中，DC ⊥底面ABC ，6AD =，AB BC ⊥且三棱锥D ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为
16．若动点P 在直线:220a x y --=上，动点Q 在直线:260b x y --=上，记线段PQ 的中点为()00,M x y ，且()()2
2
00215x y -++≤，则2200x y +的取值范围为 ．
三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知.c )
cos(b 2osC
C A c a +=+ （Ⅰ）求角C 的大小；
（II ）若2c =，求使ABC ∆面积最大时b a ,的值。

18.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列1n n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求n T 以及n T 的最小值．
19.（本小题满分12分）
等边ABC ∆的边长为3，点,E F 分别为,AB BC 上的点，且满足
1
2
AD CE DB EA ==（如图1）
，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C （如图2）
（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面BCED ；
（II ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为0
60？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.
20.（12分）（本小题满分12分）
已知1F ，2F 是椭圆22
221x y a b +=的左、右焦点，O
为坐标原点，点1P ⎛- ⎝⎭
在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足02=+F ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（II ）圆O 是以12F F 为直径的圆，一直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ，当λ=⋅，且满足23
34
λ≤≤时，求OAB △的面积S 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数()()2e e e x f x x ax =-+，a ∈R ． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（II ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x y O 中，直线l
的参数方程为132x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ=．
（I ）写出
C 的直角坐标方程；
（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
选修4-5:不等式 23.（本小题满分10分） 已知+
∈R b a ,且22
1a b +=．
（Ⅰ）求a b +的最大值M ；
（II ）若不等式32x t x x -≥-+-若任意22[,1]x M M ∈+成立，求实数t 的取值范围．
2018年秋四川省宜宾市四中高三期中考试
数学试题(理科)答案
1.D
2.C
3.A
4.C
5.A
6.B
7.B
8.D
9.C 10.A 11.B 12.C 13．1
14.3-
15．36π 16．16165⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,
17.（1）由可得：
，
去分母得：
则有
，即1cos 2C =-
， 23
C π∴=； （2
）1sin 2ABC S ab C ∆=
⨯⨯=，再根据余弦定理得： 224a b ab =++，
2242a b ab ab ∴+=-≥，则4
3
ab ≤
，那么S =≤
当且仅当3
a b ==时，面积最大.
18. 解：
（Ⅰ）当1n =时，12a =
当2n ≥时，1122n n S a --=-，
所以1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---，即
*1
2(2,)n
n a n n a -=≥∈N ， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故*2()n n a n =∈N . （Ⅱ）令11
2
n n n n n b a ++=
=， 123
234
1
2222n n
n T +=
++++
，…………① ①×
12
，得2341
12341
222222n n n n n T ++=+++
+
+
，…………② ①－②，得11332
22n n n T ++=-， 整理，得332
n n n T +=-， 又令3
2n n
n c +=
，则14126
n n c n c n ++=<+，是所以1n n c c +>，{}n T 是单调递减数列 所以11n T T ≥≥.n T 的最小值为1
19.解：（1）证明：如图1，由已知可得：
60,1,2===A AD AE 从而 360cos 2122122=⨯⨯⨯-+= DE 故得 222AE DE AD =+ DE BD DE AD ⊥⊥∴, 即图2中：DE BD DE D A ⊥⊥,1
DB A 1∠∴为二面角B DE A --1的平面角
而二面角B DE A --1为直二面角，
901=∠∴DB A 即DB D A ⊥1
BCED ,平面且⊂=DB DE D DB DE BCED D A 平面⊥∴1
（2）由（1）DE DB DA ,,1两两垂直，分别以轴所在直线为z y x DA DE DB ,,,,1建立空间直角坐标系，则由已知及（1）可得：
