2019-2020学年安徽省巢湖市数学高二下期末监测试题含解析

2019-2020学年安徽省巢湖市数学高二下期末监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．
的是（ ） A ． cos cos a b a b +>+
B ．cos cos a b b a ->-
C ．sin sin a b a b ->-
D ．sin sin a b b a ->-
【答案】A
【解析】
【分析】
设()cos f x x x =-，证明()f x 单调递增，得到a b >，构造函数根据单调性到BCD 正确，取1a =，1b =-，则
cos cos a b a b +>+不成立，A 错误，得到答案. 【详解】
设()cos f x x x =-，则()'1sin 0f x x =+≥恒成立，故()f x 单调递增，
cos cos a b a b ->-，即cos cos a a b b ->-，即()()f a f b >，a b >.
取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误；
设()cos g x x x =+，则()'1sin 0g x x =-≥恒成立，()g x 单调递增，
故()()g a g b >，就cos cos a b b a ->-，B 正确；
同理可得：CD 正确.
故选：A .
【点睛】
本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
2．如图，平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角是3π，PQ 是平面BCEF 内的一条动直线，4DBC π
∠=，则直线BD 与PQ 所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A ．3⎤⎥⎣⎦
B ．64⎤⎥⎣⎦
C ．23,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【解析】
【分析】
假定ABCD 和BCEF 均为正方形，过D 作DG CE ，可证DG ⊥平面BCEF ，进而可得直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值sin DBG ∠，即直线BD 与PQ 所成角的正弦值的最小值，当直线BD 与PQ 异面垂直时，所成角的正弦值最大.
【详解】
过D 作DG CE ，垂足为G ，
假定ABCD 和BCEF 均为正方形，且边长为1
则BC ⊥平面CDG ，故BC DG ⊥
又BC CE C =，DG ∴⊥平面BCEF 故直线BD 在平面BCEF 内的射影为BG ，
由已知可得3cos 32
DG CD π
=⋅=， 则以直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值6sin 4DG DBG BD ∠=
=， 所以直线BD 与平面BCEF 内直线所成的角正弦值最小为64
而直线BD 与PQ 所成角最大为90︒（异面垂直），即最大正弦值为1.
故选：B
【点睛】
本题考查了立体几何中线面角，面面角找法，考查了转化思想，属于难题.
3．已知将函数21()3sin cos cos 2
f x x x x =+-的图象向左平移512π个单位长度后得到()y
g x =的图象，
则()g x 在[,]123ππ-
上的值域为（ ） A ．1[,1]2- B ．1[1,]2- C
．1[]22- D ．1[,]22
- 【答案】B
【解析】
解析：因1()2cos2sin(2)26
f x x x x π=+=+，故5()sin[2()]sin(2)sin 2126
g x x x x πππ=+
+=+=-，因123x ππ-≤≤，故2263
x ππ-≤≤，则1sin 212x -≤≤，所以11()2g x -≤≤，应选答案B ． 4．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点，q ：x R ∀∈，244(2)10x m x +-+>．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围为
A ．(,2)[3,)-∞-⋃+∞
B ．(,2)(1,2][3,)-∞-⋃⋃+∞
C ．(1,2][3,)⋃+∞
D ．(,2)(1,2]-∞-⋃ 【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p ，q 有一个真命题一个假命题，由p 得△=m 1-4＞0，解得m ＞1或m ＜-1．由
q ，得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m ＜3，分两种情况求出实数m 的取值范围．
解答：解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假
∴p ，q 中一个真命题一个假命题，
由p ：函数f （x ）=x 1+mx+1有两个零点，
得△=m 1-4＞0，解得m ＞1或m ＜-1．
由q ：∀x ∈R ，4x 1+4（m-1）x+1＞0
得△=16（m-1）1-16＜0，
解得1＜m ＜3，
当p 真q 假时，有m 2m 2m 3m 1-⎧⎨≥≤⎩
＞或＜或即m≥3或m ＜-1 当p 假q 真，有2m 21m 3-≤≤⎧⎨⎩
＜＜ 即1＜m≤1
∴实数m 的取值范围为（-∞，-1）∪（1，1]∪[3，+∞）．
故选B ．
5．已知是函数的导函数，将和的图象画在同一个平面直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】 根据的正负与单调性间的关系，即可逐项判断出结果. 【详解】 因为是函数的导数，时，函数单调递增；时，函数单调递减； A 中，直线对应，曲线对应时，能满足题意；
B 中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意；
C 中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意；
D 中，无论轴上方曲线或轴下方曲线，对应时，都应该是单调函数，但图中是两个不单调的函数，显然D 不满足题意.
