初三数学圆较难复习

中考数学 圆 专题复习
考点一、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点二、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 考点三、圆的对称性
1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点四、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点五、圆周角定理及其推论
1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点六、点和圆的位置关系
设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上；d>r ⇔点P 在⊙O 外 考点七、过三点的圆 1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）： 圆内接四边形对角互补。

考点八、反证法
先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，叫做反证法。

考点九、直线与圆的位置关系
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么：直线l 与⊙O 相交⇔d<r ；直线l 与⊙O 相切⇔d=r ；直线l 与⊙O 相离⇔d>r ；
考点十、切线的判定和性质
1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是。

2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 考点十一、切线长定理
1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

考点十二、三角形的内切圆
1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

考点十三、圆和圆的位置关系 1、圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ；那么：两圆外离⇔d>R+r ；两圆外切⇔d=R+r ； 两圆相交⇔R-r<d<R+r （R ≥r ）； 两圆内切⇔d=R-r （R>r ）；两圆内含⇔d<R-r （R>r ）
2、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

考点十四、正多边形和圆
1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

考点十五、相交弦定理及其推论
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.1．不在一直线上的三个点确定一个圆；2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角
1、有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180
R n π；（3）圆的面积S=πR 2
.（4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；
（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.
2、圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)
（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 2
1
=πrR. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）
历年广州数学中考 调研 圆试题
1、设矩形ABCD 的长与宽的和为2，以AB 为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（ ）学科网
A 、最小值4π
B 、最大值4π
C 、最大值2π
D 、最小值2π学科
2、如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD //BC ，AC 平分BCD ∠，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（ ）
A. 32
B. 3
C. 23
D. 43
3、如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
4、已知1O ⊙与2O ⊙外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距12O O 的长是（ ）
A ．12O O =1
B ．12O O ＝5
C ．１＜12O O ＜５
D ．12O O ＞５
5、已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2
，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示），则sin θ的值为（ ） （A ）
125 （B ）135 （C ）1310 （D ）13
12 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A ．6.5米
B ．9米
C ．13米
D ．15米
7、如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A 、B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是
A.4π-8
B. 8π-16
C.16π-16
D. 16π-32
8、已知两圆的半径分别是2，3，圆心距是d ，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（ ）
（A ）d ＝1 （B ）d ＝5 （C ）1≤d ≤5 （D ）1＜d ＜5
9、半径分别为1和2的两个圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3的圆的个数有（ ） （A ）1个 （B ）3个 （C ）5个 （D ）6个
10、粮仓的顶部是一个底面直径为4m ，母线长为3m 的圆锥，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为 （ ）
（A ）6m 2 （B ）6πm 2 （C ）12m 2 （D ）12πm 2 11、在同圆或等圆中，同一弦所对的两个圆（ ）
（A ）相等 （B ）互补 （C ）互余 （D ）相等或互补
12、如图，直线l 1、l 2、 l 3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可选择的地址有 （ ）
（A ）一处 （B ）两处 （C ）三处 （D ）四处
13、如图1，在⊙O 中，弦BE 与CD 相交于点F ，CB 、ED 的延长线相交于点A ，若∠A ＝30°，∠CFE ＝70°，则∠CDE 的度数为（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
14、如图2，点D 是线段AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠ABC ＝50°，则∠ADC 的度数是（ ）
A ．100°
B ．115°
C ．130°
D ．150°
15、如图3，以正方形ABCD 的AB 边为直径作⊙O ，过点C 作直线切⊙O 于F ，交AD 于E ，若△CDE 的周长为12，则直 角梯形ABCE 的周长为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
16、如图4，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段（ ）
A ．BC 的长
B ．DE 的长
C ．A
D 的长 D ．A
E 的长
17、如图5，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ ）
A.OM 的长
B.2OM 的长
C.CD 的长
D.2CD 的长.
1、如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=3，∠ACB=30°（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；
2、如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P
连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．
3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E
∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD ；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
4、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC
∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=1/2AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.
5、如图，△ABC内接于⊙O，且∠B = 60 ．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，
AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若AF = 43，求图
中阴影部分的面积．
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径
作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE．’
(1)当BD=3时，求线段DE的长；
(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形
作业
1．如图，⊙O过点B 、C圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为（）
A、 B、 C、 D、
2、以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD/DB=2/3，且平方根=10，则CB的长为( )
A．B．C．
D．4
3、如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）
A．19 B．16 C．18 D．20
4、如图为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中与交于 E点，且^。

