满城区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

满城区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列命题中的说法正确的是（
）
A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”
B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”
D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆否命题为真命题
2． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则+
+…+
=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）
A ．p 真q 真
B ．p 假q 真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 假
5． 方程表示的曲线是（ ）
1x -=A ．一个圆 B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆
6． 双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合，则m 的值等于（
）
A ．12
B ．20
C ．
D ．
7． 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）
A ．8πcm 2
B ．12πcm 2
C ．16πcm 2
D ．20πcm 2
9． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ）
A ．a ＞1且b ＜1
B ．a ＞1且b ＞0
C ．0＜a ＜1且b ＞0
D ．0＜a ＜1且b ＜0
11．执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（
）
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
12．在正方体中， 分别为的中点，则下列直线中与直线 EF
相交
1111ABCD A B C D -,E F 1,BC BB 的是（
）
A ．直线
B ．直线
C. 直线
D ．直线1AA 11A B 11A D 11
B C 二、填空题
13．已知两个单位向量满足：，向量与的夹角为，则
.
,a b 1
2
a b ∙=- 2a b - cos θ=14．在复平面内，复数与
对应的点关于虚轴对称，且
，则
____．
15．计算：
×5﹣1= ．
16．分别在区间、上任意选取一个实数，则随机事件“”的概率为_________.[0,1][1,]e a b 、ln a b ≥17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．
18．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．
A B
C D
三、解答题
19．已知函数，且．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；
（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．
20．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：
第一次第二次第三次第四次第五次
甲的成绩8287868090
乙的成绩7590917495
（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
21．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD 旋转一周所成几何体的表面积．
22．（本小题满分12分）在中，内角的对边为，已知
ABC ∆C B A ,,c b a ,,.1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
（I ）求角的值；C
（II ）若，且的面积取值范围为，求的取值范围．2b =ABC ∆c 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．
23．（本小题满分12分）
设p ：实数满足不等式39a ≤，：函数()()32331
932
a f x x x x -=++无极值点.
（1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数的取值范围；
（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为，且：2112022a m a m m ⎛⎫⎛
⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，若是t ⌝的必要不充分
条件，求正整数m 的值．
24．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．
满城区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，
D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．
2．【答案】B
【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．
考点：几何体的结构特征．
3．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【答案】B
【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，
若“非p”为真，则p为假，
∴p假q真，
故选：B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．　
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：由方程，两边平方得，即，所
1x -=2
2
1x -=2
2
(1)(1)1x y -++=以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.考点：曲线的方程.6． 【答案】A 【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得
=4，解得m=12．
故选：A ．　
7． 【答案】C 【解析】
考点：三视图．8． 【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R ，
R=
，S=4πR 2=12π故选B
9． 【答案】 A
【解析】解：取a=﹣时，f （x ）=﹣x|x|+x ，∵f （x+a ）＜f （x ），
∴（x ﹣）|x ﹣|+1＞x|x|，（1）x ＜0时，解得﹣＜x ＜0；
（2）0≤x ≤时，解得0；（3）x ＞时，解得
，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B 、D ；取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，
∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x ＜﹣1时，解得x ＞0，矛盾；（2）﹣1≤x ≤0，解得x ＜0，矛盾；（3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ，故选A ．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．　
10．【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0﹣b ﹣1＜0，即a ＞1，b ＞0，故选：B
11．【答案】C
【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5，当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9，当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13，当a=13时，满足退出循环的条件，故输出的结果为13，故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．　
12．【答案】D 【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线都和直线为异面直线，和在同一个平11111,,AA A B A D EF 11B C EF 面内，且这两条直线不平行；所以直线和相交，故选D.11B C EF 考点：异面直线的概念与判断.
二、填空题
13．【答案】．【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义；二是坐标运算公式
cos a b a b θ⋅=
；三是利用数量积的几何意义．
1212a b x x y y ⋅=+
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简14．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2
15．【答案】　9　．
【解析】解：
×5﹣1=
×=
×=（﹣5）×（﹣9）×=9，
∴
×5﹣1=9，
故答案为：9．　
16．【答案】
1e e
-【解析】解析： 由得，如图所有实数对表示的区域的面积为，满足条件“”的ln a b ≥a
b e ≤(,)a b e a
b e ≤实数对表示的区域为图中阴影部分，其面积为
，∴随机事件“”的概率为
(,)a b 1
10
1|
a a e da e e ==-⎰ln a
b ≥
．1
e e
17．【答案】　（﹣3，21）　．
【解析】解：∵数列{a n }是等差数列，
∴S 9=9a 1+36d=x （a 1+2d ）+y （a 1+5d ）=（x+y ）a 1+（2x+5y ）d ，由待定系数法可得
，解得x=3，y=6．
∵﹣3＜3a 3＜3，0＜6a 6＜18，∴两式相加即得﹣3＜S 9＜21．∴S 9的取值范围是（﹣3，21）．故答案为：（﹣3，21）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．　
18．【答案】　27　
【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32=18种，若A 方格填2，则排法有1×32=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，
所以，解得，
所以．（Ⅱ）由，得
，
因为，
所以对于任意，都有
．
设，则 ．
令
，解得
．
当x变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，．
因为对于任意，都有成立，
所以．
所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证，
所以只要证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．
所以只要证明当时，即可．
设，
所以，
令，解得．
由，得，所以在上为增函数．
所以，即．
所以．
故函数的图象在直线的下方．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一：
依题意有，
答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；
乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．
所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A ，B ，C ．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a ，b ．
从这5次摸底考试中任意选取2次有ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC ，AB ，AC ，BC 共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 共6种情况．
∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．
【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．
21．【答案】
【解析】解：四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的
几何体，如右图：
S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=
πr 22+π（r 1+r 2）l 2+πr 1l 1===
22．【答案】
【解析】（I ）∵，1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A ∴，0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ∴，
0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ∴，
0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B ∴，因为，所以0cos sin 3sin sin =-C B C B sin 0B >3
tan =C 又∵是三角形的内角，∴.
C 3π
=C
23．【答案】（1）{}125a a a <<≤或；（2）1m =.【解析】
（1）∵“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴p 与只有一个命题是真命题．
若p 为真命题，为假命题，则2115a a a a ≤⎧⇒<⎨<>⎩
或．………………………………5分若为真命题，p 为假命题，则22515a a a >⎧⇒<≤⎨≤≤⎩
．……………………………………6分于是，实数的取值范围为{}125a a a <<≤或．……………………………………7分
考点：1、不等式；2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件. 24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），∴log a4=2，a=2，则g（x）=log2x．…
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，
∴．…
（Ⅱ）∵f（x﹣1）＞f（5﹣x），
∴，
即，解得1＜x＜3，
所以x的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．　。