线性回归计算方法及公式
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H0：K个自变 量为好 H1：K＋1个自变量为好
• 向前引入法（forward selection) 自变量由少到多一个一个引入回归方程。 将 corr(y , xj)最大而又能拒绝H0者，最 先引入方程，余此类推。至不能再拒绝 H0为止。
• 向后剔除法（backward selection) 自变量先全部选入方程，每次剔除一个使 上述检验最不能拒绝H0者，直到不能剔 除为止。
例：测量16名四岁男孩心脏纵径X1（CM）、心脏横径 X2（CM）和心象面积Y（CM2）三项指标，得如下数 据。试作象面积Y对心脏纵径X1、心脏横径X2多元线 性回归分析。 例：某科研协作组调查山西某煤矿2期高血压病患者40例， 资料如下表，试进行影响煤矿工人2期高血压病病人收 缩压的多元线性回归分析。
2、偏回归系数的显著性检验：目的是检验回 归模型中自变量的系数是否为零，等价于总 体优势比OR是否为零。 H0：B等于零 H1：B不等于零 A、wald检验： B、Score test: C、likelihood ratio test(wald chi-square test):
回归模型中自变量的筛选
Logistic回归的参数估计
• Logistic回归模型的参数估计常用最大似然法，最大似 然法的基本思想是先建立似然函数或对数似然函数， 似然函数或对数似然函数达到极大时参数的取值，即 为参数的最大似然估计值。其步骤为对对数似然函数 中的待估参数分别求一阶偏导数，令其为0得一方程组， 然后求解。由于似然函数的偏导数为非线性函数，参 数估计需用非线性方程组的数值法求解。常用的数值 法为Newton-Raphson法。不同研究的设计方案不同， 其似然函数的构造略有差别，故Logistic回归有非条件 Logistic回归与条件Logistic回归两种。
• 多 元 线 性 回 归 分 析 的 作 用
• 回 归 分 析 中 自 变 量 的 选 择
• 多 元 回 归 分 析 中 的 若 干 问 题
• 标 准 化 偏 回 归 系 数 和 确 定 系 数
• 回 归 方 程 和 偏 回 归 系 数 的 假 设 检 验
• 多 元 线 性 回 归 模 型 与 参 数 估 计
回归分析中的若干问题
• 资料要求：总体服从多元正态分布。但实际工 作中分类变量也做分析。 • n足够大，至少应是自变量个数的5倍 • 分类变量在回归分析中的处理方法 有序分类： 治疗效果：x=0(无效 ) x=1(有效) x=2(控制) 无序分类： 有k类，则用k－1变量（伪变量）
• 如职业,分四类可用三个伪变量： y1 y2 y3 工人 1 0 0 农民 0 1 0 干部 0 0 1 学生 0 0 0
选择变量的统计学标准
• R2最大
R2 ＝ SS回归／ SS总• adjR2最大： adjR2＝1－MS误差/ MS总 • Cp值最小
Cp＝（n-p-1)(MS误差.p/MS误差.全部－1）＋（p+1)
选择变量的方法
• 最优子集回归分析法： p个变量有2p－1个方程 • 逐步回归分析
向前引入法(forward selection) 向后剔除法(backward selection) 逐步引入－剔除法(stepwise selection)
logistic回归模型参数的意义
优势比（odds ratio, OR)：暴露人群发病优势与非暴露 人群发病优势之比。
P(1) / [1-p(1)] OR= ——————— P(0) / [1-p(0)]
Ln(oR)=logit[p(1)]-logit[p(0)]=(B0+B×1) －(B0+B×0)=B 可见 B 是暴露剂量增加一个单位所引起的对数优势的增 量，或单位暴露剂量与零剂量死亡优势比的对数。eB就 是两剂量死亡优势比。常数项B0是所有变量 X等于零时 事件发生优势的对数。
内容安排