若
=4，=2，则长度为（）
A 、6 B、7 C、8 D、9
5、如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）6、如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB = 1，BC = 2，则OA =（）．
A． B． C． D
．
7、在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________．
8、已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB=2：3，CP=2cm，DP=•12cm，则弦AB的长为___cm
9、已知圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P•作圆的切线，那么切线长是______．
10、若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为________．
11、已知：关于x的一元二次方程x2-（R+r）x+1/4d2=0无实数根，其中R、•r分别是⊙O1、⊙O2
的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系为________．
12、如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C；且⊙O直径BD=6，连结CD、AD. （1）求证：CD∥AO
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
（3）若AO+CD=11，求AB的长
13、已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求
证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．
作业
1、如图5，已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为（）
A．15πcm2B．20πcm2C．12πcm2D．30πcm2
2、如图6，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长9cm，•底面圆的直径为10cm，•那么小丽要制作的这个圆锥模型
的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是（）
A．150° B．200° C．180° D．240°
3、如图7，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的
一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）
A．4-4
9
π B．4-
8
9
π C．8-
4
9
π D．8-
8
9
π
4、在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，•顶点C运动的路线长是（）
A．
24
(333)
B C D
πππ
π
5、一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，•则该圆柱的底面圆半径是（）
A．58581016 ...
B C D
ππππππ
或或
6、若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于（）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：2：1
7、如图1，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，•那么这个圆锥的侧面积是________c m2．
8、如图2，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经
过的路线的长是_____cm．
9、如图3，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a•和b 的两个圆，则剩下的纸板面积为________．
10、如图4，已知圆柱体底面圆的半径为2
π
，高为2，•AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线．若一只小虫从A点
出发，从侧面爬地到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______（结果保留根式）．
11、若圆锥的底面周长为20π，•侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为________．
12、若圆锥的底面半径为3，•母线长为8，•则这个圆锥的全面积是_____平方单位．
13、已知矩形ABCD的一边AB=5cm，另一边AD=3cm，则以直线AB•为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为______c m2．
14、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是________． 15、已知圆柱的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，•则该圆柱的侧面展开图的面积为_____cm 2．
1、如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D 是线段BC•的中点． （1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，求证直线DE 是⊙O 的切线．
2、如图所示，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交于圆O 点D ，点E 在圆O 上． （1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数；
（2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．
3、已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与
O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．
4、如图，ABC △内接于圆O ，过点A 的直线交圆O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，AB 2= AP .AD ． （1）求证：AB AC =；
（2）如果60ABC ∠=，圆O 的半径为1，且P 为弧AC 的中点，求AD 的长．
5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ．P 为BC 的中点，动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2cm/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ． （1）当t=1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O 为△ABC 的外接圆．若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．
6、已知∠AOB ＝60°，半径为3cm 的⊙P 沿边OA 从右向左平行移动，与边OA 相切的切点记为点C ．
（1）⊙P 移动到与边OB 相切时（如图），切点为D ，求劣弧的长；
E
B D
C A
O
D
C
O
A
B
E
（2）⊙P 移动到与边OB 相交于点E ，F ，若EF ＝42cm ，求OC 的长；
7、如图，AM 切⊙O 于点A ，BD ⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于点C ，OC 平分∠AOB ．求∠B 的度数．
8、如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，
ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .
(1) 求证：BD CD =；
(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.
9、如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA =4：3，点P 在半圆弧AB 上运 动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． （1）求证：AC ·CD =PC ·BC ；
（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；
（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求出这个最大面积S 。

10、如图，P A 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O 相交于D 点， 已知OA =2，OP =4．
（1）求∠POA 的度数； （2）计算弦AB 的长．
11、已知：如图，△ABC 中，CA ＝4，点D 为AC 的中点，以AD 为直径的⊙O 切BC 于点E 。

（1）求CE 的长；
（2）过点D 作D F ∥BC 交⊙O 于点F ，求DF 的长。

12、已知:如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B 经过点O ，且与x 轴、 y 轴分别交于点A 、C ，点A 的坐标为（3-，0），AC 的延长线与⊙B 的切线OD 交于点D.。