故选D
【点睛】
本题主要考查函数与导函数图像之间的关系，熟记导函数与导数间的关系即可，属于常考题型. 6．随机变量2~(2,3)X N ，且(1)0.20P X <=，则(23)P X <<=（ ）
A ．0.20
B ．0.30
C ．0.70
D ．0.80
【答案】B
【解析】
分析：由(3)(1)P X P X >=<及(2)(2)P X P X =可得．
详解：∵2(2,3)X N ，∴1(1)(3)12(1)120.20(23)0.3222
P X P X P X P X ---<-⨯<<====． 故选B ． 点睛：本题考查正态分布，若随机变量2(,)X N μσ中，则正态曲线关于直线x μ=对称，因此有()()P X P X μμ=，()()P a X P X a μμμμ-<<=<<+（0a >）．
7．已知函数f(x)在R 上可导，且f(x)＝x 2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( )
A ．f(x)＝x 2＋8x
B ．f(x)＝x 2－8x
C ．f(x)＝x 2＋2x
D ．f(x)＝x 2－2x
【答案】B
【解析】
【分析】
求函数()f x 在2x =处的导数即可求解.
【详解】
∵()()22'2f x x xf ＝＋，()()’22'2f x x f ∴＝＋．令2x =，得()()’242'2f f ＝＋， ()’24f ∴-＝.故()28f x x x -＝.
【点睛】
本题主要考查导数定义的运用.求解()f x 在2x =处的导数是解题的关键.
8．给出下列说法：
（1）命题“0x R ∃∈，0012x x +
≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x +>”； （2）已知()2~2,X N δ，则()205P X >=．
； （3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为23y x =-； （4）对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大； （5）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变.
其中正确说法的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据含有一个量词的命题的否定，直接判断（1）错；根据正态分布的特征，直接判断（2）对；根据线性回归方程的特点，判断（3）正确；根据独立性检验的基本思想，可判断（4）错；根据方差的特征，可判断(5)正确.
【详解】
（1）命题“0x R ∃∈，0012x x +
≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x +<”，故（1）错； （2）因为()2~2,X N δ，即X 服从正态分布，均值为2μ=，所以()20.5P X >=；故（2）正确； （3）因为回归直线必过样本中心，又已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为()4,5，所以5243a =-⨯=-，即所求回归直线方程为：23y x =-；故（3）正确；
（4）对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；故
（4）错；
（5）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变.故（5）错.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，熟记相关知识点即可，属于基础题型.
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X 表示所选3人中女生的人数，则()E X 为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先由题意得到X 的可能取值为0,1,2,，分别求出其对应概率，进而可求出其期望.
【详解】
由题意，X 的可能取值为0,1,2,，
由题中数据可得：()3436441065420532
=====⨯⨯⨯C P X C ，
()21423662123165420532
⨯=====⨯⨯⨯C C P X C ，
()124236441265420532=====⨯⨯⨯C C P X C ，
所以131()0121555
=
⨯+⨯+⨯=E X . 故选B
【点睛】 本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记期望的概念，会求每个事件对应的概率即可，属于常考题型. 10．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ）
A ．24
B ．48
C ．60
D ．96
【答案】B
【解析】
【分析】
先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，运算即可得解.
【详解】
解：先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和
她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==， 故选：B.
【点睛】
本题考查了排列组合中的相邻问题，重点考查了捆绑法，属基础题.
