2023年人教版高中数学第五章三角函数解题技巧总结

(名师选题)2023年人教版高中数学第五章三角函数解题技巧总结
单选题
1、当θ∈(0,π
2)，若cos (5π
6−θ)=−1
2，则sin (θ+π
6)的值为（ ） A ．1
2B ．√32
C ．−
√3
2D ．−12 答案：B
分析：利用诱导公式和平方关系求解.
因为cos (5π6
−θ)=−cos (π−(
5π6
−θ))=−cos (π6
+θ)=−1
2
，
所以cos (π
6+θ)=1
2， 因为θ∈(0,π
2)， 所以π
6+θ∈(π6,
2π
3)，
所以sin (θ+π
6)=√1−cos 2(π
6+θ)=√3
2
， 故选：B
2、《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约π
4m ，肩宽约为π
8m ，“弓”所在圆的半径约为1.25m ，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A ．π
2m B ．5√24m C ．5π
8
m D ．2m 答案：B
分析：由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长． 由题得：弓所在的弧长为：l =π
4
+π
4
+π
8
=
5π8
；
所以其所对的圆心角α=
5π
854
=π
2
；
∴两手之间的距离d =2Rsin π
4=√2×1.25AB =5√2
4
m ． 故选：B
3、所有与角α的终边相同的角可以表示为k ⋅360°+α(k ∈Z )，其中角α（ ） A ．一定是小于90°的角B ．一定是第一象限的角 C ．一定是正角D ．可以是任意角 答案：D
分析：由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
因为结论与角α的终边相同的角可以表示为k ⋅360°+α(k ∈Z )适用于任意角，所以D 正确， 故选：D.
4、若α∈(0,π
2),tan2α=cosα
2−sinα，则tanα=（ ） A ．√15
15B ．√5
5C ．√5
3D ．√15
3
答案：A
分析：由二倍角公式可得tan2α=sin2α
cos2α=2sinαcosα
1−2sin 2α
，再结合已知可求得sinα=1
4，利用同角三角函数的基本关
系即可求解.
∵tan2α=
cosα
2−sinα
∴tan2α=
sin2αcos2α
=
2sinαcosα1−2sin 2α
=
cosα2−sinα，
∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα
1−2sin 2α=1
2−sinα，解得sinα=1
4，
∴cosα=√1−sin 2α=√15
4
，∴tanα=sinα
cosα=
√15
15
. 故选：A.
小提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sinα.
5、已知函数f (x )=2sin 2(π
4+x)−√3cos2x ．若关于x 的方程f (x )−m =2在x ∈[π4,π
2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1
2,2√2]B ．[√2
2,√2] C ．[0,1]D ．[√2
2,2] 答案：C
分析：求出函数f (x )在[π4,π
2]上的值域后可求实数m 的取值范围.
f (x )=2×1−cos (π
2+2x)
2
−√3cos2x =1+sin2x −√3cos2x =2sin (2x −π
3)+1, 当x ∈[π4,π
2
]时，π
6
≤2x −π
3
≤
2π
3，所以12≤sin (2x −π
3
)≤1， 故f (x )的值域为[2,3]，
因为f (x )−m =2在x ∈[π4,π
2]上有解即f (x )=m +2在x ∈[π4,π
2]上有解， 故2≤m +2≤3即0≤m ≤1， 故选：C.
6、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为
4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.
A．2B．3C．5D．10
答案：C
分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果.
设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，
依题意可得A=4，ω=8π
60=2π
15
，φ=−π
6
，
所以ℎ(t)=4sin(2π
15t−π
6
)+2，
令ℎ(t)=4sin(2π
15t−π
6
)=6，得sin(2π
15
t−π
6
)=1，得2π
15
t−π
6
=2kπ+π
2
，k∈Z，
得t=15k+5，k∈Z，
因为点P第一次到达最高点，所以0<t<2π2π
15
=15，
所以k=0,t=5s.
