上海市大同中学2024届高三数学试题质量调研卷(文理合卷)

上海市大同中学2024届高三数学试题质量调研卷（文理合卷）
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．
49
B ．49
-
C ．
43
D ．43
-
2．已知函数2
()ln(1)f x x x
-=
+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b
a b b a b ⎧=⎨<⎩
，
则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
内的图象是( ) A ． B ．
C ．
D ．
4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞）
5．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68
(2)a a +-=（ ）
A ．256
B ．-256
C ．32
D ．-32
6．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2
()3f x x x
=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--
B ．(,2][1,0]-∞-⋃-
C ．(,2][1,0)-∞-⋃-
D ．(,2)(1,0]-∞-⋃- 7．已知函数在上的值域为
，则实数的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．设复数z 满足z i
i z i
-=+，则z =（ ） A ．1
B ．-1
C ．1i -
D ．1i +
9．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3
B ．
13
C ．2
D ．
12
11．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n n
n a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）
①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确
D ．①②都错误
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．二项式6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式的各项系数之和为_____，含2x 项的系数为_____． 14．设函数2019,0()2020,0
x e x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，则满足()2
4(3)f x f x ->-的x 的取值范围为________.
15．已知等差数列{}n a 满足1357910a a a a a ++++＝
，222836a a -=，则11a 的值为________． 16．已知0x >，0y >，且
21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上且
2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H 点，2
4OH =
C 的离心率为
22
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且满足2OA OB BA OB +=-，求ABO ∆的面积.
18．（12分）已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数
，n N *∈．
（1）若n a n =，2n
n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；
（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立． ①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；
②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．
19．（12分）已知函数2
()x f x ae x =-.
（1）若曲线()f x 存在与y 轴垂直的切线，求a 的取值范围. （2）当1a ≥时，证明：2
3()12
f x x x +-
. 20．（12分）如图，空间几何体ABCDE 中，ACD 是边长为2的等边三角形，6EB EC ==
，23BC =，
90ACB ∠=︒，平面ACD ⊥平面ABC ，且平面EBC ⊥平面ABC ，H 为AB 中点.
（1）证明：DH //平面BCE ；
（2）求二面角E AB C --平面角的余弦值.
21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22
，且过点6(1,2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个
不同的点，求
2
|MN |
|OQ |的值．
22．（10分）设a 为实数,在极坐标系中,已知圆2sin a ρθ=（0a >）与直线cos 14πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
相切,求a 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解题分析】
由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【题目详解】
解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，
又由点P 在AM 上且满足2AP PM = ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴()
PA PB PC ⋅+
2||PA AP PA =⋅=-
又∵AM ＝1 ∴2||3
PA =
∴()
49
PA PB PC ⋅+=- 故选B ． 【题目点拨】
判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或
222
AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．
2．A 【解题分析】
用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像. 【题目详解】
设2()(1)ln 1
g x f x x x -=-=-+，由于120
11
2ln 22
g -⎛⎫
=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2
e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确.
故选：A 【题目点拨】
本题考查了函数图像的性质，属于中档题. 3．A 【解题分析】
由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T π
ω
=求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 【题目详解】
根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π， 所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1T
π
π
ωπ
=
=
=， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦
==⎨⎛⎫
⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
，
由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 4．B 【解题分析】
，
，
∴．
故选． 5．A 【解题分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【题目详解】
由1371352S a ==，74a =，得()()68
8
22256a a +-=-=.选A.
【题目点拨】
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 6．B 【解题分析】
利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【题目详解】
()f x 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.
当0x <时，0x ->，()2
3f x x x
∴-=--
-， ()f x 为奇函数，()()()2
30f x f x x x x
∴=--=++<，
由02
30x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩
得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--.
故选：B . 【题目点拨】
本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况. 7．A
【解题分析】 将
整理为
，根据的范围可求得
；根据
，结合
的值域和
的图象，可知
，解不等式求得结果.
【题目详解】
当时，
又，，
由
在
上的值域为
解得：
本题正确选项： 【题目点拨】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式. 8．B 【解题分析】
利用复数的四则运算即可求解. 【题目详解】 由
()(1)11z i
i z i i z i i z i z z i
-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【题目点拨】
本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题. 9．C 【解题分析】
先根据直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.
【题目详解】
因为直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，
所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-；
所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 【题目点拨】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 10．A 【解题分析】
设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3
y x '=，从而得到切线的斜率0
3k x =，结合直线方程的点斜式化简
得切线方程，联立方程组，求得结果. 【题目详解】
设切点为00(,2)x kx -，
∵3y x '=，∴00
03
,213ln ,
k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②
由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【题目点拨】
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目. 11．B 【解题分析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【题目详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示， 56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的．
故选：B ． 【题目点拨】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题． 12．A 【解题分析】
利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n n
n a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,从而推出①
正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【题目详解】
因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,
因为n n
n a αβ=+,
所以11
1n n n a αβ+++=+
()()n n n n n n αβααβββααβ=+++--
()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,
即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()2
22223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,
数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A.
