2019-2020学年贵州省六盘水市高考数学监测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．
A ．()ln f x x x =
B ．()x x f x e e -=-
C ．()sin 2f x x =
D ．3()f x x x =-
2．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）
A ．223
B ．6
C ．3
D ．13 3．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）
A ．83π
B ．163π
C ．(833)π
D ．(16312)π
4．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则
A ．//a b
B ．a b ⊥
C ．()-⊥a b a
D ．()
-⊥a b b 5．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12- B ．-2 C ．12 D ．2
6．设双曲线22
221x y a b
-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b +则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A ．(1,0)(0,1)-
B ．(,1)
(1,)-∞-+∞ C
．((0,2) D
．(,(2,)-∞+∞
7．已知复数12i z i
-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 8．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x
，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)(1,)
D ．(,1)(0,1)-∞-
9．tan570°=（ ）
A B ．
C
D 10．已知函数ln(1),0()11,02
x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ） A ．[32ln 2,2)- B ．[32ln 2,2]- C ．[1,2)e - D ．[1,2]e -
11．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =
+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ）
A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭
D ．,6π⎛⎫π ⎪⎝⎭
12．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()
11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ）
A ．()()sin cos βα<f f
B ．()()sin cos βα>f f
C ．()()sin =cos βαf f
D ．以上情况均有可能
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 满足约束条件10,240,260,x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩
则34z x y =+的最小值为__________.
14．已知实数x ，y
满足0,
y y ⎧⎪≤⎨≥⎪⎩则x y +的取值范围是______. 15．（5分）已知椭圆方程为2
2
12y x +=，过其下焦点F 作斜率存在的直线l 与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点，则AOB 面积的取值范围是____________．
16．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数f （x ）=ax 2–a –lnx ，g （x ）=
1e e x x -，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g （x ）＞0；
（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f （x ）＞g （x ）在区间（1，+∞）内恒成立.
18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),n n S ()*n N
∈在函数122x y +=-的图像上； （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求{}n b 的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围； 19．（6分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
b C C (sin )=+.
（1）求角B 的大小；
（2）若3A π
=，D 为ABC ∆外一点，DB CD 2,1==，求四边形ABDC 面积的最大值.
20．（6分）已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<的解集为()2,2-．
（1）求m 的值；
（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：1119234
a b c ++≥． 21．（6分）己知点E ，F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的上顶点和左焦点，若EF 与圆2243
x y +=相切于点T ，且点T 是线段EF 靠近点E 的三等分点.
()1求椭圆C 的标准方程；
()2直线:l y kx m =+与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与l 垂直的直线l '与圆228x y +=相交于A ，B 两点，求PAB △面积的取值范围.
22．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点，已知2,23,4,4,3BD BC CD DP DM =====.
（Ⅰ）证明:平面PBC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）求二面角A BM C --的余弦值.
23．（8分）新高考，取消文理科，实行“33+”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表： 年龄（岁）
[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数
5 15 10 10 5 5 了解 4 12
6 5 2 1
（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；
（2）请根据上表完成下面22⨯列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
了解新高考 不了解新高考 总计
中青年
附：2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
（3）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及()E X .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【解析】
【分析】
奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可.
【详解】
A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；
B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x x x x f x f x e e e e --+-=-+-=
满足奇函数，又()'0x x f x e e -=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；
C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=
满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；
D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()
33()0f x f x x x x x +-=-+-+=， 满足奇函数，()2
'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；
故选：B
【点睛】
此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.
2．C
【解析】
【分析】
利用建系，假设AB 长度，表示向量AC 与BD ，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥
平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB 平面ABD
所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD
所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥
所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz -
如图
设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D
所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---
所以3cos ,33AC BD AC BD AC BD ⋅=
== 故选：C
【点睛】
本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平
面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.
3．B
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =,ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.
【详解】
根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =，4AB AC BC ===，
ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体， 它的表面积为22234163S rl πππ==⨯=.
故选:B
【点睛】
本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.
4．D
【解析】
【分析】
画出a ，b ，根据向量的加减法，分别画出()a b λ-的几种情况，由数形结合可得结果.