11．若a R ∈，则“复数32ai z i -=
的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >”（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
先将复数z 化简成z a bi =+形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出a 的取值范围，即可判断与0a >的关系．
【详解】 2
2323223ai i ai z a i i i
--===--，所以共轭复数23z a i =-+， 因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限
所以20a -<，解得0a > 所以“复数32ai z i
-=
的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >” 充要条件，故选C 【点睛】
本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出a 的取值范围，属于一般题． 12．设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（） A ．()f x 在区间[]3,2--单调递减
B ．()f x 在区间[]
2,1--单调递增 C ．()f x 在区间[]3,4单调递减
D ．()f x 在区间[]1,2单调递增 【答案】D
【解析】
【分析】
根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．
【详解】
由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数，
由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；
由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；
又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+，
所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以
C 不正确，
D 正确，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．若()12n x +的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，则()12n x +的展开式中含3x 项的系数为__________．
【答案】160
【解析】
分析：根据题意，结合二项式定理可得215n C =，再利用二项式通项公式即可. 详解：由二项式定理，()12n
x +的二项展开式中的第3项的二项式系数为2n C ， ∴有215n C =，解得6n =.
则有162r r r r T C x +=，当3r =时，得3362160C =，
∴()6
12x + 的展开式中含3x 项的系数为160.
故答案为：160.
点睛：本题考查二项式系数的性质，要注意区分某一项的系数与某一项的二项式系数的区别. 14．已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，
，，，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)2,+∞
【解析】
【分析】
通过A B ⋂≠∅，即可得到答案.
【详解】
根据题意，A B ⋂≠∅，则2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞.
【点睛】
本题主要集合交的运算，难度较小.
15．抛物线2:2C x py =的焦点为F ，点0,
8p P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线C 上的一点满足58
PF =，则抛物线C 的方程为________.
【答案】22x y =±
【解析】
【分析】 由0,8p P x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭在抛物线C 上,结合抛物线的定义,即可求抛物线C 的方程. 【详解】
当0p >时, 5||828
p p PF =
+=,解得1p =,则抛物线C 的方程为: 22x y =; 当0p <时, 5||288p p PF =--=,解得1p =-,则抛物线C 的方程为: 22x y =-; 故答案为: 22x y =±.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程,难度较易.
16．已知定义在R 上的函数()f x ，满足 ()()()(),+3f x f x f x f x -=-=，当3
(0,)2
x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是____.
【答案】9
【解析】
【分析】
令()()2ln 10f x x x =-+=，先求出当3
(0,)2
x ∈时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断()f x 在区间[]0,6上零点的个数。

【详解】
由于定义在R 上的函数()f x ，满足 ()()f x f x -=-，
∴函数()f x 为奇函数，则在[]0,6上必有(0)0f =， 当3
(0,)2x ∈，由()()
2ln 10f x x x =-+=得211x x -+=，即20x x -=，可得：1x =，故(1)0f =， ()()+3f x f x =，
∴函数()f x 为周期为3的奇函数，
(0)(3)(6)0f f f ∴===，此时有3个零点，又(1)(4)0f f ==,(1)(1)0f f -=-= ，
(1)(2)(5)=0f f f -==，此时有1，2，4，5四个零点； 当33333,()(3)()()22222x f f f f =
=-=-=-，故3()02
f =， 即339()(3)()0222f f f =+==，此时有两个零点39,22 综上所述：函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是9.
【点睛】
本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点的个数，做到不重不漏，综合性较强，属于中档题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某市要对该市六年级学生进行体育素质调查测试，现让学生从“跳绳、短跑400米、长跑1000米、仰卧起坐、游泳100米、立定跳远”6项中选择3项进行测试，其中“短跑、长跑、仰卧起坐”3项中至少选择其中1项进行测试.现从该市六年级学生中随机抽取了50名学生进行调查，他们选择的项目中包含“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数及人数统计如下表：（其中x y <）
已知从所调查的50名学生中任选2名，他们选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数不相等概率为
49，记ξ为这2名学生选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数之和.
（1）求x 的值；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望. 【答案】 (1) 20x (2)见解析
【解析】
分析：（1）由题意结合概率公式得到关于x 的方程，解方程可得20x =.
（2）由题意可知ξ的可能取值分别为2，3，4，5，6，该分布列为超几何分布，据此可得到分布列，利用分布列计算数学期望为()24
5
E ξ=
. 详解：（1）记“选择短跑、长跑、仰卧起坐的项目个数相等”为事件A ，则：
()222
5452
50
292014949x x
C C C P A C -++=-==， 所以2455000x x -+=，解得20x =或25x =， 因为x y <，所以20x =.