• • • • • • Logistic回归模型 模型参数的意义 Logistic回归模型的参数估计 Logistic回归方程的假设检验 Logistic回归模型中自变量的筛选 Logistic回归的应用
Logistic回归模型
• 先引入Logistic分布函数，表达式为： F（x) = ex / ( 1+ex )
多元线性回归
• 多元线性回归是简单线性回归的直接推广，其包含一 个因变量和二个或二个以上的自变量。
• 简单线性回归是研究一个因变量（Y）和一个自变量 （X）之间数量上相互依存的线性关系。而多元线性回 归是研究一个因变量（Y）和多个自变量（Xi）之间数 量上相互依存的线性关系。 • 简单线性回归的大部分内容可用于多元回归，因其基 本概念是一样的。
• 逐步引入－剔除法（stepwise selection) 先规定两个阀值F引入和F剔除，当候选变 量中最大F值＞＝F引入时，引入相应变量； 已进入方程的变量最小F＜＝F剔除时，剔 除相应变量。如此交替进行直到无引入 和无剔除为止。（计算复杂）
多元线性回归方程的作用
• 因素分析 • 调整混杂因素的作用 • 统计预测
Logistic 回归的应用
• 筛选危险因素 • 校正混杂因素 • 预测与判别
例1：在饮酒与食道癌的成组病例对照研究中，共有200 例食道癌患者和774例非食道癌对照，年龄是混杂因素， 按年龄分层后资料如下：
age 对象（1=病例 0=对照） 饮酒 不饮酒 25—34 1 1 0 0 9 106 35---44 1 4 5 0 26 164 45----54 1 25 21 0 29 138 55---64 1 42 34 0 27 138 65---74 1 19 36 0 18 88 75-1 5 8 0 0 31 合计 OR 1 115 9 5.05 190 46 5.67 167 76 6.36 165 55 2.58 106 13 31
偏回归系数的假设检验
回归方程的假设检验若拒绝H0，则可分别对每 一个偏回归系数bj作统计检验，实质是考察在固 定其它变量后，该变量对应变量 Y 的影响有无 显著性。 H0： Bj=0 H1： Bj不为零 ＝0.05 F ＝ （Xj 的偏回归平方和／1） / MS误差
Xj 的偏回归平方和：去Xj后回归平方和的减少量
内 容 安 排
多元线性回归模型与参数估计
• 设有自变量x1,x2,…,xp和因变量Y以及一份由n个个体构 成的随机样本(x1i,x2i,…,xpi,,，Yi），且有如下关系：
y =B0+B1x1+B2x2+…+Bp xp+ (模型）
B0、B1、B2和Bp为待估参数， 为残差。 • 由一组样本数据，可求出等估参数的估计值b0、b1、b2 和bp,，得到如下回归方程：
Logistic回归
多元回归分析可用来分析多个自变量与一 个因变量的关系，模型中因变量Y是边连 续性随机变量，并要求呈正态分布。但在 医学研究中，常碰到因变量的取值仅有两 个，如药物实验中，动物出现死亡或生存， 死亡概率与药物剂量有关。设P表示死亡 概率，X表示药物剂量，P和X的关系显然 不能用一般线性回归模型P＝B0＋B1X来 表示。这时可用Logistic回归分析。
量重新构建新的方程。
若H0成立，可把Xj从回归方程中剔除，余下变
标准化偏回归系数和确定系数 • 标准化偏回归系数：
在比较各自变量对应变量相对贡献大小时，由 于各自变量的单位不同，不能直接用偏回归系 数的大小作比较，须用标准化偏回归系数。
bj ´ = bj (sj / sy)
确定系数：
简记为R2，即回归平方和SS回归与总离均 差平方和SS总的比例。 R2 ＝ SS回归／ SS总 可用来定量评价在Y的总变异中，由P个 X变量建立的线性回归方程所能解释的比 例。
即
Q＝ (yi －ŷi) 2
= (yi － b0－b1x1i－b2x2i－…－bp xp i) 2 对b0、b1…、bp分别求偏导数，今偏导数为零 可获得P＋1个正规方程，求解正规方程可得待 估参数值。
回归方程和偏回归系数的假设检验