)0,2
33,21(),1,0,0(),0,0,2(),0,0,0(1C A B D
令)10(≤≤=→→λλBC BP 则因)0,0,2(),0,2
3
3,23(=-=→→
DB BC 故 )0,2
33,232()0,233,23()0,0,2(λλλλ-=-
+=+=+=→
→→→→BC DB BP DB DP 即)0,2
3
3,
232(λλ-P 由（1）知)0,1,0(=→n 为平面BD A 1的一个法向量 又)1,2
3
3,232(1--
=→
λλAP 若存在满足条件的
P ，则
2
3
60sin ,cos 1=
=→
→ P A n 即
23)1()2
33()232(23
32
2
2=
-++-λλλ
解得6
5
=λ 而25,3==∴=→→→BC BP BC λ
故存在满足条件的点P ，且PB 的长为
2
5
20．解：（1）∵20PM F M +=uuu v uuuu v
，∴M 是线段2PF 的中点，∴OM 是12PF F △的中位线，
又12OM F F ⊥，∴112PF F F ⊥，∴1c =，
又∵222221112a b
a b c ⎧+==+⎪⎨⎪⎩，12OM F F ⊥，∴12PF PF ⊥，∴22222
1
1112c a
b a b c
=+==+⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩， 解得2
2a =，21b =，2
1c =，∴椭圆的标准方程为2
212
x y +=．
（2）∵直线:l y kx m =+与O e
1=，即221m k =+，
联立22
12x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩
得()
222124220k x kmx m +++-=．设()11A x y ,，()22,B x y ，
∵直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，
∴0∆>，122
412km
x x k +=-+，21222212m x x k -⋅=+，
()()2212122212m k y y kx m kx m k -⋅=+⋅+=+，212122
112k OA OB x x y y k λ+⋅=⋅+⋅==+uu v uu u v ，
又
∵
23
34
λ≤≤，∴
2221
3
31
2
4
k k +≤≤+，解得
2112k ≤≤
．
1211122S AB x =⋅⋅=-=
， 设42u k k =+，则
32
4u ≤≤
，S =
单调递增，∴()324S S S ⎛⎫
≤≤
⎪⎝⎭，即23
S ≤≤．
21．解：1）由题()()
1'e 2x f x x a +=+，
（i ）当0a ≥时，1e 20x a ++>
故()0x ∈-∞,
时，()()
1'e 20x f x x a +=+<函数()f x 单调递减， ()0x ∈+∞,时，()()
1'e 20x f x x a +=+>函数()f x 单调递增； （ii ）当e
02
a -<<时，
故()()ln 21x a ∈-∞--,时，()()
1'e 20x f x x a +=+>，函数()f x 单调递增， ()()ln 210x a ∈--,时，()()
1'e 20x f x x a +=+<，函数()f x 单调递减，
()0x ∈+∞,时，()()
1'e 20x f x x a +=+>，函数()f x 单调递增；
（iii ）当e
2
a =-时，()()
1'e 20x f x x a +=+≥恒成立，函数()f x 单调递增；
（iv ）当e
2
a <-时，故()0x ∈-∞,
时，()()
1'e 20x f x x a +=+>函数()f x 单调递增， ()()0ln 21x a ∈--,时，()()
1'e 20x f x x a +=+<函数()f x 单调递减， ()()ln 21x a ∈--+∞,时，()()
1'e 20x f x x a +=+>函数()f x 单调递增；
（2）当0a =时，()()e e e 0x f x x =-=有唯一零点1x =，不符合题意；
由（1）知：当0a >时，故()0x ∈-∞,时，函数()f x 单调递减， ()0x ∈+∞,时，函数()f x 单调递增，
x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，()0e 0f =-<必有两个零点；
当e
02a -<<时，故()()ln 21x a ∈-∞--,时，函数()f x 单调递增，
()()ln 210x a ∈--,时，函数()f x 单调递减，
()0x ∈+∞,时，函数()f x 单调递增，()()()()()()2
ln 212ln 21ln 210f a a a a a --=---+--<， ()0e 0f =-<，函数()f x 至多有一个零点；
当e
2a =-时，函数()f x 单调递增，函数()f x 至多有一个零点；
当e
2a <-时，故()0x ∈-∞,
时，函数()f x 单调递增， ()()0ln 21x a ∈--,时，函数()f x 单调递减，
()()ln 21x a ∈--+∞,时，函数()f x 单调递增，
()0e 0f =-<，函数()f x 至多有一个零点； 综上所述：当0a >时，函数()f x 有两个零点．
22解：（I ）由2
,sin ρθρθ==得，
从而有(2
222
+,+3x y x y =-=所以.
(II)设1(32P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.
23.（12
a b
+≥
得a b +≤，当且仅当a b =取最大值，M ∴=（2）[2,3]x ∈，32x t x x ∴-≥-+-
可化为1x t -≥，1t x ∴≤-或
1
t x ∴≥+恒
成立(,1][4,)t ∴∈-∞+∞。