《二次函数》 知识清单

《二次函数》知识清单
一、二次函数的定义
一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。

其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就不是二次函数了。

二、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线。

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／（2a) 。

抛物线的顶点坐标为（b ／（2a) ，（4ac b²) ／（4a)）。

三、二次函数的表达式
1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）
这是最常见的形式，通过给出 a、b、c 的值，可以确定二次函数的图像和性质。

2、顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a ≠ 0）
其中（h，k）是抛物线的顶点坐标。

这种形式能直接看出抛物线的
顶点。

3、交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0）
其中 x₁和 x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标。

四、二次函数的性质
1、当 a ＞ 0 时
函数在 x ＜ b ／（2a) 时，y 随 x 的增大而减小；在 x ＞ b ／（2a) 时，y 随 x 的增大而增大。

函数的最小值为（4ac b²) ／（4a) 。

2、当 a ＜ 0 时
函数在 x ＜ b ／（2a) 时，y 随 x 的增大而增大；在 x ＞ b ／（2a) 时，y 随 x 的增大而减小。

函数的最大值为（4ac b²) ／（4a) 。

五、求二次函数的解析式
1、已知图像上的三个点的坐标，通常设一般式 y ＝ ax²＋ bx ＋ c，然后把三个点的坐标代入，得到一个三元一次方程组，解出 a、b、c
的值。

2、已知抛物线的顶点坐标和另一点的坐标，通常设顶点式 y ＝ a(x
h)²＋ k ，把顶点坐标和另一点的坐标代入，解出 a 的值。

3、已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标和另一点的坐标，通常设交
点式 y ＝ a(x x₁)（x x₂) ，把交点坐标和另一点的坐标代入，解出 a
的值。

六、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）的图像与 x 轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的根。

当 b² 4ac ＞ 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，对应的一元二次方程
有两个不相等的实数根。

当 b² 4ac ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点，对应的一元二次方程
有两个相等的实数根。

当 b² 4ac ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点，对应的一元二次方程没
有实数根。

七、二次函数的应用
1、利用二次函数求最值
在实际问题中，常常需要求某个量的最大值或最小值。

比如销售问
题中，求利润的最大值；几何问题中，求图形面积的最大值等。

2、利用二次函数解决抛物线型问题
在生活中，有很多抛物线型的问题，比如拱桥的形状、投篮时篮球的运动轨迹等。

可以通过建立二次函数的模型来解决这些问题。

八、二次函数的图像平移
二次函数图像的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。

比如，将抛物线 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 向上平移 m 个单位，得到的抛物线为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c ＋ m ；向下平移 m 个单位，得到的抛物线为y ＝ ax²＋ bx ＋ c m 。

将抛物线 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 向左平移 n 个单位，得到的抛物线为 y ＝ a(x ＋ n)²＋ b(x ＋ n) ＋ c ；向右平移 n 个单位，得到的抛物线为 y ＝ a(x n)²＋ b(x n) ＋ c 。

九、二次函数的综合应用
二次函数常常与其他数学知识综合考查，比如与三角形、四边形、圆等结合。

在解决这类综合问题时，需要综合运用各种数学知识和方法，分析题目中的条件和关系，找到解题的思路和方法。

总之，二次函数是初中数学中的重要内容，需要我们认真学习和掌握。

通过对二次函数的定义、图像、性质、表达式、应用等方面的学习，我们能够更好地解决与二次函数相关的数学问题，提高我们的数学思维能力和解题能力。