【详解】
由题意，得向量()a b -是所有向量()a b λ-中模长最小的向量，如图，
当AC BC ⊥，即()-⊥a b b 时，||AC 最小，满足a b a b λ-≤-，对于任意的R λ∈，
所以本题答案为D.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.
5．A
【解析】 【分析】
设BD k BC =，用,AB AC 表示出BM ，求出,λμ的值即可得出答案. 【详解】
设BD k BC k AC k AB ==-
由2AM AD =
()
112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+- 1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
， 1,222
k k λμ∴=--=， 12
λμ∴+=-. 故选：A
【点睛】
本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.
6．A
【解析】
【分析】 【详解】
由题意,
根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)D
x （，则由 BD AB ⊥得：，
因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以
，
即01b a
<
<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)b k a =±∈-⋃（，故选A ． 7．A 【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案.
【详解】
解：1(1)(2)312(2)(2)55
i i i z i i i i --+===---+， z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 故选：A.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
8．D
【解析】
构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()
'ln 'f x g x xf x x =+，
由()()1'f x lnx f x x
<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数，
且()()1ln110g f =⨯=，
当x ∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x 2-1)f(x)>0;
当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x 2-1)f(x)<0
∵f(x)是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)<0
∴当x ∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)>0.
综上所述,使得(x 2-1)f(x)>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃.
本题选择D 选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 9．A
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】
tan570°=tan （360°+210°）=tan210°=tan （180°+30°）=tan30°=
3． 故选：A ．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.
10．A
【解析】
分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =，
则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-，
则满足01,20n e m <<--<≤，
则1
ln(1)12
n m +=
+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111
n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<， 当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-， 当0n =时，()022ln12h =-=；
当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<，
所以32ln 2()2h n -<<，即n m -的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 11．C 【解析】 【分析】
求出导函数()f x '
，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数
性质可得结论． 【详解】
()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221
()4
f x x bx a c ac '∴=+++-.
若()f x 存在极值，则()
222
1404
b a
c ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<
又2221
cos ,cos 22
a c
b B B a
c +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π．
故选：C ． 【点睛】
本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．
12．B 【解析】 【分析】
由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较． 【详解】 由1
(1)()f x f x +=-
可得1(2)[(1)1]()(1)
f x f x f x f x +=++=-
=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增， 因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>
即1
2
απβ>-， 所以1
cos cos()2
απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，
(cos )(sin )f f αβ<．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．13- 【解析】 【分析】
画出可行域，通过平移基准直线340x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知： 可行域是由三点31,
2A ⎛⎫
⎪
⎝⎭，()1,4B -，162,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
构成的三角形及其内部，当直线340x y z +-=过点()1,4-时，z 取得最小值()314413⨯+⨯-=-.
故答案为：13-
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
14．1,2⎡⎤-⎣⎦
【解析】 【分析】
根据约束条件画出可行域，即可由直线的平移方法求得x y +的取值范围. 【详解】 .
由题意，画出约束条件表示的平面区域如下图所示，
令z x y =+，则y x z =-+
如图所示，图中直线所示的两个位置为y x z =-+的临界位置，
根据几何关系可得y x z =-+与y 轴的两个交点分别为()(0,1,2-，
所以x y +的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：2⎡-⎣
【点睛】
本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用，由数形结合法求线性目标函数的取值范围，属于中档题. 15．(0,
]2
【解析】 【分析】 【详解】
由题意，1a b =
=
，则1c ==，得(0,1)F -．由题意可设l 的方程为1y kx =-，
1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组22
1
220
y kx x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y 得22(2)210+--=k x kx ，>0∆恒成立，12212-=+x x k ，12222+=+k x x k
，则||AB =
=，点(0,0)O 到直线l 的距
离为d =
，则1
||2△=⋅AOB
S AB
d ==
+
，又
≥
2=
，则
0△<=
≤
AOB S
，当且仅当
=
即0k =时取等号．故AOB
面积的取值范围是(0,
2
. 16．320x y --= 【解析】 【分析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】 因为1
()2f x x x
'
=
+， 所以(1)3k f '==， 又(1)1,f =
故切线方程为13(1)y x -=-， 整理为320x y --=， 故答案为：320x y --= 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）当x ∈
（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x ＞0，()f x 单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）a ∈1
[+)2
∞，
. 【解析】
试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对()f x 求导，再对a 进行讨论，判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（Ⅲ）问，构造函数()h x =()f x -()g x （1x ≥），利用导数判断函数()h x 的单调性，从而求解a 的值.
