三角形填空选择(培优篇)(Word版 含解析)

三角形填空选择（培优篇）（Word版含解析）
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝_________．（用α，β表示）
【答案】1
2
(α+β)．
【解析】【分析】
连接BC，根据角平分线的性质得到∠3=1
2
∠ABP，∠4=
1
2
∠ACP，根据三角形的内角和得
到∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，求出∠3+∠4=1
2
（β-α），根据
三角形的内角和即可得到结论．【详解】
解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3=1
2
∠ABP，∠4=
1
2
∠ACP，
∵∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，
∴∠3+∠4=1
2
（β-α），
∵∠BQC=180°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=180°-（180°-β）-1
2
（β-α），
即：∠BQC=1
2
（α+β）．
故答案为：1
2
（α+β）．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接BC构造三角形是解题的关键．
2．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．
【答案】80
【解析】
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=
12
∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA ，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
3．如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角.
（1）如图2，在△ABC 中，∠B>∠C ，若经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C 的等量关系是_______；
（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。

【答案】B 2C ∠∠= 140°、120°或80°
【解析】
【分析】
（1）根据折叠性质可得∠A 1B 1B 2=∠C ，∠AA 1B 1=∠B ，由三角形外角性质可得
∠AA1B1=2∠C，根据等量代换可得∠B=2∠C；（2）先求出经过三次折叠，∠BAC是△ABC 的好角时，∠B与∠C的等量关系为∠B=3∠C，进而可得经过n次折叠，∠BAC是△ABC的好角时∠B与∠C的等量关系为∠B=n∠C，因为最小角是20º，是△ABC的好角，根据好角定义，设另两角分别为20mº，4mn°，由题意得20m+20mn+20=180°，所以m(n+1)=8，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是8的整数因子，从而可以求得结果．
【详解】
（1）根据折叠性质得∠B=∠AA1B1，∠A1B1B2=∠C，
∵∠AA1B1=∠A1B1B2+∠C，
∴∠B=2∠C
故答案为：∠B=2∠C
（2）如图：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
∴当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
∵最小角为20°，
∴设另两个角为20m°和20mn°，
∴20°+20m°+20mn°=180°，即m(1+n)=8，
∵m、n为整数，
∴m=1，1+n=8；或m=2，1+n=4；或m=4，1+n=2.
解得：m=1，n=7；m=2，n=3，m=4，n=1，
∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°，
∴此三角形最大角为140°、120°或80°时，三个角均是此三角形的好角.
故答案为：140°、120°或80°
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．
4．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．
【答案】1980
【解析】
【详解】
解：设多边形的边数为n ，多加的角度为α，则
（n-2）×180°=2005°-α，
当n=13时，α=25°，
此时（13-2）×180°=1980°，α=25°
故答案为1980．
5．有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，则∠ADE 的度数为（ ）
A ．144°
B ．84°
C ．74°
D ．54°
【答案】B
【解析】 正五边形的内角是∠ABC =
()521805-⨯=108°，∵AB =BC ，∴∠CAB =36°，正六边形的内角是∠ABE =∠E =()621806
-⨯=120°，∵∠ADE +∠E +∠ABE +∠CAB =360°，∴∠ADE =360°–120°–120°–36°=84°，故选B ．
6．如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，∠A ＝50°，BD 垂直平分AE ，垂足为D ，则∠EBC 的度数为_____．
【答案】100°
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，得BE BA =，
根据等腰三角形的性质，得50E A ∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
∵BD 垂直平分AE ，
∴BE BA =，
∴50E A ∠=∠=︒，
∴100EBC E A ∠=∠+∠=︒，
故答案为100°．
【点睛】
考查线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
7．如图，△ABC 中，∠BAC ＝70°，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点O ，则∠BOC ＝_____度．
【答案】35
【解析】
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC ＝∠ACE ，∠BOC+∠OBC ＝∠OCE ，再根据角平分线的定义可得∠OBC ＝12
∠ABC ，∠OCE ＝12∠ACE ，然后整理可得∠BOC ＝12
∠BAC ． 【详解】
解：由三角形的外角性质，∠BAC+∠ABC ＝∠ACE ，∠BOC+∠OBC ＝∠OCE ，
∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点O ，
∴∠OBC ＝
12∠ABC ，∠OCE ＝12∠ACE ， ∴12（∠BAC+∠ABC ）＝∠BOC+12
∠ABC ， ∴∠BOC ＝
12∠BAC ， ∵∠BAC ＝70°，
∴∠BOC ＝35°，
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意整体思想的利用．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_____．
【答案】10°
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵折叠后点A落在边CB上A′处，
∴∠CA′D＝∠A＝50°，
由三角形的外角性质得，∠A′DB＝∠CA′D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．
∠__________．
9．如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角CBF=
【答案】72︒
【解析】
【分析】
多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解．
【详解】
360°÷5=72°．
故外角∠CBF等于72°．
故答案为：72 ．
【点睛】
此题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．
10．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2-∠1=____.