（2）由题意可知ξ的可能取值分别为2，3，4，5，6，
则()252501021225C P C ξ===，()1152025010031225C C P C ξ===，()112
525202
50315
41225C C C P C ξ+===，()11202525050051225C C P C ξ===，()2252
50300
61225
C P C ξ===. 从而ξ的分布列为：
数学期望为
()10100315234122512251225E ξ=⨯
+⨯+⨯ 500300588024
561225122512255
+⨯+⨯==. 点睛：本题的核心在考查超几何分布.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
18．在以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知点2A π⎫
⎪⎭
到直线():sin 04l m m πρθ⎛
⎫-=> ⎪⎝
⎭的距离为3.
（1）求实数m 的值；
（2）设P 是直线l 上的动点，点Q 在线段OP 上，且满足1OP OQ ⋅=，求点Q 轨迹的极坐标方程. 【答案】（1）4m =;（2）1sin()44
π
ρθ=-.
【解析】 【分析】
（1）分别求出A 的直角坐标与直线l 的直角坐标方程，再由点到直线的距离公式列式求得m 值； （2）设(,)Q ρθ，1(,)ρθP ，则11
ρρ
=，结合P 在直线l 上即可求得点Q 轨迹的极坐标方程．
【详解】
解：（1）由点)2A π，得A 的直角坐标为，由直线:sin()(0)4l m m π
ρθ-=>，
sin cos m θθ=，即0x y -=3=，解得4(0)m m =>； （2）直线:sin()44l πρθ-=．设(,)Q ρθ，1(,)ρθP ，则11ρρ=，1sin()44
π
ρθ-=，
sin()44πθρ∴-=，即点Q 轨迹的极坐标方程为1sin()44
π
ρθ=-．
【点睛】
本题考查轨迹方程，考查极坐标方程，考查学生分析解决问题的能力.
19．已知二项式
n
的展开式的第7项为常数项 （1）求n 的值；
（2）求()
1
23
24...2n n
n n n
n C C C --+++-的值 【答案】 (1) 10n =. (2)0. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为零，即可求出n 的值；（2）结
合（1）()
1
23
24...2n n
n n n
n C C C --+++-化为()()()()()12310
10
012310
1010101010222 (21)
121
=
02
2
C C C C C +-+-+-++----=--.
详解：（1）二项式通式
1r
n r
r
r n T C -+⎛= ⎝
()5262n r r r
n C x -=-
因为第7项为常数项， 所以
56
026
n ⨯-=，
解得10n = （2）因为10n =，
所以()
1
22
2
24...2n n n n
n C C C --+++- ()92310101010
1024...2C C C =-+++- ()()()()1
2310
12310
10101010
222 (22)
C C C C -+-+-++-=
-
()()()()1
2
3
10
012310
1010101010222 (21)
2
C C C C C +-+-+-++--=
-
当1x =时，()()()10
1
2
2121010101222C C C -=+-+- ()()3
10
310
1010
2...2C C +-++- 所以原式()10
121
=
02
--=-
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及二项式的应用，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二
项展开式的通项公式1r n r r
r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和
和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
20．已知曲线1C 的参数方程是x cos (y 2sin θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是ρ2cos θ=-． （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别是()1,π、π2,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线12M M 与曲线2C 相交于P 、Q 两点，射线
OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求
2211
OA OB +丨丨丨丨
的值．
【答案】（1）2
2
y x 14
+=，22(x 1)y 1++=；
（2）54 【解析】
分析：（1）把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程； 把曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（Ⅱ）由点1M 是圆2C 的圆心得线段PQ 是圆的直径，从而得OA OB ⊥；
在极坐标系下，设()1A ρ,θ，2πB ρ,θ2⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，，分别代入椭圆方程中，求出221211ρρ+的值，求和即得2211
OA OB +丨丨丨丨
的值．
详解：
(1)曲线1C 的参数方程是(θ2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩
为参数)，
化为普通方程是2