试题解析：（Ⅰ）2121
()2(0).ax f x ax x x x --=>'=
0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+（，）
∞内单调递减. 0a >当时，
由()f x '=0有
x =当x ∈
（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x ∈
+)
∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增. （Ⅱ）令()s x =1e x x --，则()s x '=1e 1x --. 当1x >时，()s x '＞0，所以1e x x ->，从而()g x =111
e
x x --＞0. （Ⅲ）由（Ⅱ），当1x >时，()g x ＞0.
当0a ≤，1x >时，()f x =2
(1)ln 0a x x --<.
故当()f x ＞()g x 在区间
1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当1
2
a <<
＞1.
由（Ⅰ）有(1)0
f f <=,而0
g >， 所以此时()f x ＞()g x 在区间
1+)∞（，内不恒成立. 当1
2
a ≥
时，令()h x =()f x -()g x （1x ≥）.
当1x >时，()h x '=122111112e x
ax x x x x x x --+->-+-=3222
21210x x x x x x -+-+>>. 因此，()h x 在区间
1+)∞（，单调递增. 又因为()h 1=0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x ＞0，即()f x ＞()g x 恒成立.
综上，a ∈1
[+)2
∞，
. 【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题
【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．
18．（1）()*
2n
n a n =∈N （2）当n 为偶数时，2233n n b =+；当n 为奇数时，22
33
n n b =-.（3）(1,)+∞
【解析】 【分析】
（1）根据1n n n a S S -=-,讨论1n =与2n ≥两种情况,即可求得数列{}n a 的通项公式;
（2）由（1）利用递推公式及累加法,即可求得当n 为奇数或偶数时{}n b 的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.
（3）分类讨论,当n 为奇数或偶数时,分别求得1
n
n b b +的最大值,即可求得λ的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知,1
22n n S +=-.
当2n ≥时,1n n n a S S -=-()1
2
222n n +=---2n =,
当1n =时,11
1122a S +==-2=也满足上式.
所以()*
2
n
n a n =∈N .
（2）解法一：由（1）可知12n n n b b ++=()
*
n ∈N , 即12k
k k b b ++=(
)
*
k ∈N . 当1k =时,1
212b b +=,①
当2k =时,2322b b +=,所以2
322b b --=-,② 当3k =时,3
432b b +=,③
当4k =时,4542b b +=,所以4
542b b --=-,④
……
当1k n =-时,n 为偶数1
12n n n b b --+= 当k n =时,n 为偶数所以1
12n n n b b ----=-
以上1n -个式子相加,得
2341
122222
n n b b -+=-+-+⋅⋅⋅+1
21(2)1(2)
n -⎡⎤--⎣⎦
=
--2233
n =+. 又10b =,所以当n 为偶数时,22
33
n n b =+.
同理,当n 为奇数时,
2341
122222
n n b b -+=-+-+⋅⋅⋅-1
21(2)1(2)
n -⎡⎤--⎣⎦
=
--223
n
-=, 所以,当n 为奇数时,22
33
n n b =-.
解法二：
猜测：当n 为奇数时,
1222222n n n b --=-+⋅⋅⋅+-11
12
12112n n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
2233n =-.
猜测：当n 为偶数时,
1222222n n n b --=-+⋅⋅⋅-+11
12
12112n n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
2233n =+.
以下用数学归纳法证明：
1n =,命题成立；
假设当n k =时,命题成立；
当n 为奇数时,122
2222k k k b --=-+⋅⋅⋅+-, 当1n k =+时,n 为偶数,由12k
k k b b ++=(
)
*
k ∈N 得
1221222222k k k k k k b b --+=-=-++⋅⋅⋅-+
故,1n k =+时,命题也成立.
综上可知, 当n 为奇数时22
33
n n b =-
同理,当n 为偶数时,命题仍成立.