【答案】90°
【解析】
【分析】
【详解】
如图：
∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．
∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．
∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．
故答案为90°.
二、八年级数学三角形选择题（难）
11．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案
【详解】
解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，
S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE
∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10
∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
【点睛】
熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用.
12．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△A BC的面积为40cm2，则△BEF的面积是（）cm2．
A．5B．10C．15D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=1
2
S△ABD,S△ACE=
1
2
S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=1
2
S△ABC=
1
2
×40=20cm2，
∴S△BCE=1
2
S△ABC=
1
2
×40=20cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S △BEF =
12S △BCE =12
×20=10cm 2. 故选B. 【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
13．如图,在△ABC 中,点D 、E 分别是边AC,AB 的中点,BD,CE 相交于点O,连接O 在AO 上取一点F,使得OF=12
AF 若S △ABC =12,则四边形OCDF 的面积为（ ）
A ．2
B ．83
C ．3
D ．103 【答案】B
【解析】 【分析】 重心定理：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.
【详解】
解：∵点D 、E 分别是边AC,AB 的中点， ∴O 为△ABC 的重心，
∴13AOC S
=ABC S =4, ∴12DOC DOA S S ==AOC S =2,
∵OF=
12AF ， ∴13
DOF S =AOD S =23, ∴S 阴=DOC S +DOF S =83
. 故选：B.
【点睛】
本题考查了重心及重心定理，熟练掌握相关定理是解题关键.
14．如图，三角形ABC 内的线段,BD CE 相交于点O ,已知OB OD =,2OC OE =.若
BOC
的面积=2，则四边形AEOD的面积等于（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AO，利用等高不等底的三角形面积比等于底长的比，可求出△COD与△BOE的面积．列出关于△AOE与△AOD的面积的方程即可求出四边形AEOD的面积．
【详解】
连接OA，
∵OB=OD，
∴S△BOC=S△COD=2，
∵OC=2OE，
∴S△BOE=1
2
S△BOC=1，
∵OB=OD，
∴S△AOB=S△AOD，
∴S△BOE+S△AOE=S△AOD，
即：1+S△AOE=S△AOD①，
∵OC=2OE，
∴S△AOC=2S△AOE，
∴S△AOD+S△COD=2S△AOE，
即：S△AOD+2=2S△AOE②，
联立①和②：解得：S△AOE=3，S△AOD=4，S四边形AEOD=S△AOE+S△AOD=7，
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形面积问题，涉及方程组的解法，注意灵活运用等高不等底的三角形面积比等于底长的比这一结论．
15．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，
A 、
B 两点在网格格点上，若点
C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．5
【答案】B
【解析】如图，满足条件的点C 共有4个．故选B ．
16．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）
A ．2γαβ=+
B ．2γαβ=+
C ．γαβ=+
D ．180γαβ=--
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 详解:
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
17．如图，直线a∥b，若∠1＝50°，∠3＝95°，则∠2的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．55°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
【详解】
解：如图，
根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，
∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，
∵a∥b，
∴∠2=∠4=45°．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
18．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）．
A ．2cm ，3cm ，5cm
B ．5cm ，6cm ，10cm
C ．1cm ，1cm ，3cm
D ．3cm ，4cm ，9cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A ．∵2+3=5，∴不能组成三角形，故本选项错误；
B ．∵5+6=11＞10，∴能组成三角形，故本选项正确；
C ．∵1+1=2＜3，∴不能组成三角形，故本选项错误；
D ．∵3+4=7＜9，∴不能组成三角形，故本选项错误．
故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
19．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（ ）
A ．八边形
B ．十四边形
C ．十边形
D ．十二边形 【答案】D
【解析】
【分析】
n 边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n ，就得到方程，从而求出边数．
【详解】
这个正多边形的边数是n ，根据题意得：
（n ﹣2）•180°=1800°
解得：n =12．
故选D ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n ﹣2）×180°．
20．在ΔABC 中，AB 3=，AC 5=，第三边BC 的取值范围是( )
A ．10BC 13<<
B ．4B
C 12<< C ．3BC 8<<
D ．2BC 8<<
【答案】D
【解析】
【分析】
已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边的边长的取值范围．
【详解】
∵AB=3，AC=5，
∴5-3<BC<5+3，即2<BC<8，
故选D.
【点睛】
考查了三角形三边关系，一个三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.。