【题目点拨】
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1 240
【解题分析】
将1x =代入二项式可得展开式各项系数之和，写出二项展开式通项，令x 的指数为2，求出参数的值，代入通项即可得出2x 项的系数.
【题目详解】
将1x =代入二项式6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得展开式各项系数和为()6121-=. 二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()626166122r r r
r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令262r -=，解得4r =，因此，展开式中含2x 项的系数为46161615240C =⨯=.
故答案为：1；240.
【题目点拨】
本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属基础题．
14．(1,)+∞
【解题分析】
当0x ≤时，函数单调递增，当0x >时，函数为常数，故需满足243x x ->-，且30x -<，解得答案.
【题目详解】
2019,0()2020,0
x e x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，当0x ≤时，函数单调递增，当0x >时，函数为常数，
()24(3)f x f x ->-需满足243x x ->-，且30x -<，解得1x >.
故答案为：(1,)+∞.
【题目点拨】
本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
15．11
【解题分析】
由等差数列的下标和性质可得52a =，由()()22882822a a a a a a =+-－即可求出公差d ，即可求解；
【题目详解】
解：设等差数列的公差为d ，
1357910a a a a a ++++＝，193752a a a a a ++=＝
52a ∴=
又因为()()2222888253626a a a a a a a d =+-=⨯=－，解得32
d = 115611a a d ∴=+=
故答案为：11
【题目点拨】
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
16．（-4，2）
【解题分析】
试题分析：因为2
142(2)()4+48y x x y x y x y x y +=++=+≥+=当且仅当2x y =时取等号，所以22842m m m +<⇒-<<
考点：基本不等式求最值
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2212x y +=；（2）5
. 【解题分析】
（1）根据离心率以及22MF OH =，即可列方程求得,,a b c ，则问题得解；
（2）设直线方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的0OA OB ⋅=，即可求得参数m ，则三角形面积得解.
【题目详解】
（1）设2(,0)F c ，由题意可得222
221,M x y b y a b a
+==±.
因为OH 是12F F M ∆的中位线，且4
OH =
所以2||MF =
2b a =
因为2222
c e a b c a ===+ 进而得221,2b a ==， 所以椭圆方程为2
212
x y += （2）由已知得22OA OB OA OB +=-两边平方 整理可得0OA OB ⋅=.
当直线l 斜率为0时，显然不成立.
直线l 斜率不为0时，
设直线l 的方程为11221.(,).(,)x my A x y B x y =-，
联立22112
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(2)210m y my +--=， 所以12122221,22
m y y y y m m -+==++， 由0OA OB ⋅=得12120x x y y +=
将11221,1=-=-x my x my 代入
整理得1212(1)(1)0my my y y --+=，
展开得2121212()10m y y m y y y y -+++=，
整理得m =
所以112125ABO S OF y y ∆=
-=.即为所求. 【题目点拨】
本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题. 18．（1）1224433
n n T n +=+-（2）①见解析②数列{}n b 不能为等比数列，见解析 【解题分析】
（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解； （2）①设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公差为1d ，当n 为奇数时，得出1d d ≥；当n 为偶数时，得出1d d ≤，从而可证数列{}n a ，{}n b 的公差相等；
②利用反证法，先假设{}n b 可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列{}n b 不能为等比数列．
【题目详解】
（1）因为n a n =，2n n b =，所以22n n a a +-=，24n n
b b +=且111
c a ==，224c b == 由题意可知，数列{}21n c -是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列{}2n c 是首项和公比均为4的等比数列， 所以122(1)4(14)44221433
n n n n n T n n +--=+⨯+=+--； （2）①证明：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公差为1d ，
当n 为奇数时，1(1)n n c a a n d ==+-，1111n n c b b nd ++==+
若1d d <，则当111a d b n d d
-->-时，111()0n n c c d d n d a +-=-+-<， 即1n n c c +<，与题意不符，所以1d d ≥，
当n 为偶数时，11(1)n n c b b n d ==+-，111n n c a a nd ++==+，
若1d d >，则当1111
b d a n d d -->-时，11111()0n n
c c
d d n a d b +-=-++-<， 即1n n c c +<，与题意不符，所以1d d ≤，
综上，1d d =，原命题得证；
②假设{}n b 可以为等比数列，设公比为q ，
因为1n n c c +>，所以21n n n c c c ++>>，所以220n n a a d +-=>，221n n
b q b +=>， 因为当2141log (1)
q d n b q >+-时，
12221(1)(1)4n n n n b b b q b q q d -+-=-=⋅⋅->，
所以当n 为偶数，且11n n n a b a -+<<时，213(,)n n n b a a +++∉，
即当n 为偶数，且11n n n c c c -+<<时，123n n n c c c +++<<不成立，与题意矛盾，
所以数列{}n b 不能为等比数列．
【题目点拨】
本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
19．（1）2a e
（2）证明见解析 【解题分析】
（1）()20x f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，2x x a e =，设2()x x g x e
=，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案. （2）证明23()12f x x x +-，只需证22312x e x x x -+-，记21()12x h x e x x =+--，求导得到函数的单调性，得到函数的最小值，得到证明.