（3）由（2）可知()()22
33
2233
n n n
n b n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数
. ①当n 为偶数时,1122332233
n n n n b b +++
=-12222n n ++=-1
13222n +=++, 所以1n n b b +随n 的增大而减小从而当n 为偶数时,1n n b b +的最大值是
2
3
1b b =. ②当n 为奇数时,1122
332233
n n n n b b ++-
=+1
2222n n +-=+113222n +=-+, 所以1n n b b +随n 的增大而增大,且
11131
12222
n n n b b ++=-<<+. 综上,
1
n
n b b +的最大值是1. 因此,若对于任意的*n ∈N ,不等式1n n b b λ+<恒成立,只需1λ>, 故实数λ的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】
本题考查了累加法求数列通项公式的应用,分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法,数学归纳法证明数列的应用,数列的单调性及参数的取值范围,属于难题. 19．（1）3
B π
=（2
）
24
+ 【解析】 【分析】
（1
）根据正弦定理化简等式可得tan B =3
B π
=
；
（2）根据题意，利用余弦定理可得254cos BC D =-，再表示出sin BDC S D ∆=，表示出四边形ABCD S ，进而可得最值.
【详解】
（1）
3(sin )a b C C =，由正弦定理得： sin (sin )A B C C =
在ABC ∆中，()sin sin A B C =+)sin sin cos B C B C B C +=+，
sin sin sin B C B C =，
sin 0,sin C B B ≠=，即tan B =()0,,3
B B π
π∈∴=
.
（2）在BCD ∆中，2,1BD CD ==22212212cos BC D ∴=+-⨯⨯⨯54cos D =-
又3
A π
=，则ABC ∆为等边三角形，21sin 23ABC
S
BC π=
⨯=4
D - 又1
sin sin 2
BDC
S
BD DC D D =⨯⨯⨯=，
sin 4ABCD S D D ∴=
+-=2sin()43
D π
+--
∴当56D π=
时，四边形ABCD 的面积取最大值，最大值为24
+. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题． 20．（1）4m =；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】
（1）将不等式(2)0f x +<的解集用m 表示出来，结合题中的解集，求出m 的值； （2）利用柯西不等式证明. 【详解】
解：（1）(2)2||0f x x m +=-<，||2
m
x <
， 22
m m x ∴-
<<， 因为()20f x +<的解集为()2,2-，所以
22
m
=， 4m ∴=；
（2）由（1）234a b c ++= 由柯西不等式2111
()(23)(111)923a b c a b c
+
+++≥++=，
1119234
a b c ∴++≥ 当且仅当43
a =，23
b =，4
9c =，等号成立．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.
21．()122
162
x y +=;()
2(
0,4⎤⎦. 【解析】 【分析】
()1连接OT ，由三角形相似得，24
3
OT ET TF =⋅=
，进而得出26a =，22222b OE OT ET ==+=，写出椭圆C 的标准方程；
()2由22
16
2y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()222
316360k x kmx m +++-=，因为直线:l y kx m =+与椭圆C 相切于点P ，
0∆=，解得2331km x k -=+，2
31
m
y k =+，因为点P 在第二象限，所以0k >，0m >，
所以m =，设直线l '与l 垂直交于点Q ，则PQ 是点P 到直线l '的距离，设直线l '的方程为1
=-y x k
，则
PQ =，求出PAB △面积的取值范围.
【详解】
解：()1连接OT ，由EOT OFT ∽可得2
124
333
OT ET TF a a =⋅=
⋅=， 26a =，22222b OE OT ET ==+=，
椭圆C 的标准方程22
162
x y +=；
()2由22
16
2y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()222
316360k x kmx m +++-=， 因为直线:l y kx m =+与椭圆C 相切于点P ，
所以()()()()2
2222
64313612620km k m k m ∆=-+-=+-=，即2262m k =+，
解得2331km x k -=
+，231
m
y k =+，
即点P 的坐标为22
3,3131km
m k k -⎛⎫
⎪++⎝⎭
， 因为点P 在第二象限，所以0k >，0m >，
所以m =，
所以点P
的坐标为⎛⎫
， 设直线l '与l 垂直交于点Q ，则PQ 是点P 到直线l '的距离， 设直线l '的方程为1
=-
y x k
，
则PQ =
=
=
= 当且仅当2
213k k =
，即2
3
k =时，PQ
所以1
42
PAB
S
PQ =⨯≤，即PAB △
面积的取值范围为(
0,4⎤⎦. 【点睛】
本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ
）.