故选：C
7、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）
（1）曲线Γ不是等宽曲线；
（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 答案：B
分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为1
2，根据定义逐项判断即可得出结论. 若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为1
2，
（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；
（4）曲线Γ的周长为3×1
6
×2π=π，圆的周长为2π×1
2=π，故它们的周长相等，正确；
（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为
π×126
=π
6，
正三角形的面积S =1
2×1×1×√32
=
√34
， 则一个弓形面积S =π
6−
√3
4
， 则整个区域的面积为3(π6−
√3
4
)+
√34
=π
2
−
√32
， 而圆的面积为π(12)2
=π
4，不相等，故错误；
综上，正确的有2个，
故选：B.
小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．
8、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表
已知港口的水的深度随时间变化符合函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（）A．4小时B．5小时C．6小时D．7小时
答案：B
分析：由已知表格中数据求得f(x)=2sinπ
6
x+5,根据驶入港口f(x)大于等于6,离开时f(x)大于等于5，分析即可得答案.
由表格中的数据可知，f(x)max=7,f(x)min=3，则A=f(x)max−f(x)min
2=7−3
2
=2,B=f(x)max+f(x)min
2
=7+3
2
=5.
由T=12，∴ω=2π
T =π
6
，故f(x)=2sin(π
6
x+φ)+5，
当x=3时，f(x)=7，则2sin(π
6
x+φ)+5=7∴2cosφ=2，即cosφ=1，得φ=0.
∴f(x)=2sinπ
6
x+5.
由f(x)=2sinπ
6x+5=6，得sinπ
6
x=1
2
，
即π
6x=π
6
+2kπ,k∈Z或π
6
x=5π
6
+2kπ,k∈Z
∴x=12k+1,k∈Z或x=12k+5,k∈Z.
又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，
∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货，
卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，卸完后的吃水深度为4−0.25×4=3，
所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由f(x)=2sinπ
6x+5=5，得sinπ
6
x=0，
即π
6x=0+2kπ,k∈Z或π
6
x=π+2kπ,k∈Z
∴x=12k,k∈Z或x=12k+6,k∈Z.
所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时. 故选：B
9、已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3,−2cos3)，则角α的弧度数为（）
A．3−π
2B．π
2
−3C．π−3D．3π
2
−3
答案：A
分析：先根据定义得α正切值，再根据诱导公式求解
tanα=−2cos3
2sin3=−sin(
π
2
−3)
cos(π
2
−3)
=tan(3−π
2
)，
又0<3−π
2<π
2
，α为锐角，
∴α=3−π
2
，故选：A.
10、已知函数f(x)=sin(2x+π
3)，为了得到函数g(x)=cos(2x+π
3
)的图象只需将y=f(x)的图象（）
A．向左平移π
4个单位B．向右平移π
4
个单位
C．向左平移π
2个单位D．向右平移π
2
个单位
答案：A
分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为
sin(2x+π
3
+
π
2
)=cos(2x+
π
3
)
所以sin(2x +π3
)→sin(2x +π2
+π3
)，只需将f (x )的图象向左平移π
4
个单位，
故选：A. 11、若
sinα+cosα
sinα−cosα=12，则tan (α+π
4
)的值为（ ）
A ．−2
B ．2
C ．−1
2D ．1
2 答案：C
分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=1
2，解得tanα=−3， 于是tan (α+π
4)=
tanα+tan
π41−tanαtan
π
4
=
−3+11−(−3)
=−1
2
．
故选：C.
12、设0<α<π，sinα+cosα=7
13，则1−tanα
1+tanα的值为（ ） A ．17
7B ．7
17C ．−17
7D ．−7
17 答案：C
分析：依题意可知π
2<α<π，得到cosα−sinα<0，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cosα−sinα的值，
将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可． 由sinα+cosα=7
13，平方得到1+sin2α=49
169， ∴sin2α=49
169−1=−120169=2sinαcosα， 0<α<π， ∴ π
2<α<π，
∴cosα<0，而sinα>0， ∴cosα−sinα<0； 令t =cosα−sinα(t <0)， 则t 2=1−sin2α，
∴t 2=1−sin2α=1+
120169
=
289169
，t <0
∴t =−
1713
∴
1−tanα1+tanα
=
cosα−sinαcosα+sinα
=
137
(cosα−sinα)=
137
×(−1713
)=−17
7
，
故选：C ． 双空题
13、函数f (x )=cosx +√2sinx 的最大值为_______，记函数取到最大值时的x =θ，，则cos (θ−π
6)=_______.