【题目详解】
（1）由题可得，()20x f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，
则2x x a e =，令2()x x g x e =，22()x
x g x e -'=， 当1x <时，()0,()'>g x g x 单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减.
所以1x =是()g x 的最大值点，所以2a
e . （2）由1,x x a ae e ∴，所以2()x
f x e x -，
要证明23()12f x x x +-，只需证22312x e x x x -+-，即证21102
x e x x +--. 记21()1,()1,()2
x x h x e x x h x e x h x ''=+--=+-在R 上单调递增，且(0)0h '=， 当0x <时，()0,()h x h x '<单调递减；当0x >时，()0,()h x h x '>单调递增.
所以0x =是()h x 的最小值点，()(0)0h x h =，则21102x e x x +--， 故23()12
f x x x +-
. 【题目点拨】 本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.
20．（1）证明见解析（2）
55 【解题分析】
（1）分别取AC ，BC 的中点P ，Q ，连接DP ，EQ ，PQ ，PH ，DH ，要证明DH //平面BCE ，只需证明面BCE ∥面DPH 即可.
（2）以点P 为原点，以PA 为x 轴，以PH 为y 轴，以PD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
分别计算面EAB 的法向量m ，面ABC 的法向量可取n ，并判断二面角为锐角，再利用cos ||||
m n m n θ⋅=
⋅计算即可. 【题目详解】
（1）证明：分别取AC ，BC 的中点P ，Q ，连接DP ，EQ ，PQ ，PH ，DH .
由平面ACD ⊥平面ABC ，且交于AC ，DP ⊂平面ACD ，DP AC ⊥有DP ⊥平面ABC ，
由平面EBC ⊥平面ABC ，且交于BC ，EQ ⊂平面BCE ，EQ BC ⊥有EQ ⊥平面
ABC ，所以DP ∥EQ ，又EQ ⊂平面EBC ，DP ⊄平面EBC ，所以DP ∥平面
EBC ，由AP PC =，AH HB =有，PH ∥BC ，又BC ⊂平面EBC ，PH ⊄平面
EBC ，所以PH ∥平面EBC ，
由DP ∥平面EBC ，PH ∥平面EBC ，DP PH P ⋂=，所以平面BCE ∥平面DPH ，所以DH ∥平面BCE （2）以点P 为原点，以PA 为x 轴，以PH 为y 轴，以PD 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系
由EQ ⊥面ABC ，所以面ABC 的法向量可取(0,0,1)n =，
点(1,0,0)A ，点(1,23,0)B -，点(3,3)E -，(2,23,0)AB =-，(0,3,3)BE =，
设面EAB 的法向量(,,)m x y z =，所以
230330
x z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，取(3,1,1)m =， 二面角E AC B --的平面角为θ，则θ为锐角. 所以15cos ||||55
m n m n θ⋅===⋅ 【题目点拨】 本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.
21．（Ⅰ）22
142
x y +=（Ⅱ）1 【解题分析】
（Ⅰ）由题，得22
c e a ==，221123a b +=，解方程组，即可得到本题答案； （Ⅱ）设直线:OQ x my =，则直线:2MN x my =+，联立2214
2x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22
2222224444||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立222142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22222121222222844||1()41()222
m m MN m y y y y m m m m +=++-=+++++，由此即可得到本题答案. 【题目详解】
（Ⅰ）由题可得c e a ==，即2212c a =，2212b a =，
将点1,2⎛ ⎝⎭代入方程得221123a b +=，即22131a a +=，解得24a =， 所以椭圆C 的方程为：22
142
x y +=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F
设直线:OQ x my =
，则直线:MN x my =， 联立2214
2x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22242Q m x m =+，2242Q y m =+ 所以222222224444||222
Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，
联立22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得(
)
22220m y ++-=， 设()()1122,,,M x y N x y
，则1212222
y y y y m +==-+，
所以2244||2
m MN m +=+， 所以2222244
||2144
||2
m MN m m OQ m ++==++． 【题目点拨】
本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力. 22
．2a =+【解题分析】
将圆2sin a ρθ=和直线cos 14πρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭
化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.
【题目详解】
解:将圆2sin a ρθ=化成普通方程为222x y ay +=,整理得()2
22x y a a +-=． 将直线cos 14πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
化成普通方程为0x y -=． 因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
a =
解得2a =+
【题目点拨】
本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.。