2
y x 14
+=；
化为极坐标方程是222
2
ρsin θ
ρcos θ14
+=；
又
曲线2C 的极坐标方程是ρ2cos θ=-，
化为直角坐标方程是2
2
(x 1)y 1++=；
(2)点1M 、2M 的极坐标分别是()1,π、π2,2⎛⎫
⎪⎝⎭，
∴直角坐标系下点()1M 1,0-，()2M 0,2；
∴直线12M M 与圆2C 相交于P 、Q 两点，所得线段PQ 是圆22(x 1)y 1++=的直径；
π
POQ 2
∠∴=
，OP OQ ∴⊥，OA OB ∴⊥； 又A 、B 是椭圆2
2
y x 14
+=上的两点，
在极坐标系下，设()1A ρ,θ，2πB ρ,θ2⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入方程22
22
ρsin θρcos θ14+=中，
有2
222
11
ρsin θ
ρcos θ14+=，
222222πρsin θπ2ρcos θ1
24⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝
⎭； 解得22
211sin θcos θρ4=+，
22
221cos θsin θρ4
=+；
2222221211sin θcos θcos θsin θρρ44
∴+=+++ 15
144
=+
=； 即22
115
OA OB 4
+=丨丨丨丨． 点睛：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程、极坐标方程化为普通方程，明确参数以及极坐标中各个量的含义，是较难的题目．
21．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l
的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭:3
OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2 【解析】 【分析】
（1）首先利用22
1cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{
x cos y sin ϕ
ϕ
=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普
通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．
【详解】
（1）圆C 的普通方程为()2
211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（2）设()11,ρθP ，则由2{3
cos ρθ
πθ==解得11ρ=，1
3πθ=，得1,3P π⎛⎫
⎪⎝⎭
； 设()22Q ,ρθ
，则由
2sin 3{
3
πρθπ
θ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭=
解得23ρ=，23π
θ=
，得3,3Q π⎛⎫
⎪⎝⎭
；
所以Q 2P =
【点睛】
本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.
22．已知函数()()x
2
f x x 3e x 4x =--+,()x
g x xe 5x 1=-+．
（Ⅰ）求函数()y f x =的单调减区间； （Ⅱ）证明:()()f x g x <；
（Ⅲ）当()x ,3∞∈-时，()f x ax 3≤-恒成立，求实数a 的值. 【答案】 (1) f(x)的单调递减区间是()ln2,2.(2)证明见解析.(3) 2a =. 【解析】 【分析】
(Ⅰ) 求导()()()
22x
f x x e =--'，由()0f x '<，即可得到函数()y f x =的单调减区间；
(Ⅱ) 记h(x)＝f(x) -g(x),设法证明()max 0h x <，即可证明()()f x g x < . (Ⅲ) 由题()(),33x f x ax ∈-∞≤-当时，恒成立，即()243
3
x
x a x e x +--≥
-，易证1x e x ≥+,当0x =时
取到等号，由()243
13
x a x x x +--+≥- 得()()()2
1343x x x a x +-≤+--,由此可求a 的值.
【详解】
(Ⅰ) 因为()()324x
x
f x e x e x =+--+'
()()222x x e x =---
()()
22x x e =--
由()0f x '<，得ln22x << 所以f(x)的单调递减区间是()ln2,2. (Ⅱ) 记h(x)＝f(x) -g(x)＝2391x e x x --+-,
()329x h x e x '=--+,()320,x h x e '=--<'
所以(h x '）在R 上为减函数
因为()()060,1370h h e =-''=>+<
所以存在唯一0(0,1x ∈），使0)0h
x '=（即003290x
e x --+=，
00329x e x -=-,
当()0,x x ∈-∞时，()0h x '>； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<.
所以()()02
000max 391x
h x h x e x x ==--+-
2
0009291x x x =-+-+- 2001110x x =-+-
()()001100x x =---<
所以()()f x g x < . (Ⅲ) 因为3x <, 所以()243
3
x
x a x e x +--≥
-,
易证1x e x ≥+,当0x =时取到等号， 由()243
13
x a x x x +--+≥
- 得
()()()21343x x x a x +-≤+--, ()20a x -≥,
所以20a -=即2a =. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。