2019高三数学文北师大版一轮重点强化训练2 平面向量

重点强化训练(二)平面向量
(对应学生用书第222页)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
D[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D 正确．]
2．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为() 【导学号：00090149】
A．2－1B．1
C．2D．2
B[因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝ 2.
展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，
即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.
而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，
所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.
所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.]
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的() A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示
的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]
4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．23π
D ．56π
A [由题意，得OA →＋OC →
＝(3＋cos α，sin α)， 所以|OA
→＋OC →|＝(3＋cos α)2＋sin 2α ＝10＋6cos α＝13， 即cos α＝1
2，
因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，32.
设OB
→与OC →的夹角为θ， 则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3
233×1＝3
2.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π
6.]
5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12 B ．12 C ．－34
D ．0
A [取A
B 的中点
C ，连接OC ，AB ＝3，
则AC ＝3
2，又因为OA ＝1，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32，
所以∠AOB ＝120°，
则OA →·OB →＝1×1×cos 120°
＝－12.] 二、填空题
6．设O 是坐标原点，已知OA
→＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________． 11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)，
CB
→＝OB →－OC →＝(6，k －5)， 所以(k －4)(k －5)＝6×7，
k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]
7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.
即1＋2|b |＋4|b |2＝21，解得|b |＝2或|b |＝－5
2(舍)．]
8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
＝________.
－25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC
→＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．
(1)若m ＝n ＝23，求|OP
→|；
(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，
∴OP
→＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， 3分 ∴|OP
→|＝22＋22＝2 2.
5分
(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩
⎨⎧
x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 8分
两式相减，得m －n ＝y －x .
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
12分
10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2.
(1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
【导学号：00090151】
[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.
3分 又x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.
5分
(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＋12， 8分
当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.
所以f (x )的最大值为3
2.
12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →
＝b ，OC
→＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( ) 【导学号：00090152】
A ．－4
B ．3
C ．－11
D ．10
C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，
AB
→＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2B ． ∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0，
即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，
∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0， 解得m ＝－11.故选C ．]
2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN
→的最大值为________．
图2
9 [由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影
之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →
2＋32
AB →·AD
→＝9.]
3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．
[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3，
2分
令2k π≤2x ＋π
3≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π
3(k ∈Z )，
∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).
5分
(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，
∴cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2A ＋π3＝－1.
7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. 9分 ∵a ＝7，
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2. 12分。