配套K12中考数学培优试题(含解析)

山东省枣庄市滕州市鲍沟中学2016年中考数学培优试题
一、选择题
1．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是( )
A．B．C．D．全体实数
2．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3．⊙O的半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP=x，PQ2=y，则y与x的函数图象大致是( )
A．B．C．D．
3．小李从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面四条信息：①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③ab＞0；④a﹣b+c＜0．你认为其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角
形系数”，若抛物线三角形系数为[﹣1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值( )
A．±2B．±3C．2 D．3
5．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M
的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x( )
A．有最大值﹣4.5 B．有最大值4.5 C．有最小值4.5 D．有最小值﹣4.5
7．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=1．
其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为( )
A．B．C．D．
9．记抛物线y=﹣x2+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P1，P2，…，P2011，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q2011，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就记w=s12+s22+…+s20112，W 的值为( )
A．505766 B．505766.5 C．505765 D．505764
10．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( ) A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
11．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米B．5米C．6米D．7米
12．已知一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
二、填空题
13．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为__________．
14．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行__________m才能停下来．
15．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：
（1）抛物线y2的解析式是__________，顶点坐标为__________；
（2）阴影部分的面积__________；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为__________，开口方向__________，顶点坐标为__________．
16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两
点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=__________．
17．如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是__________和__________．
18．如图1，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是 AO上一个动点，过点P 作AC 的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP=x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系大致如图2所示的抛物线．
（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（__________，__________）；
（2）菱形ABCD的周长为__________．
19．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为__________．
20．如图，抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为__________．
21．已知抛物线y=ax2﹣4ax+c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P 的坐标为__________．
三、解答题
22．（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1，x2，求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，求a的值．
（3）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A．B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
23．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM
平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
24．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
25．某公司拟用运营指数y来量化考核司机的工作业绩，运营指数（y）与运输次数（n）和平均速度（x）之间满足关系式为y=ax2+bnx+100，当n=1，x=30时，y=190；当n=2，x=40时，y=420．
（1）用含x和n的式子表示y；
（2）当运输次数定为3次，求获得最大运营指数时的平均速度；
（3）若n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0），同时x减少m%的情况下，而y的值保持不变？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）
2016年山东省枣庄市滕州市鲍沟中学中考数学培优试卷
一、选择题
1．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，
另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的
取值范围是( )
A．B．C．D．全体实数
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】压轴题．
【分析】因为抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，所以令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，则f（2）＜
0，解不等式可得m＞，又因为抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，所以f（0）＜﹣，解得m＜，即可得解．
【解答】解：根据题意，
令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，
∵抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，
∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，
又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，
∴f（0）＜﹣，解得：m＜，
综上可得：＜m＜，
故选A．
【点评】本题考查二次函数图象特征，要善于合理运用题目已知条件．
2．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3．⊙O的半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP=x，PQ2=y，则y与x的函数图象大致是( )
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意列出函数表达式，即可判断．
【解答】解：如图，作PC⊥OA，垂足为C，
∵PC∥BO，
∴△ABO∽△APC，
∴，
∵AP=x，OA=4，OB=3，
∴PC=，AC=，
∴OC=4﹣，
∴OP2=（4﹣）2+（）2=x2﹣x+16，
∴y=OP2﹣OQ2=x2﹣x+12，
当x=0时，y=12，当x=5时，y=5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的图象与列函数表达式，分析题意弄清题目中的函数关系是做出正确判断的根本．
3．小李从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面四条信息：①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③ab＞0；④a﹣b+c＜0．你认为其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据图象与x的交点的个数，判断根的判别式△＞0；②取x=0时，y=c＞0但c
＜1；③对称轴方程x=﹣，图象开口方向判断a与0的关系，再判断b与0的关系；④取
x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0．
【解答】解：①因为二次函数图象与x轴有两个交点，所以根的判别式b2﹣4ac＞0．故①正确；
②根据图象知，当x=0时，0＜y＜1，即0＜c＜1；故②不正确；
③由该函数的图象知，开口向下，
∴a＜0；
对称轴方程x=﹣＜0，
∴b＜0，
∴ab＞0．故③正确；
④根据图象可知，当x=﹣1时，y＞0，
所以a﹣b+c＞0．
故④不正确；
综上所述，正确共2个．
故选B．
【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