答案： √3
3+√66
解析：根据辅助角公式可化为f(x)=√3sin(x +φ)求最值，并求出此时对应x ，利用两角差的余弦公式求cos (θ−π
6
).
∵f (x )=cosx +√2sinx =√3sin(x +φ),cosφ=√6
3
,sinφ=
√33
， ∴f(x)max =√3，
此时，x +φ=2kπ+π
2,k ∈Z ，
即x =2kπ+π
2
−φ,k ∈Z ，
∴θ=2kπ+π
2−φ,k ∈Z ， ∴cosθ=sinφ=
√3
3
，sinθ=cosφ=
√63
， cos (θ−π
6)=cosθcos π6+sinθsin π
6=1
2+√36
=
3+√36
，
所以答案是：√3；
3+√66
小提示：关键点点睛：辅助角公式asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +φ)，其中cosφ=√a 2+b 2
，
sinφ=
√a 2+b 2
的应用是解决本题的关键.
14、已知某扇形的圆心角为π
6，弧长为2π
3，则该扇形的半径为___________；面积为___________. 答案： 4 4π
3##4
3π
分析：利用扇形的弧长公式求半径，再应用扇形面积公式求面积即可. 由题设，该扇形的半径r =
2π3
÷π6
=4，面积为S =12
×4×
2π3
=
4π3
.
所以答案是：4，4π
3
15、若f(x)是定义在R 上的奇函数，且此函数是以5为周期的周期函数，f(1)=2，则f(5)=________，f(−1996)=_______________. 答案： 0 −2
分析：（1）利用奇函数和周期性把f(5)转化为f(0)即可计算； （2）利用奇函数和周期性把f(−1996)转化为−f(1)即可计算. 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0，
又f(x)是以5为周期的周期函数，所以f(5)=f(0+5)=f(0)=0； f(−1996)=−f(1996)=−f(1+5×399)=−f(1)=−2. 所以答案是：0；-2.
16、已知tanθ=2，则cos2θ=________；tan(θ−π
4)=______．
答案： −35 1
3
分析：利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ，根据两角差正切公式得tan(θ−π
4) cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=cos 2θ−sin 2θ
cos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ
1+tan 2θ=1−22
1+22=−3
5， tan(θ−π
4)=tanθ−1
1+tanθ=2−1
1+2=13， 所以答案是：−35,1
3
小提示：本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 17、两角和与差的正弦公式的推导
sin(α+β)=cos [π2−(α+β)]=cos [(π
2
−α)−β]
=cos (π2−α)cosβ+sin (π
2
−α)sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ， 即_____________(S α+β)， 以−β代β得___________(S α−β)．
答案： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ 分析：由两角和与差的正弦公式的推导直接可得
sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，以−β代β计算得sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ． 两角和与差的正弦公式的推导
sin (α+β)=cos [π2−(α+β)]=cos [(π
2
−α)−β]
=cos (π2−α)cosβ+sin (π
2
−α)sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ，
即sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ (S α+β)； 以−β代β得
sin (α−β)=cos [π2−(α−β)]=cos [(π
2
−α)+β]
=cos (π2−α)cos (−β)−sin (π
2
−α)sinβ
=sinαcosβ−cosαsinβ，
得sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ (S α−β)．
所以答案是：①sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；②sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ 解答题
18、求证：（1）sin(α−β)
cosαcosβ=tanα−tanβ；
（2）1
cos0°cos1°+1
cos1°cos2°+1
cos2°cos3°+⋯+1
cos88°cos89°=cos1°
sin 21°. 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.