回归方程的假设检验： 建立回归方程后，须分析应变量Y与这p个自 变量之间是否确有线性回归关系，可用F分析。 H0： B1＝B2＝….=Bp=0 H1： H0不正确 ＝0.05 F ＝ MS回归 / MS误差 MS回归 ＝SS回归／p SS回归 = bjLjy ( j =1,2….,P) MS误差 ＝SS误差／(n-p-1) SS误差为残差平方和
• 多元线性回归方程的评价
评价回归方程的优劣、好坏可用确定系 数R2和剩余标准差Sy,x1,2..p 。 Sy,x1,2. p ＝SQRT（SS误差／n-p-1） 如用于预测，重要的是组外回代结果。
回归方程中自变量的选择
• 多元线性回归方程中并非自变量越多越 好，原因是自变量越多剩余标准差可能 变大；同时也增加收集资料的难度。故 需寻求“最佳”回归方程，逐步回归分 析是寻求“较佳”回归方程的一种方法。
和多元线性回归分析一样，在Logistic回 归分析中也须对自变量进行筛选。方法 和多元线性回归中采用的方法一样，有 向后剔除法、向前引入法及逐步筛选法 三种。筛选自变量的方法有wald检验、 Score test、likelihood ratio test(wald chisquare test)三种。
ŷi =b0+b1x1+b2x2+…+bp xp
• 由此可见，建立回归方程的过程就是对回归模型中的 参数（常数项和偏回归系数）进行估计的过程。
参数的最小二乘估计
• 与简单回归类似，我们寻求参数B0、B1、B2和 Bp的适宜估计数值b0、b1、b2和bp,，使实际观 察值和回归方程估计值之间残差平方和最小，
Logistic回归的假设检验
1、拟合优度检验：目的是检验模型估计值与实际观察值 的符合程度。SAS程序提供了下列统计量。 A、AIC和SC：对同一份资料，在模型比较中，这两个越 小，表明模型越合适。 B、－2LogL：用于检验全部自变量（协变量）的联合作 用。如显著，表明全部协变量的联合作用显著；如不 显著，表明全部协变量的联合作用不大，可予忽视。 C、Score：用于检验全部协变量联合作用的显著性，但 不包截距项。
X的取值在正负无穷大之间；F(x)则在0－1之 间取值，并呈单调上升S型曲线。人们正是利 用Logistic分布函数这一特征，将其应用到临床 医学和流行病学中来描述事件发生的概率。
以因变量D＝1表示死亡，D＝0表示生存，以P（D＝1／X） 表示暴露于药物剂量X的动物死亡的概率，设
P（D＝1／X）＝e Bo+BX /(1+e Bo+BX ) 记Logit(P)=ln[p/(1-p)],则上式可表示为： Logit(P) ＝ Bo+BX 这里X的取值仍是任意的， Logit(P)的值亦 在正负无穷大之间，概率P的数值则必然在 0－1之间。 p/(1-p)为事件的优势， Logit(P) 为对数优势，故logistic回归又称对数优势 线性回归
• 例3：在研究新生儿出生时体重、妊娠周数与支气管肺的发育不良 病（BPD）的关系时，得下表资料。 • 出生时体重（组中值） 妊娠周数 观察人数 患BPD人数 • birth weight age n BPD • 750 27 41 33 • 750 29.5 21 15 • 750 32 6 1 • 1150 27 17 7 • 1150 29.5 36 7 • 1150 32 27 4 • 1550 27 0 0 • 1550 29.5 16 4 • 1550 32 59 5
一般地，设某事件D发生（D＝1）的概 率P依赖于多个自变量（x1,x2, …,xp)，且
P（D＝1）＝e Bo+B1X1+…+BpXp /(1+e Bo+B1X1+…+BpXp ) 或
Logit(P) ＝ Bo+B1X1+…+Bp X p 则称该事件发生的概率与变量间关系符合多元 Logistic回归或对数优势线性回归。
例2：研究女生月经初潮与体质关系的调 查中，某地调查了23名11—15岁女生的 月经和体质情况，脉搏X1为30秒脉搏数， 体重X2单位为公斤，年龄X3单位为岁。 月经Y为0表示未来月经，1表示已来月经。 试用非条件Logistic 回归进行分析。 （X1=40 X2=40 X3=13 p=0.92; X1=39 X2=35 X3=11 p=0.23)