4．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为[﹣1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值( )
A．±2B．±3C．2 D．3
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】新定义．
【分析】把抛物线三角形系数代入抛物线，令y=0求出点A的坐标，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值．
【解答】解：∵抛物线三角形系数为[﹣1，b，0]，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+bx=﹣（x﹣）2+，
∴顶点坐标为（，），
令y=0，则﹣x2+bx=0，
解得x1=0，x2=b，
∴与x轴的交点为（0，0），（b，0），
∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴=|b|，
∴b2=2b或b2=﹣2b，
∵b=0时，抛物线与x轴只有一个交点（0，0），
∴b=0不符合题意，
∴b=2或b=﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．
5．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M
的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x( )
A．有最大值﹣4.5 B．有最大值4.5 C．有最小值4.5 D．有最小值﹣4.5
【考点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】可先求得N点坐标，再把M和N的坐标分别代入所满足的函数解析式，整理可求得ab和a+b的值，代入可求得二次函数解析式，可求得其最值．
【解答】解：
∵M、N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），
∴N点坐标为（﹣a，b），
∵点M在双曲线y=上，
∴2ab=1，解得ab=，
∵点N在直线y=x+3上，
∴b=﹣a+3，解得a+b=3，
∴二次函数解析式为y=﹣x2+3x，
∴当x=﹣=3时，函数有最大值，y max=﹣×9+9=4.5．
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据点的对称及点的坐标与函数解析式的关系求得ab和a+b的值是解题的关键．
7．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：
①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=1．
其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【分析】若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．
【解答】解：∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，
解得：x=0或x=2，
∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②正确；
∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；
当M=2，2x=2，x=1；
x＞2时，y2＞y1；
当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+，x2=2﹣（舍去），
∴使得M=2的x值是1或2+，
∴④错误；
∴正确的有②③两个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
8．（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为( )
A．B．C．D．
【考点】概率公式；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P 的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．
【解答】解：点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线y=﹣x2+4x上的共有（1，3）、
（2，4）、（3，3）3种可能，其概率为．
故选B．
【点评】本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．
9．记抛物线y=﹣x2+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P1，P2，…，P2011，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q2011，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就记w=s12+s22+…+s20112，W 的值为( )
A．505766 B．505766.5 C．505765 D．505764
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；压轴题；规律型．
【分析】根据等分求出OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P2010P2011=1，再利用抛物线解析式求出P1Q1，
P2Q2，…，P2011Q2011的平方的值，利用三角形的面积表示出S1，S2，…，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．
【解答】解：∵P1，P2，…，P2011将线段OA分成2012等份，
∴OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P2010P2011=1，
∵过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1，
∴﹣x2+2012=1，
解得x2=2011，
∴S12=（×1×P1Q1）2=×2011，
同理可得S22=×2010，
S32=×2009，
…
S20112=×1，
∴w=S12+S22+S32+…+S20112
=×2011+×2010+×2009+…+×1
=×
=505766.5．
【点评】本题是对二次函数的综合考查，根据图形的变化规律，分别表示出各三角形的面积的平方是解题的关键．
10．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( ) A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
【解答】解：∵二次函数的解析式y=（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），
∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；
而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，
∴x≤3，
∴x﹣m≤0，
∴m≥3．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质．解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程y=（k﹣h）x2﹣b中的h，b的意义．
11．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米B．5米C．6米D．7米
【考点】二次函数的应用．
【专题】计算题．
【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h=﹣5（t ﹣1）2+6的顶点坐标即可．
【解答】解：∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，
∴当t=1时，小球距离地面高度最大，
∴h=﹣5×（1﹣1）2+6=6米，
故选C．
【点评】解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，
二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是（﹣，）当x等于﹣时，y的最大值（或
最小值）是．
12．已知一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解．
【分析】将x=﹣3代入x2+bx﹣3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx﹣3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：把x=﹣3代入x2+bx﹣3=0中，得9﹣3b﹣3=0，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3，
抛物线开口向上，对称轴为x=﹣=﹣1，
∵﹣＜﹣1＜﹣＜，且﹣1﹣（﹣）=，﹣﹣（﹣1）=，而＞，
∴y1＜y2＜y3．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．
二、填空题
13．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确
定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为（2，﹣6）．
【考点】二次函数综合题．
【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．
【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），
∴×42+4b=0，
∴b=﹣2，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2，
∵点C（1，﹣3），
∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），
直线AC′与x=2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，
当x=2时，y=﹣6，
∴D点的坐标为（2，﹣6）．
故答案为：（2，﹣6）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．
14．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
【解答】解：∵a=﹣1.5＜0，
∴函数有最大值．
∴y最大值===600，
即飞机着陆后滑行600米才能停止．
