数学必修Ⅴ人教新课标A版2-5-2等比数列习题课课件(50张)

【巩固训练】(2016·南宁高二检测)已知:Sn为数列{an} 的前n项和,且满足an=2Sn-1+2(n≥2);数列{bn}满足 b1+b2+b3+…+bn=n2+n. (1)数列{an}是等比数列吗?请说明理由. (2)若a1=b1,求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为an=2Sn-1+2(n≥2),所以an+1=2Sn+2,
【解析】(1)因为{Sn+1}是公比为2的等比数列, 所以Sn+1=(S1+1)·2n-1=(a1+1)·2n-1, 所以Sn=(a1+1)·2n-1-1,从而a2=S2-S1=a1+1,a3=S3S2=2a1+2, 因为a2是a1和a3的等比中项, 所以(a1+1)2=a1·(2a1+2),
解得a1=1或a1=-1, 当a1=-1时,S1+1=0,{Sn+1}不是等比数列, 所以a1=1,所以Sn=2n-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1, 因为a1=1符合an=2n-1, 所以an=2n-1.
an
2
3n
. 1
所a11=以1，a11当 na12>1a1时3 ，a1na1n3n21131131n131.2
1 3n1
1
1 3n
1 1
3 (1 1 ) 3 .
3
2 3n 2
所以 1 1 1 n∈1 N *3.，
a1 a2 a3
an 2
【延伸探究】1.(改变问法)典例条件不变,求数列{an} 的前n项和.
【典例2】已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明 {an 12}是等比数列,并求{an}的通项公式.
(2)证明: 1 1 1 3 .
a1 a2
an 2
【解题指南】(1)将an+1=3an+1进行配凑,得“an+112+ ” 与“an+12 ”的关系,得证,然后求得{an}的通项公式.
所以两式相减,并根据Sn-Sn-1=an(n>1),
可得an+1=3an(n>1).
因为a2=2S1+2,S1=a1,所以a2=2a1+2.所aa12以
2a1 a1
2
.
所以当a1=2时,
a n1(n>1)=
an
aa12=3,{an}是公比为3的等比
数列.
当a1≠2时,
a n(1n>1)≠
an
,aa{12an}不是等比数列.
由
aa12
b1 b2
b2, 即 b3,
11 17
2b1 2b1
d, 3d,
解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.
(2)由(1)知cn=
6n 6=n31 (n+1)·2n+1. 3n 3n
又Tn=c1+c2+c3+…+cn,得
Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)·2n+1],
的通项,再由an=bn+bn+1求出数列{bn}的通项公式.
(2)由cn=
Hale Waihona Puke an bn12,n求n1 出cn,求数列{cn}的前n项和可利用错
位相减法求解.
【解析】(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当
n=1时,a1=S1=11,符合上式.所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d.
(2)因为b1=2,所以a1=b1=2,{an}是等比数列,公比为 3,an=2×3n-1. 因为b1+b2+b3+…+bn=n2+n,所以(n-1)2+n1+bn=n2+n. 所以bn=2n.所以anbn=4n·3n-1. 因为Tn=4×1×30+4×2×31+…+4×n×3n-1, 所以3Tn=4×1×31+4×2×32+…+4×n×3n.
【补偿训练】(2016·太原高二检测)已知数列{an}的前 n项和为Sn,数列{Sn+1}是公比为2的等比数列,a2是a1和 a3的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{nan}的前n项和Tn.
【解题指南】(1)先由{Sn+1}是等比数列,求出Sn,再由 a1,a2,a3成等比数列,求出a1,从而由an与Sn的关系得an 的通项公式. (2)对数列{nan}的和式中同乘以{an}的公比,错位相减 转化为等比数列的前n项和求解.
(2)因为nan=n·2n-1, 所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1, 2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,
两式相减,得
-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n =1 2-nn·2n=(1-n)·2n-1,
1 2
所以Tn=(n-1)·2n+1.
类型二:可化为等比数列的求和问题
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)·2n+2].
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)·2n+2
=3×[4 4 1 2n 1 2
n=-13 n2n·22]n+2,所以Tn=3n·2n+2.
【规律总结】用“错位相减法”求数列前n项和的类型 及注意事项 (1)类型:如果数列{an}是等差数列,公差为d;数列{bn} 是等比数列,公比为q,则求数列{anbn}的前n项和就可 以运用错位相减法.
(2)求得 { 1的} 通项公式,然后证得不等式.
an
【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an+1,n∈N*.
所以an+1+12
=3an+112+
=3(a n
1 ). 2
所以 {an 是12}首项为a1+
=1
2
,公3比为3的等比数列.
2
所以an+12
=
3n,所以an=
2
3n 1 .
2
(2) 1
第2课时 等比数列习题课
【题型探究】
类型一:错位相减法求数列的和
【典例1】(2016·山东高考)已知数列{an}的前n项和
Sn=3n2+8n.{bn}是等差数列.且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)令cn=
an 1 n1 bn 2n
.求数列{cn}的前n项和Tn.
【解题指南】(1)由数列{an}的前n项和Sn,求出数列{an}
(2)注意事项: ①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的 情形更值得注意; ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两 式“错项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的 表达式;
③应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提 条件,如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论.