• 向前引入法（forward selection) 自变量由少到多一个一个引入回归方程。 将 corr(y , xj)最大而又能拒绝H0者，最 先引入方程，余此类推。至不能再拒绝 H0为止。
• 向后剔除法（backward selection) 自变量先全部选入方程，每次剔除一个使 上述检验最不能拒绝H0者，直到不能剔 除为止。
例：测量16名四岁男孩心脏纵径X1（CM）、心脏横径 X2（CM）和心象面积Y（CM2）三项指标，得如下数 据。试作象面积Y对心脏纵径X1、心脏横径X2多元线 性回归分析。 例：某科研协作组调查山西某煤矿2期高血压病患者40例， 资料如下表，试进行影响煤矿工人2期高血压病病人收 缩压的多元线性回归分析。
2、偏回归系数的显著性检验：目的是检验回 归模型中自变量的系数是否为零，等价于总 体优势比OR是否为零。 H0：B等于零 H1：B不等于零 A、wald检验： B、Score test: C、likelihood ratio test(wald chi-square test):
回归模型中自变量的筛选
Logistic回归的参数估计
• Logistic回归模型的参数估计常用最大似然法，最大似 然法的基本思想是先建立似然函数或对数似然函数， 似然函数或对数似然函数达到极大时参数的取值，即 为参数的最大似然估计值。其步骤为对对数似然函数 中的待估参数分别求一阶偏导数，令其为0得一方程组， 然后求解。由于似然函数的偏导数为非线性函数，参 数估计需用非线性方程组的数值法求解。常用的数值 法为Newton-Raphson法。不同研究的设计方案不同， 其似然函数的构造略有差别，故Logistic回归有非条件 Logistic回归与条件Logistic回归两种。
• 多 元 线 性 回 归 分 析 的 作 用
• 回 归 分 析 中 自 变 量 的 选 择
• 多 元 回 归 分 析 中 的 若 干 问 题
• 标 准 化 偏 回 归 系 数 和 确 定 系 数
• 回 归 方 程 和 偏 回 归 系 数 的 假 设 检 验
• 多 元 线 性 回 归 模 型 与 参 数 估 计
回归分析中的若干问题
• 资料要求：总体服从多元正态分布。但实际工 作中分类变量也做分析。 • n足够大，至少应是自变量个数的5倍 • 分类变量在回归分析中的处理方法 有序分类： 治疗效果：x=0(无效 ) x=1(有效) x=2(控制) 无序分类： 有k类，则用k－1变量（伪变量）
• 如职业,分四类可用三个伪变量： y1 y2 y3 工人 1 0 0 农民 0 1 0 干部 0 0 1 学生 0 0 0
选择变量的统计学标准
• R2最大
R2 ＝ SS回归／ SS总• adjR2最大： adjR2＝1－MS误差/ MS总 • Cp值最小
Cp＝（n-p-1)(MS误差.p/MS误差.全部－1）＋（p+1)
选择变量的方法
• 最优子集回归分析法： p个变量有2p－1个方程 • 逐步回归分析
向前引入法(forward selection) 向后剔除法(backward selection) 逐步引入－剔除法(stepwise selection)
logistic回归模型参数的意义
优势比（odds ratio, OR)：暴露人群发病优势与非暴露 人群发病优势之比。
P(1) / [1-p(1)] OR= ——————— P(0) / [1-p(0)]
Ln(oR)=logit[p(1)]-logit[p(0)]=(B0+B×1) －(B0+B×0)=B 可见 B 是暴露剂量增加一个单位所引起的对数优势的增 量，或单位暴露剂量与零剂量死亡优势比的对数。eB就 是两剂量死亡优势比。常数项B0是所有变量 X等于零时 事件发生优势的对数。
内容安排
• • • • • • Logistic回归模型 模型参数的意义 Logistic回归模型的参数估计 Logistic回归方程的假设检验 Logistic回归模型中自变量的筛选 Logistic回归的应用
