2019_2020学年高中数学阶段质量检测(一)新人教A版必修4

阶段质量检测（一）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30° 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A ．－
63 B ．－1
2
C.12
D.63
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B.2sin 1
C ．2sin 1
D ．sin 2
4．函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )
A ．x ＝π4
B ．x ＝π
2
C ．x ＝－π4
D ．x ＝－π
2
5．化简1＋2sin （π－2）·cos（π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 2
6．函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z
B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝
⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝
⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4－α的值为( )
A.12 B ．－12 C.32 D ．－32
8．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
cos α2＝－cos α2，则α
2的终边所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．函数y ＝cos 2
x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )
A.32 B ．2 C ．0 D.3
4
10．将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再
将所得的图象向左平移π
3
个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A ．y ＝sin 12x
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6
D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6
11．(2019·天津高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为
g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π8＝( )
A ．－2
B ．－ 2 C. 2
D ．2
12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14＝－a ，那么
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫94等于( )
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．4a
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π
2
<α<π，那么cos α－sin α的值是________． 14．设f (n )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)等于________．
15．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．
16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则
tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写
出所有正确命题的序号)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：
(1)sin α－3cos αsin α＋cos α
；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.
18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x －π6，x ∈R .
(1)求f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π4的值；
(2)求函数f (x )的单调递增区间．
19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．
20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，
1)．
(1)求φ的值；
(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．
21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π
12
时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间；
(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m
的取值范围．
22．(12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0，0≤θ
⎭
⎪⎫≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，
x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π时，求x 0的值．
答 案
1. 解析：选 B 因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.
2. 解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α，
又
π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－6
3
. 3. 解析：选B 如图，由题意知θ＝1，BC ＝1，圆的半径r 满足sin θ＝sin 1＝1r
，
所以r ＝1sin 1，弧长AB ＝2θ·r ＝2
sin 1
.
4. 解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π
＋3π
4
， 当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π
4.
5. 解析：选C
1＋2sin （π－2）·cos（π－2）
＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2
， ∵
π
2
<2<π，∴sin 2－cos 2>0. ∴原式＝sin 2－cos 2.
6. 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π
4，k ∈Z ，
选C.
7. 解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π4－α＝π，
∴
3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝32
.
8. 解析：选B ∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π<α<3π
2＋2k π，k ∈Z .
∴π2＋k π<α2<3π
4
＋k π，k ∈Z . ∴
α
2
在第二或第四象限．
又∵⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
cos α2＝－cos α2，∴cos α
2<0.
∴
α
2
是第二象限的角．
9. 解析：选A f (x )＝1－sin 2
x ＋sin x ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫sin x －122
＋54，∵－π6≤x ≤π6，
∴－12≤sin x ≤1
2
.
当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14
；
当sin x ＝12时，f (x )max ＝5
4，
∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝3
2
.
10. 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x
变为x ＋π
3
.
∴y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.
11.解析：选C 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R)，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin
φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12ωx ，且g (x )的最小正周期为2π，
所以1
2ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，
所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，解得A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，所以f ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π8＝ 2.
12. 解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，
即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14＝a .
13. 解析：因为π
2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，
所以cos α＝－cos 2
α＝－cos 2
α
cos 2α＋sin 2
α
＝－
1
1＋tan 2
α＝－11＋3＝－12
. sin α＝
32
， 所以cos α－sin α＝－1＋3
2.
答案：－1＋3
2
14. 解析：f (n )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫n π2
＋π4的周期T ＝4，
且f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22， f (2)＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π＋π4
＝－
22
， f (3)＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2＋π4＝22，
f (4)＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2π＋π4
＝
22
. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22
. 答案：－
22
15.解析： f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2
x －3cos x ＋1
＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 2x ＋32cos x ＋1
＝－2⎝
⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178， 因为－1≤cos x ≤1，所以当cos x ＝1时， 函数f (x )取得最小值－4. 答案：－4
16. 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，
则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，
故①正确．
对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．
对于③，由(sin α＋cos α)2
＝125
得
2sin αcos α＝－24
25
，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝
75
， 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－3
4
，故③正确．
对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．
答案：①②③
17. 解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝1
2.
(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝1
2－3
12
＋1＝－53
.
(2)sin 2
α＋sin αcos α＋2＝sin 2
α＋sin αcos α＋2(cos 2
α＋sin 2
α) ＝3sin 2
α＋sin αcos α＋2cos 2
αsin 2α＋cos 2
α
＝
3tan 2
α＋tan α＋2tan 2
α＋1
＝
3⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＋12＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＋1＝
13
5
.
18. 解：(1)f ⎝
⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2
(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
所以2k π－π3≤13x ≤2π
3＋2k π，k ∈Z ，
解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，
所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .
19. 解：(1)列表如下：
(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π， 对称轴为x ＝π
4
＋k π，k ∈Z ，
单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．
20. 解：(1)因为函数图象过点(0，1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝1
2.
因为0≤φ≤π2，所以φ＝π
6.
(2)由(1)得y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，
所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
即－23＋2k ≤x ≤1
3
＋2k ，k ∈Z 时，
y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
πx ＋π6的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－23＋2k ，1
3
＋2k ，
k ∈Z .
(3)由y ≥1，得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12， 所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π
6＋2k π，k ∈Z ，
即2k ≤x ≤2
3
＋2k ，k ∈Z ，
所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k ≤x ≤2
3＋2k ，k ∈Z .
21. 解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.
由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π
3
＋2k π，k ∈Z ，
又因为－π<φ<π，所以φ＝π
3.
所以f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π
2＋2k π，k ∈Z ，
得π6＋2k π≤2x ≤7π
6＋2k π，k ∈Z ， 则
π12＋k π≤x ≤7π
12
＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．
(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π6上有两个根．
因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π6，
所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，2π3.
所以
m －16∈⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫3
2
，1.
所以m ∈[33＋1，7)．
22. 解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝
32
. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π
6
.
∵T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT ＝2π
π
＝2.
(2)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32，
∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 0－π2，3.
∵点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，
且
7π6≤4x 0－5π6≤19π
6
.
- 11 - ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6. ∴x 0＝2π3或x 0＝3π4
.。