故答案为：600．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
15．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：
（1）抛物线y2的解析式是y2=﹣（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）；
（2）阴影部分的面积2；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为y3=（x+1）2﹣2，开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线y2的解析式，再根据y2的解析式求出顶点坐标即可；
（2）根据阴影部分的面积等于底×高，列式计算即可；
（3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线y3的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2，
∴抛物线y2的解析式是y2=﹣（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）．
故答案为：y2=﹣（x﹣1）2+2，（1，2）；
（2）阴影部分的面积是：1×2=2．
故答案为：2；
（3）∵将抛物线y2绕原点O旋转180°后，得到抛物线y3的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
∴抛物线y3的解析式为y3=（x+1）2﹣2，开口方向向上．
故答案为：y3=（x+1）2﹣2，向上，（﹣1，﹣2）．
【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变化，用到的知识点是二次函数的图象和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换．
16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=．
【考点】二次函数综合题．
【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2=a，解得x=，
∴点B（，a），=a，
则x=，
∴点C（，a），
∴BC=﹣．
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1=（）2=3a，
∴点D的坐标为（，3a）．
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴=3a，
∴x=3，
∴点E的坐标为（3，3a），
∴DE=3﹣，
∴==．
故答案是：．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．
17．如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是y=﹣x2+2x和y=x2+2x（答案不唯一）．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】新定义．
【分析】连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，
根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．
【解答】解：连接AB，
根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，
设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，
根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，
∵OA=MA，
∴△AOM是等边三角形，
设OM=2，则点A的坐标是（1，），
则，
解得：
则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，
抛物线C2的解析式为y=x2+2x，
故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．
18．如图1，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是 AO上一个动点，过点P 作AC 的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP=x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系大致如图2所示的抛物线．
（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（，）；
（2）菱形ABCD的周长为2．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】（1）根据二次函数的图象可直接得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，从而得到AO=BD，设AO=a，然后求出△AMN和△ABD相似，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出MN，然后根据三角形的面积列出y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题求出a，从而得到AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的周长公式求解即可．
【解答】解：（1）由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标为（，）；
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC=2AO，
∵AC=2BD，
∴AO=BD，
设AO=a，
∵MN⊥AC，
∴MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD，
∴，，解得MN=x，
∴△OMN的面积为y=MN•PO=x（a﹣x）=﹣（x2﹣ax）=﹣（x﹣a）2+a2，
由图2可知，当x=时，y的最大值为，∴a=，
解得a=1，
∴AO=1，BO=BD=，在Rt△AOB中，AB==，
∴菱形的周长=．
故答案为：（1）（，）、（2）2．
【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，勾股定理，列式得到y与x的函数关系式是解题的关键．
19．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3．
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】探究型．
【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，此方程就化为求
函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出
结论．
【解答】解：∵P的纵坐标为1，
∴1=﹣，
∴x=﹣3，
∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．
20．如图，抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为﹣12．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先求出抛物线m的解析式，得到顶点A的坐标，求出OA的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积．
【解答】解：∵抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），
∴抛物线m的对称轴为直线x=3，
∵抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，
∴设抛物线m的解析式为y=（x﹣3）2+k，
将O（0，0）代入，得（0﹣3）2+k=0，
解得k=4，
∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）2+4，顶点A的坐标为（3，4），
由勾股定理，得OA=5．
连接OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知C的坐标为（3，﹣4），
阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积=•π•52﹣×8×3=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
21．已知抛物线y=ax2﹣4ax+c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P 的坐标为（2，2）．
【考点】二次函数综合题．
【分析】根据A的坐标和顶点B的纵坐标，先求得抛物线的解析式和顶点B的坐标，然后根
据A、B的坐标求得直线AB的解析式，进而设出直线PC的解析式y=x+b，因为D是线段
CP的中点，得出P的纵坐标=2b，P的横坐标等于OC=2b，然后根据以上等式求得b的值，即可求得P的坐标；
【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+c经过点A（0，2），
∴c=2，
∵y=ax2﹣4ax+2=a（x﹣2）2﹣4a+2，顶点B的纵坐标为3，
∴a=﹣，抛物线的顶点B坐标为：（2，3），
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，直线AB的解析式为：y=x+2，
∵直线PC的斜率为，
设直线PC的解析式为：y=x+b，
∵D是线段CP的中点，
∴P的纵坐标为2b，
代入得横坐标x=2b，
∴P（2b，2b）
∴2b=﹣x2+x+2，解得：x=2+2，x=2﹣2，
∴2+2=2b，2﹣2=2b，
整理得：b2=2，
∴b=，b=﹣，
∴P的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）；
【点评】本题考查了待定系数法的应用，三角形中位线的性质以及平行线的性质等，本题是二次函数的综合题，根据题意找出交点的特点是本题的关键；
三、解答题
22．（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1，x2，求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，求a的值．
（3）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A．B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．。