【解析】 【分析】
(Ⅰ) 先证明BC PD ⊥ ，再证明BC ⊥平面PBD ，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证； (Ⅱ)根据题意以,,DA DC DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM 和平面BMC 的向量，利用公式即可求解. 【详解】
(Ⅰ)证：由已知得222BD BC CD BC BD +=∴⊥ 又PD ⊥ 平面ABCD ，
BC ⊂平面ABCD ，BC PD ∴⊥，
而PD BD D ⋂=故，BC ⊥平面PBD
BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC BD ⊥，推理知梯形中//AB CD ，AD AB ⊥，AD DC ⊥， 有90ADB BDC ∠+∠=，又90BCD BDC ∠+∠=，故ADB BCD ∠=∠ 所以ABD ∆相似BDC ∆，故有
AB BD BD DC =，即2
124
AB AB =⇒=
2222
213
AD BD AB
∴=-=-=
所以，以,,
DA DC DP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz
-，
则(0,0,0),(3,0,0),(3,1,0),(0,4,0),(0,0,3)
D A B C M
(0,1,0)
AB=，(3,3,0)
BC=-，(3,1,3)
BM=--，设平面ABM的法向量为
1
111
(,,)
n x y z
=，则
1
1
1111
0330
y
n AB
n BM x y z
=
⎧
⎧⋅=
⎪⎪
⇒
⎨⎨
⋅=-+=
⎪⎪
⎩⎩
令13
x=，则
1
3
z=(13
n
∴=是平面AMB的一个法向量
设平面BMC的一个法向量为
2222
(,,),
n x y z
=
22
2
2222
330
0330
x y
n BC
n BM x y z
⎧
⎧+=
⋅=
⎪⎪
⇒
⎨⎨
⋅=
⎪-+=
⎪
⎩⎩
令23
x=，则
2
3
y=
2
43
3
n
⎛
∴=
⎝⎭
，是平面BMC的一个法向量
12
122
1222
22
43
3)3,
3
cos,
43
3333
3
n n
n n
n n
⋅
⋅
<>==
⎛⎫
+++ ⎪
⎝⎭
13
4
又二面角A BM C
--为钝二面角，其余弦值为13.
【点睛】
本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
23．（1）
2
5
P=；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，
6
()
5
E X=.
【解析】 【分析】
（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率； （2）根据数据列出列联表，求出2K 的观测值，对照表格，即可得出结论；
（3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X 可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解. 【详解】
（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率22113015
P ==， 中老年对新高考了解的概率82205
P ==. （2）22⨯列联表如图所示
2
2
50(221288) 5.56 3.84130202030
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. （3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人， 则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，
则03233
51
(0)10C C P X C ===；12233563(1)105C C P X C
====； 51
22333
(2)10
C C P X C ===.
所以X 的分布列为
36()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1
(())f f e =（ ）
A ．
3
2
B ．1
C ．-1
D ．0
2．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-
的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74 B ．121
C ．74-
D ．121-
3．函数cos ()22x x
x x f x -=
+在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．如果实数x y 、满足条件10
{1010
x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3-
5．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）
A ．2
B ．22
C ．23
D ．1
6．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的
值为 ( ) A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2
2
62x m y m -+--=与圆2C ：()()2
2
121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
8．若实数x ，y 满足条件250
24001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )
A ．
5
2
B ．1
C ．2
D ．0
9．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ） A ．3 B ．
32
C ．12
-
D ．
12
10．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．162B 15C ．3
D ．311．已知集合{}|0A x x =<，{}
2
|120B x x mx =+-=，若{}2A
B =-，则m =（ ）
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8
12．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =
A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）在长方体1111-ABCD A B C D 中，已知棱长1AB =，体对角线16AC =两异面直线1C D 与1A A 所成的角为45︒，则该长方体的表面积是____________．
14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin 3A B C +=，且1c =，则ABC ∆面积的最大值为________.
