高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编

【高中数学】数学高考《平面向量》复习资料
一、选择题
1．已知椭圆C ：2
212
x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于
点B ，若3FA FB =u u u v u u u v
，则AF u u u v ＝( )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v
，得043x =
，01
3
y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v
【详解】 根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212
x y += ，知22a =，21b =，21c =，
即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v
，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =
，01
3
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=，
得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.解得21n =，
所以()
2
212112AF n u u u v =
-+=+=.
故选A 【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
2．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r
，P 是线段BN 上的一点，若15
AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
则实数m 的值为（ ）
A ．
35
B ．
25
C ．
1415
D ．
910
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，以AB u u u r ，AC u u u r 为基底表示出AP u u u r
即可得到结论. 【详解】
由题意，设()
NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以，()
()113
AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 又15
AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
所以，
1135λ-=，且m λ=，解得2
5
m λ==. 故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
3．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v
的值为（ ）
A ．22
B ．19
C ．-19
D ．-22
【答案】D 【解析】
由余弦定理可得22211
cos 216
AB BC AC B AB BC +-==⋅，又
()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫
⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
4．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v ，则λ=
（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA
BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】
因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，
所以1122,+3333
AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ，
因为AD DC λ=u u u v u u u v ，
所以λ= 12
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
5．已知点1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜
角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，则椭圆C
的离心率为（ ）
A 1
B ．2
C ．
12
D ．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，
,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】
将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即
12121
||2
MF MF OM F F c ⊥=
=，.
又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，1MF =，∴2a c =+，∴1c
e a
=
=. 故选:A. 【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.
6．平面向量a →与b →
的夹角为π3
，()2,0a →
=，1b →=，则2a b →→-=（ ）
A ．B
C ．0
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】
()2,0a →
=Q ，
||2a →
∴=
2
2
222(2)||4||444421cos 43
a b a b a b a b π
→
→→
→
∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ，
|2|2a b ∴-=r r
，
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.
7．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数λ=( )
A
B
C
D
【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r
，||2||
AB AC λ===u u u r
u u u
r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
8．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>
，过右焦点F 且斜率为()0k k >的
直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r
，则k =（ ）
A ．2 B
C
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
由e =
a =
，b =，可设椭圆的方程为222
334x y c +=，
()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r
得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由
22211334x y c +=，22
222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】
因为c e a ===，所以2a b =，
所以3a c =，3b =，则椭圆方程22
221x
y a b
+=变为222
334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><，
又3AF FB =uu u r uu r
，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，
所以()121
233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩
因为A ，B 在椭圆上，所以
2
2211334
x y c +=，① 22222334
x y c +=②. 由①—9×②，得2
121212123(3)(3)3(3)(3)84
x x x x y y y y c +-++-=-，
所以
21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833
x x c -=-， 所以123x c =
，2109x c =，从而12y c =-，22
y c = 所以22(,)33A c c -，102(,)99B c c ，故22
92102393
c c
k c c +=
=-， 故选：C. 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
9．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是（ ）
A ．4
5
-
B ．1516
-
C ．14
-
D ．58
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】
()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
222115
1416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B.
【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3
AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．23
-
B ．43
-
C ．83
-
D ．2-
【答案】D 【解析】 【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】
在边长为2的等边三角形ABC 中，若13
AE AC =u u u r u u u r
，
则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u
r u u u r ）
＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u
r u u u r ）
1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223
AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
11．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π
∠=，若23
BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=
u u u v u u u v
（ ）
A ．
229
B ．229
-
C ．
169
D ．89
-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过
向量的运算即可得出结果． 【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333
BD BC AC AB AB AC ==
-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v .
∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
22242999
AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
24249cos 999
AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u
v u u u v
82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅
229
=. 故选A ． 【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
12．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒
==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
因为1
1,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以
2221
||()12112
a b a b -=-=-⨯+=r r r r ，故选B.
点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r
r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合数量积的运算法则即可求出.
13．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则
PA PB ⋅u u u v u u u v
的最小值是（ ）
A ．21-
B ．2
C ．0
D ．1
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，设
，,,又因为
,所以
，所以PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为1，故答
案选D.
考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.
14．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r
，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．
2
3
B ．
15
C ．
72
D ．
152
【答案】D 【解析】 【分析】
计算25AC a b =+u u u r r r
，得到()
253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.
【详解】
∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r
，
∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r
，即()
253a b a mb λ+=+r r r r ，
∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23
152m λ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
. 故选：D . 【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =
u u u r
（ ）
A ．2136a b -r r
B ．1133a b +r r
C ．1124a b +r r
D ．1133
a b -r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】
1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r 2136
a b =-r r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16．设()1,a m =r ，()2,2b =r
，若()
2a mb b +⊥r r r ，则实数m 的值为（ ）
A ．
12
B ．2
C ．13
-
D ．-3
【答案】C 【解析】 【分析】
计算()222,4a mb m m +=+r r
，根据向量垂直公式计算得到答案.
【详解】
()222,4a mb m m +=+r r
，
∵()2a mb b +⊥r r r ，∴()
20a mb b +⋅=r r r ，即()22280m m ⋅++=，解得13
m =-.
故选：C .
【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
17．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π
，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.
【详解】 由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ， 所以|2|2a b -=r r ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．已知A ，B 是圆22
4+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）. A
B
．C ．2 D ．3 【答案】D
【解析】
【分析】 判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.
【详解】 圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段
AB 的中点，所以1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u u
u u u r u u u r r u u u r 221116
23OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323
=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D
【点睛】
本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
19．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ） A ．12
B ．2
C ．24
D ．242【答案】C
【解析】
【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和
12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】 解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点， ∴24m n a -==，122210F F c ==
∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，
∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2
222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =，
解得6m =，2n =， 设2NF t =，则124NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =，
∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422
S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，
120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A ．194
B 11
C ．32
D 7 【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】
因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u
229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。