Logistic回归模型
• 先引入Logistic分布函数，表达式为： F（x) = ex / ( 1+ex )
多元线性回归
• 多元线性回归是简单线性回归的直接推广，其包含一 个因变量和二个或二个以上的自变量。
• 简单线性回归是研究一个因变量（Y）和一个自变量 （X）之间数量上相互依存的线性关系。而多元线性回 归是研究一个因变量（Y）和多个自变量（Xi）之间数 量上相互依存的线性关系。 • 简单线性回归的大部分内容可用于多元回归，因其基 本概念是一样的。
• 逐步引入－剔除法（stepwise selection) 先规定两个阀值F引入和F剔除，当候选变 量中最大F值＞＝F引入时，引入相应变量； 已进入方程的变量最小F＜＝F剔除时，剔 除相应变量。如此交替进行直到无引入 和无剔除为止。（计算复杂）
多元线性回归方程的作用
• 因素分析 • 调整混杂因素的作用 • 统计预测
Logistic 回归的应用
• 筛选危险因素 • 校正混杂因素 • 预测与判别
例1：在饮酒与食道癌的成组病例对照研究中，共有200 例食道癌患者和774例非食道癌对照，年龄是混杂因素， 按年龄分层后资料如下：
age 对象（1=病例 0=对照） 饮酒 不饮酒 25—34 1 1 0 0 9 106 35---44 1 4 5 0 26 164 45----54 1 25 21 0 29 138 55---64 1 42 34 0 27 138 65---74 1 19 36 0 18 88 75-1 5 8 0 0 31 合计 OR 1 115 9 5.05 190 46 5.67 167 76 6.36 165 55 2.58 106 13 31
偏回归系数的假设检验
回归方程的假设检验若拒绝H0，则可分别对每 一个偏回归系数bj作统计检验，实质是考察在固 定其它变量后，该变量对应变量 Y 的影响有无 显著性。 H0： Bj=0 H1： Bj不为零 ＝0.05 F ＝ （Xj 的偏回归平方和／1） / MS误差
Xj 的偏回归平方和：去Xj后回归平方和的减少量
内 容 安 排
多元线性回归模型与参数估计
• 设有自变量x1,x2,…,xp和因变量Y以及一份由n个个体构 成的随机样本(x1i,x2i,…,xpi,,，Yi），且有如下关系：
y =B0+B1x1+B2x2+…+Bp xp+ (模型）
B0、B1、B2和Bp为待估参数， 为残差。 • 由一组样本数据，可求出等估参数的估计值b0、b1、b2 和bp,，得到如下回归方程：
Logistic回归
多元回归分析可用来分析多个自变量与一 个因变量的关系，模型中因变量Y是边连 续性随机变量，并要求呈正态分布。但在 医学研究中，常碰到因变量的取值仅有两 个，如药物实验中，动物出现死亡或生存， 死亡概率与药物剂量有关。设P表示死亡 概率，X表示药物剂量，P和X的关系显然 不能用一般线性回归模型P＝B0＋B1X来 表示。这时可用Logistic回归分析。
量重新构建新的方程。
若H0成立，可把Xj从回归方程中剔除，余下变
标准化偏回归系数和确定系数 • 标准化偏回归系数：
在比较各自变量对应变量相对贡献大小时，由 于各自变量的单位不同，不能直接用偏回归系 数的大小作比较，须用标准化偏回归系数。
bj ´ = bj (sj / sy)
确定系数：
简记为R2，即回归平方和SS回归与总离均 差平方和SS总的比例。 R2 ＝ SS回归／ SS总 可用来定量评价在Y的总变异中，由P个 X变量建立的线性回归方程所能解释的比 例。
即
Q＝ (yi －ŷi) 2
= (yi － b0－b1x1i－b2x2i－…－bp xp i) 2 对b0、b1…、bp分别求偏导数，今偏导数为零 可获得P＋1个正规方程，求解正规方程可得待 估参数值。
回归方程和偏回归系数的假设检验