分析：（1）直接根据差角的正弦公式与同角三角函数的商关系证明即可；
（2）由（1）得sin1°
cosk°cos(k+1)°
=tan(k+1)°−tank°(k=0,1,⋅⋅⋅,88)，由此可证．
证明：（1）sin(α−β)
cosαcosβ=sinαcosβ−cosαsinβ
cosαcosβ
=tanα−tanβ；
（2）由（1）得sin1°
cosk°cos(k+1)°
=tan(k+1)°−tank°(k=0,1,⋅⋅⋅,88)，
∴(1
cos0°cos1°+1
cos1°cos2°
+1
cos2°cos3°
+⋯+1
cos88°cos89°
)sin1°=tan89°−tan0°=sin89°
cos89°
=cos1°
sin1°
，
∴1
cos0°cos1°+1
cos1°cos2°
+1
cos2°cos3°
+⋯+1
cos88°cos89°
=cos1°
sin21°
．
19、已知0<α<π
2，cos(α+π
4
)=1
3
．
(1)求sinα的值；
(2)若−π
2<β<0，cos(β
2
−π
4
)=√3
3
，求α−β的值．
答案：(1)4−√2
6
(2)α−β=π
4
分析：（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得sinα的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得sinβ的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出cos(α−β)的值，结合角α−β的取值范围可求得结果.
（1）
解：因为0<α<π
2，∴π
4
<α+π
4
<3π
4
，
又cos(α+π
4)=1
3
，所以sin(α+π
4
)=√1−(1
3
)
2
=2√2
3
，
所以sinα=sin[(α+π
4)−π
4
]=sin(α+π
4
)cosπ
4
−cos(α+π
4
)cosπ
4
=√2
2
(2√2
3
−1
3
)=4−√2
6
.
（2）
解：因为cos(β
2−π
4
)=√3
3
，
sinβ=cos(β−π
2)=cos[2(β
2
−π
4
)]=2cos2(β
2
−π
4
)−1=2×1
3
−1=−1
3
，
又因为−π
2<β<0，所以cosβ=√1−sin2β=2√2
3
，
由（1）知，cosα=cos[(α+π
4)−π
4
]=cos(α+π
4
)cosπ
4
+sin(α+π
4
)sinπ
4
=4+√2
6
，
所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=4+√2
6×2√2
3
+4−√2
6
×(−1
3
)=√2
2
．
因为0<α<π
2，−π
2
<β<0，则0<α−β<π，所以α−β=π
4
．
20、已知函数f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx(ω>0)周期是π
2
. （1）求f(x)的解析式，并求f(x)的单调递增区间；
（2）将f(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π
6个单位，最后将整个函数图像向上平移3
2
个单位后得到函数g(x)的图像，若π
6≤x≤2π
3
时，|g(x)−m|<2恒成立，求m得取值范围.
答案：（1）f(x)=sin(4x−π
6)−1
2
，单调递增区间为[kπ
2
−π
12
,kπ
2
+π
6
]，k∈Z；（2）(0,2).
解析：（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得f(x)=sin(2ωx−π
6)−1
2
，由T=2π
2ω
=π
2
，解得ω=2，带
入正弦函数的递增区间2kπ−π
2≤4x−π
6
≤2kπ+π
2
，化简即可得解；
（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得g(x)=sin(2x+π
6
)+1，根据题意只需要[g(x)−2]max<m<
[g(x)+2]min，分别在π
6≤x≤2π
3
范围内求出g(x)的最值即可得解.
（1）f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx
=√3
2
sin2ωx−
1
2
(cos2ωx+1) =sin(2ωx−
π
6
)−
1
2
由T=2π
2ω=π
2
，解得ω=2
所以，f(x)=sin(4x−π
6)−1
2
∵2kπ−π
2≤4x−π
6
≤2kπ+π
2
∴2kπ−π
3≤4x≤2kπ+2π
3
∴kπ
2−π
12
≤x≤kπ
2
+π
6
∴f(x)的单调递增区间为[kπ
2−π
12
,kπ
2
+π
6
]，k∈Z
（2）依题意得g(x)=sin(2x+π
6
)+1
因为|g(x)−m|<2，所以g(x)−2<m<g(x)+2
因为当x∈[π
6,2π
3
]时，g(x)−2<m<g(x)+2恒成立
所以只需[g(x)−2]max<m<[g(x)+2]min转化为求g(x)的最大值与最小值
当x∈[π
6,2π
3
]时，y=g(x)为单调减函数
所以g(x)max=g(π
6)=1+1=2，g(x)min=g(2π
3
)=−1+1=0，
从而[g(x)−2]max=0，[g(x)+2]min=2，即0<m<2
所以m的取值范围是(0,2).
小提示：本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：
（1）三角函数基本量的理解应用；
（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；
（3）恒成立思想的理解及转化.。