高中数学第三章不等式3.4基本不等式第2课时基本不等式的应用课后课时精练aa高二数学

所以只需每批购入 120 台，可使资金够用．
12/13/2021
B 级：能力提升练 1．已知 a>0，b>0，且 a＋b＝1，则a12－1b12－1的最 小值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9
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解析 ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴ab≤14，在 a＝b＝12时取等号． ∴a12－1b12－1＝1－a2a2·1－b2b2 ＝1＋a2ab·1＋b2ba＝1＋aab1＋b ＝2＋abab＝a2b＋1≥21＋1＝9.故选 D．
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解 设总费用为 y 元(y＞0)，且将题中正比例函数的比
例系数设为 k，则 y＝36x00×400＋k(2000x)，依条件，当 x ＝400 时，y＝43600，可得 k＝5%，
故有 y＝1440x000＋100x≥2 ＝24000(元)．
1440x000·100x
当且仅当1440x000＝100x，即 x＝120 时取等号．
∴n≤a－ba－＋bb－c＋a－bb＋ －cb－c.
∴n≤ab－－bc＋ab－－bc＋2.
∵ab－－bc＋ab－－bc＋≥2
b－c a－b a－b·b－c
＝2(2b＝a＋c 时取等号)．
∴n≤4.∴n 的最大值是 4.
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即 a，b 是一元二次方程 x2－px＋q＝0(p>0，q>0)的两 个根，
∴根据一元二次方程的根与系数的关系可得 a＋b＝p， ab＝q，(a>0，b>0，a≠b)
由题意可得 ab＝c2，b＋c＝2a， 消去 c 可得 ab＝(2a－b)2＝4a2－4ab＋b2，
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即为(a－b)(4a－b)＝0，解得 b＝4a(b＝a 舍去)，
a2＋2 b2＝ c2，c≥ 22(a＋b)，
∴2p＝a＋b＋c≥a＋b＋ 22(a＋b)＝2＋2 2(a＋b)，
∴a＋b≤2＋4p 2＝(4－2 2)p，即两直角边长的和的最
大值为(4－2 2)p.
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(3)∵a＋b＋c＝2p，即 a＋b＋ a2＋b2＝2p， ∴2p≥2 ab＋ 2ab＝(2＋ 2)· ab，ab≤(6－4 2)p2，12 ab≤(3－2 2)p2，所以直角三角形面积的最大值为(3－ 2 2)p2.
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6．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成 立，则正实数 a 的最小值为____4____．
解析 ∵a>0，∴(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋xya≥1＋a＋ 2 a≥9，∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴正实数 a 的最小值 为 4.
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课后课时精练
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一、选择题
A 级：基础巩固练
1．设 x，y 为正数，则(x＋y)1x＋4y的最小值为(
)
A．6 B．9 C．12 D．15
解析
(x
＋
y)
1x＋4y
＝
1 x·x
＋
4x y
＋
y x
＋
4 y·y
＝
1＋
4
＋
4yx＋
y x
≥5＋2 4yx·yx＝9(当且仅当 y＝2x 时取等号)．
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10．某商场预计全年分批购入每台 2000 元的电视机共 3600 台．每批都购入 x 台(x 是自然数)且每批均需付运费 400 元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视 机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入 400 台，则全年 需用去运输和保管总费用 43600 元．现在全年只有 24000 元 资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量， 使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
则
p b2
＋
q a
－
2c
＝
a＋b b2
＋
ab a
－
2(2a
－
b)
＝
8a
＋
5 16a
≥2
8a·156a＝ 10，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当且仅当 8a＝156a，即 a＝ 1160时，取得等号．
则所求的最小值为 10.故选 D．
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二、填空题 5．已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，则 xy 的最小值是___6_____． 解析 ∵2x＋3y≥2 x6y，∴2 x6y≤2，∴xy≥6.
7．已知二次函数 f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0， ＋∞)，则a＋c 1＋c＋a 1的最小值为___4_____．
解析 根据题意知 a>0，Δ＝4－4ac＝0，∴ac＝1，c>0. ∴a＋c 1＋c＋a 1＝ac＋1c＋ac＋1a＝ac＋ac＋1a＋1c≥2＋2 a1c＝ 2＋2＝4，当且仅当 a＝c＝1 时等号成立，∴a＋c 1＋c＋a 1的 最小值为 4.
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三、解答题 8．设 f(x)＝42x＋x＋48. (1)求 f(x)的最大值； (2)证明：对任意实数 a，b 恒有 f(a)<b2－3b＋241.
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解
(1)因为
f(x)
＝
42x＋x＋48＝
16·2x 2x2＋8
＝
16 2x＋28x
≤ 2
16 2x·28x
＝2 2，当且仅当 2x＝28x，即 x＝32时等号成立．所以 f(x)的
A．x＝a＋2 b B．x≤a＋2 b C．x＞a＋2 b D．x≥a＋2 b
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解析 ∵这两年产量的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)． ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． 由题设，知 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b＝1＋a＋2 b，∴ x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b，即 a＝b 时成立．故选 B．
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4．若 a，b 是函数 f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不 同的零点，c<0，b>a，且 a，b，c 这三个数可适当排序后成 等差数列，也可适当排序后成等比数列，则bp2＋qa－2c 的最 小值等于( )
A．9 B．10 C．3 D． 10
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解析 ∵a，b 是函数 f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两 个不同的零点，
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2．已知 m，n∈R，m2＋n2＝100，则 mn 的最大值是( ) A．100 B．50 C．20 D．10 解析 由 m2＋n2≥2mn 得，mn≤m2＋2 n2＝50，等号在 m ＝n＝±5 2时成立．故选 B．
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3．某工厂第一年产量为 A，第二年产量的增长率为 a, 第 三年产量的增长率为 b，这两年产量的平均增长率为 x，则 ()
最大值为 2 2.
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(2)证明：因为 b2－3b＋241＝b－322＋3， 所以当 b＝32时，b2－3b＋241有最小值 3. 由(1)知，f(a)有最大值 2 2，又 2 2<3，所以对任意实 数 a，b 恒有 f(a)<b2－3b＋241.
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9．一个直角三角形的周长为 2p. (1)求其斜边长的最小值； (2)求其直角边长的和的最大值； (3)求其面积的最大值．
4
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2．已知 a>b>c，n∈N 且a－1 b＋b－1 c≥a－n c，求 n 的最 大值．
解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0. ∵a－1 b＋b－1 c≥a－n c， ∴n≤aa－－bc＋ab－ －cc. ∵a－c＝(a－b)＋(b－c)．
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解 设直角三角形的直角边长分别为 a，b，斜边长为
c＝ a2＋b2.由题意，得 a＋b＋c＝2p.
(1)由a＋2 b≤
a2＋2 b2＝ c2，∴a＋b≤ 2c，
∴ 2c＋c≥2p，c≥ 22＋p 1＝2p( 2－1)．
∴斜边长的最小值为 2p( 2－1)．
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(2)由a＋2 b≤