回归方程的假设检验： 建立回归方程后，须分析应变量Y与这p个自 变量之间是否确有线性回归关系，可用F分析。 H0： B1＝B2＝….=Bp=0 H1： H0不正确 ＝0.05 F ＝ MS回归 / MS误差 MS回归 ＝SS回归／p SS回归 = bjLjy ( j =1,2….,P) MS误差 ＝SS误差／(n-p-1) SS误差为残差平方和
• 多元线性回归方程的评价
评价回归方程的优劣、好坏可用确定系 数R2和剩余标准差Sy,x1,2..p 。 Sy,x1,2. p ＝SQRT（SS误差／n-p-1） 如用于预测，重要的是组外回代结果。
回归方程中自变量的选择
• 多元线性回归方程中并非自变量越多越 好，原因是自变量越多剩余标准差可能 变大；同时也增加收集资料的难度。故 需寻求“最佳”回归方程，逐步回归分 析是寻求“较佳”回归方程的一种方法。
和多元线性回归分析一样，在Logistic回 归分析中也须对自变量进行筛选。方法 和多元线性回归中采用的方法一样，有 向后剔除法、向前引入法及逐步筛选法 三种。筛选自变量的方法有wald检验、 Score test、likelihood ratio test(wald chisquare test)三种。
ŷi =b0+b1x1+b2x2+…+bp xp
• 由此可见，建立回归方程的过程就是对回归模型中的 参数（常数项和偏回归系数）进行估计的过程。
参数的最小二乘估计
• 与简单回归类似，我们寻求参数B0、B1、B2和 Bp的适宜估计数值b0、b1、b2和bp,，使实际观 察值和回归方程估计值之间残差平方和最小，
Logistic回归的假设检验
1、拟合优度检验：目的是检验模型估计值与实际观察值 的符合程度。SAS程序提供了下列统计量。 A、AIC和SC：对同一份资料，在模型比较中，这两个越 小，表明模型越合适。 B、－2LogL：用于检验全部自变量（协变量）的联合作 用。如显著，表明全部协变量的联合作用显著；如不 显著，表明全部协变量的联合作用不大，可予忽视。 C、Score：用于检验全部协变量联合作用的显著性，但 不包截距项。
X的取值在正负无穷大之间；F(x)则在0－1之 间取值，并呈单调上升S型曲线。人们正是利 用Logistic分布函数这一特征，将其应用到临床 医学和流行病学中来描述事件发生的概率。
以因变量D＝1表示死亡，D＝0表示生存，以P（D＝1／X） 表示暴露于药物剂量X的动物死亡的概率，设
P（D＝1／X）＝e Bo+BX /(1+e Bo+BX ) 记Logit(P)=ln[p/(1-p)],则上式可表示为： Logit(P) ＝ Bo+BX 这里X的取值仍是任意的， Logit(P)的值亦 在正负无穷大之间，概率P的数值则必然在 0－1之间。 p/(1-p)为事件的优势， Logit(P) 为对数优势，故logistic回归又称对数优势 线性回归
• 例3：在研究新生儿出生时体重、妊娠周数与支气管肺的发育不良 病（BPD）的关系时，得下表资料。 • 出生时体重（组中值） 妊娠周数 观察人数 患BPD人数 • birth weight age n BPD • 750 27 41 33 • 750 29.5 21 15 • 750 32 6 1 • 1150 27 17 7 • 1150 29.5 36 7 • 1150 32 27 4 • 1550 27 0 0 • 1550 29.5 16 4 • 1550 32 59 5
一般地，设某事件D发生（D＝1）的概 率P依赖于多个自变量（x1,x2, …,xp)，且
P（D＝1）＝e Bo+B1X1+…+BpXp /(1+e Bo+B1X1+…+BpXp ) 或
Logit(P) ＝ Bo+B1X1+…+Bp X p 则称该事件发生的概率与变量间关系符合多元 Logistic回归或对数优势线性回归。
例2：研究女生月经初潮与体质关系的调 查中，某地调查了23名11—15岁女生的 月经和体质情况，脉搏X1为30秒脉搏数， 体重X2单位为公斤，年龄X3单位为岁。 月经Y为0表示未来月经，1表示已来月经。 试用非条件Logistic 回归进行分析。 （X1=40 X2=40 X3=13 p=0.92; X1=39 X2=35 X3=11 p=0.23)