15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:3C xy =上任意一点P 到直线:30l x +=的距离的最小值为________．
16．已知集合{
1,2,4}A =，{
}
2
|20B x x x =-<，则A
B =__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为123x m y m ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（m 为参数），以坐标原点为极点，
x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点A 的极坐标为2152,33π⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
． （1）求直线l 的极坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于B ，C 两点，求ABC 的面积． 18．已知函数
()()()
2
21x f x x e a x =---,其中a ∈R ,()ln g x x x =-.
(1)函数()f x 的图象能否与x 轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由. (2)若()()()h x f x g x =-在1x =处取得极大值,求实数a 的取值范围.
19．（6分）为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得
5分，放入其它箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[]0,20、(]20,40、
(]40,60、(]60,80、(]80,100分组，绘成频率分布直方图如图：
（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[]0,20和(]20,40内的人数；
（2）从所抽取的20人中得分落在组
0,40的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望.
20．（6分）已知,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-，()|21||2|f x x x =++-. （1）求22a b +的最小值；
（2）若对任意,(0,)a b ∈+∞，都有(
)22
()4f x a b
≤+，求实数x 的取值范围.
21．（6分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若(,)m a b c =-，()sin sin ,sin sin n A B B C =-+，(1,2)p =，且m n ⊥.
（1）求角C 的值； （2）求n p ⋅的最大值. 22．（8分）在①53A B =，②122
114a a B -=，③535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d .设,n n A B 分别是数列{}{},n n a b 的前n 项和，且123,3b A ==， ， （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）设1
3
2n
a
n n n c b b +=+
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 23．（8分）设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点()00,P x y 在椭
圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，001,x y e ==.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）延长12,PF PF 分别交椭圆于点,A B （,A B 不重合）.设1122,AF F P BF F P λμ==，求λμ+的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
由函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1
(())f f e 的值，得到答案.
【详解】
由题意函数32,0
()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，
则11()ln 1f e e ==-，所以1313
(())(1)2(1)2
f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】
根据5
6
7
8
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：
()+++-3
33335678()C C C C x ，进而得到其系数，
【详解】
因为在5678
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，
所以含3x 的项为：()+
++-3
333356
7
8
()C C C C x ，
所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++，
()10203556121=-+++=-，
故选：D 【点睛】
本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 3．C 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性及函数在02
x π
<<时的符号，即可求解.
【详解】 由cos ()()22
x x
x x
f x f x --=-
=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02
x π
<<
时，cos 0x >，
cos ()22
0x x
x x
f x -∴=
+＞，排除选项D ， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 4．B 【解析】 【分析】 【详解】
解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选B
5．C 【解析】 【分析】
利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度. 【详解】
几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =
故选：C. 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】 抛物线
的准线为
， 双曲线
的两条渐近线为
， 可得两交
点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】
由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求. 【详解】
因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O 在两个圆心的连线上，
()0,0O ，()1,6C m m +，()21,2C -三点共线，所以6
2m m
+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】
本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径. 8．C 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.
【详解】
若实数x，y满足条件
250
240
1
x y
x y
x
y
+-≤
⎧
⎪+-≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
，目标函数2
z x y
=-
如图：
当
3
,1
2
x y
==时函数取最大值为2
故答案选C
【点睛】
求线性目标函数(0)
z ax by ab
=+≠的最值:
当0
b>时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；
当0
b<时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
9．D
【解析】
【分析】
利用109080,1409050
︒︒︒︒︒
=-=+，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin50
︒︒︒︒
-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由809010,1409050
︒︒︒︒︒
=-=+
所以()
sin10sin9080cos10
︒︒︒︒
=-=
()
cos140cos9050sin50
︒︒︒︒
=+=-，
所以原式()
sin80cos50cos80sin50sin8050
︒︒︒︒︒︒
=-=-
所以原式
1
sin30
2
==
故
1
sin80cos50cos140sin10
2
︒︒︒︒
+=
故选：D。